巧用動量守恒定律求解多體問題

巧用動量守恒定律求解多體問題動量守恒定律是自然界中普遍適用的物理規(guī)律。運用動量守恒定律求解多物體問題是物理教學中的熱點問題，在分析這類問題中，既要注意系統(tǒng)總動量守恒，又要注意系統(tǒng)內(nèi)某幾個物體的動量守恒，便于靈活巧妙地應用動量守恒定律。以下對此類問題作初淺的分析和探討。一.巧選對象對多物體系統(tǒng)，由于參與作用的物體較多，作用的情況比較復雜，因此，要從巧選研究對象和巧選研究過程上找到解題的突破口。既要注意系統(tǒng)總動量守恒，還要注意系統(tǒng)內(nèi)某幾個物體發(fā)生作用時動量也守恒。例1.質(zhì)量相等的五個物體在光滑水平面上間隔一定距離排成一直線，如圖1所示，具有初速度的物體1向其他4個靜止物體運動，依次發(fā)生碰撞，每次碰撞后不再分開，最后五個物體粘成一整體，則這個整體的速度等于多少？圖1分析：這是一個涉及五個物體的多物體系統(tǒng)。當物體1與物體2發(fā)生碰撞過程中，取物體1和物體2為研究對象，它們的總動量守恒。接著，物體1和物體2組成一個物體，再與物體3發(fā)生碰撞，取物體1、物體2和物體3為研究對象，它們的總動量也守恒，依次類推，本題一共將發(fā)生四次碰撞，每次碰撞都滿足動量守恒條件，分別應用動量守恒定律求出每次碰撞后的速度，從而可求出最終的結(jié)果。但如果取由五個物體組成的整體為研究對象，它們的總動量守恒，這樣，求解過程就顯得非常簡便。根據(jù)動量守恒定律得。二.構(gòu)建模型在多物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生相互作用的過程中，不僅要認清作用的過程和參與的物體，而且要根據(jù)作用的特點和規(guī)律，構(gòu)建物理模型，為順利運用動量守恒定律鋪平道路。尤其是對碰撞類問題，由于碰撞時間短、作用力大等特點，參與作用的往往就是發(fā)生碰撞的兩個物體，而與其它物體無關(guān)。例2.如圖2所示，甲、乙兩完全一樣的小車，質(zhì)量都為M。乙車內(nèi)用繩吊一質(zhì)量為M的小球，當乙車靜止時，甲車以速度v與乙車相碰，碰后連為一體，求：（1）兩車剛碰后的共同速度為多大？（2）小球擺到最高點時的速度為多大？圖2分析：甲車與乙車發(fā)生碰撞到連為一體的過程中，由于碰撞時間短，乙車在碰撞的時間內(nèi)發(fā)生的位移可略去不計，小球還未擺動，小球和小車間在水平方向無作用。因此，在碰撞過程中參與作用的僅僅是甲、乙兩車。對甲、乙兩車應用動量守恒定律得解得。接著，兩車以共同的速度向右運動，在繩子的作用下，小球使小車做減速運動，小球做加速運動。在這個過程中參與作用的是三個物體。當兩車和小球具有共同速度時，小球擺到最高點。對兩車和小球組成的系統(tǒng)應用動量守恒定律得解得三.巧用定律動量守恒定律的數(shù)學表示形式有多種，其中最常見的二種形式為：其一，用數(shù)學表達式表示，它表示系統(tǒng)某二個狀態(tài)的總動量相等；其二，用數(shù)學表達式表示，它表示系統(tǒng)內(nèi)某些物體的動量減小量等于另一些物體的動量增加量。對多物體問題用第二種表達式求解將更加簡捷明快。例3.如圖3所示，一塊足夠長的木板，放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有序號是1，2，3……n的木塊，所有木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動摩擦因數(shù)都相同。開始時，木板靜止不動，第1，2，3……n號木塊的初速度分別是，……，方向都向右。木板的質(zhì)量與所有木塊的總質(zhì)量相等。最終所有木塊與木板以共同速度做勻速運動。設木塊之間均無相互碰撞，木板足夠長。求第k號（）木塊的最小速度。圖3分析：只要第k號木塊的速度大于木板的速度，第k號木塊必將做勻減速運動，直至與木板的速度相同為止，此時，第k號木塊的速度為最小，且第1號至第k號木塊的速度均為。雖說這些木塊中有的動量增加，有的動量減小，但很容易求出這些木塊和木板總動量的增加量。第號至第n號木塊由于摩擦力的作用，它們的動量都減小，每個木塊動量減小量相等，而且每個木塊動量減小量與第k號木塊動量減小量相等，即為。則可求出第k+1號至第n號木塊總動量的減小量為：根據(jù)動量守恒定律得即解得四.尋找規(guī)律對多個物體參與作用，作用過程又比較復雜的多物體問題，有時讓人覺得眼花亂，無從下手。解決這類問題，要善于弄清每一個子過程和在各個子過程中參與作用的物體。對各個子過程的作用特點及物體的運動特征進行深入地分析、歸納和總結(jié)，從中探究相應的規(guī)律，找到解題的突破口。例4.如圖4所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點兩側(cè)的人的序號都記為。每個人只有一個沙袋，一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量一質(zhì)量為的小車以某一初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行。不計軌道摩擦力，當車每經(jīng)過一人身旁時，此要就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等于扔此沙袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數(shù)）。問：（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？（2）車上最終有大小沙袋共多少個？圖4分析：在小車運動過程中，由于不斷有沙袋扔到車上，小車的速度逐漸變小。顯然，這是一個多物體參與作用、過程較復雜的物理問題。我們先以各個子過程為切入點，分別運用動量守恒定律進行分析和探究。（1）在的一側(cè)，第1個人扔沙袋到車上：第2個人扔沙袋到車上：第3個人扔沙袋到車上：由以上分析和計算可得出一定的規(guī)律，則第n個人扔沙袋到車上時有要使小車反向滑行，則要滿足，所以解得，所以當小車上堆積個沙袋時小車開始反向滑行。（2）只要小車的速度不等于零，就將有人扔沙袋到小車上。在的一側(cè)，（令）負側(cè)第1人扔沙袋到車上：負側(cè)第2人扔沙袋到車上：容易看出當小車經(jīng)過負側(cè)第n人（看小車的速度能否為零）有解得n=8。則車上最終有大小沙袋共11個。練習題：1.如圖5所示，在光滑水平面上放置木塊A和B，質(zhì)量分別為和，它們的上表面是粗糙的。今有一質(zhì)量的小鐵塊C，以初速度沿兩木塊的上表面滑過。由于摩擦力的作用，小鐵塊最后停在木塊B上，此時B、C以共同速度v=1.5m/s運動。求：圖5（1）木塊A最后運動的速度為多大？（2）C剛離開A時的速度為多大？2.兩只小船逆向航