專題39 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量 （原卷版）

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題39等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量【知識點總結(jié)】一、基本概念1、數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時,所對應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2、等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項公式.若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項.若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或.在一個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.3、等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項公式.等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).(5)等比數(shù)列的前項和二、基本性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項的推廣.當(dāng)時,則有,特別地,當(dāng)時,則有.(2)等差數(shù)列線性組合.①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項或非負項之和);若,則有最小值(所有負項或非正項之和).(4)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則為等差數(shù)列,公差為.2、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項的推廣.若時,則,特別地,當(dāng)時,.(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).當(dāng)或時,為遞增數(shù)列;當(dāng)或時,為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時,不為偶數(shù)).3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.【典型例題】例1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A．2 B． C．4 D．例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．33 B．66 C．22 D．44例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的通項公式為（

）A． B． C． D．例4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里例5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的通項公式為，則的值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B．5 C． D．例7．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，，且，，則的公比為（

）A． B． C． D．例8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A．或 B．4 C． D．例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，則Sn＝________.例11．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知為等差數(shù)列的前項和，若，則______．例12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列滿足，，則__________．例13．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項的和為__________．例14．（2023春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項和，若則______．例15．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項公式為；設(shè)為數(shù)列的前項和，求使成立的的取值集合.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.求和的通項公式.例18．（2023春·河北承德·高三興隆縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)記，若數(shù)列的前項和.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）1682年，英國天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請你預(yù)測它在本世紀(jì)回歸的年份（

）A．2042 B．2062 C．2082 D．20922．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足，，則的公差為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“二十四節(jié)氣”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時，通過觀察天體運行，認知一歲中時令、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系.我國古代用日晷測量日影的長度，晷長即為所測量影子的長度，二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始，已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中立春到夏至的日晷長的和為（

）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺5．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．226．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是各項不相等的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前6項和（

）A．84 B．144 C．288 D．1107．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）在遞增等比數(shù)列中，，且是和的等差中項，則（

）A．256 B．512 C．1024 D．20488．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．10．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)11．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第一天走的路程是（

）A．224里 B．214里 C．112里 D．107里12．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（

）A． B．5 C． D．14．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是等比數(shù)列的前n項和，若，且，則（

）A．96 B． C．72 D．15．（2023春·湖南湘潭·高三湘鋼一中校考開學(xué)考試）公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，若，，，，依次成等比數(shù)列，則（

）A．81 B．63 C．41 D．3216．（2023秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前三項和84，，則（

）A．3 B．6 C．12 D．2417．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記公差不為0的等差數(shù)列的前項和為.若成等比數(shù)列，，則（

）A．17 B．19 C．21 D．2318．（2023春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（

）A． B． C． D．二、多選題19．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項積為，若，則（

）A． B．當(dāng)時，C． D．20．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的公比為，前項和為，且，以下結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．若，則是遞增數(shù)列D．若，則是遞增數(shù)列21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列22．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項C．?dāng)?shù)列中的最小項為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記是數(shù)列的前n項和，且，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．當(dāng)時，取得最大值24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項和為三、填空題25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則________．26．（2023秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，，則______．27．（2023春·江蘇揚州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S3=4，S6=12，則S9=______.28．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則的通項公式為______.29．（2023春·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則______.30．（2023春·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列．為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．則___________．31．（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項等比數(shù)列的前項積為，若是中唯一的最小項，則滿足條件的的通項公式可以是_________（寫出一個即可）.32．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項和.，，則______.33．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______．34．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________.35．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學(xué)?？计谀┮阎缺葦?shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和等于___________36．（2023·高三課時練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項和，則常數(shù)k的值為______．四、解答題37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.38．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．39．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和的值．40．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列與中的所有項分別構(gòu)成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成