001-第一章-水文統(tǒng)計(jì)

水文統(tǒng)計(jì)學(xué)(2013-2014第一學(xué)期)任課教師聯(lián)系方式：

何海hehai939@163.com電話一章事件與概率§1－1事件及其運(yùn)算§1－2概率的定義與性質(zhì)§1－3條件概率與事件的獨(dú)立性一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件二、事件的關(guān)系三、事件的運(yùn)算§1－1事件及其運(yùn)算

兩種自然現(xiàn)象必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）隨機(jī)現(xiàn)象（不確定性現(xiàn)象）一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件例1-1：

觀察某地

區(qū)的年降水量，有無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果，在年終之前，我們不能確定該年的降水量是多少;觀測(cè)河流某斷面處的年最高水位，年最大洪峰流量等，也屬于隨機(jī)現(xiàn)象;觀察南京地區(qū)的夏季氣溫，在發(fā)生之前，我們無(wú)法預(yù)先知道它到底會(huì)有多高，這是也是一種隨機(jī)現(xiàn)象。常見(jiàn)的水文隨機(jī)現(xiàn)象周期性：眾多水文現(xiàn)象具有周期循環(huán)變化的性質(zhì)區(qū)域性：水文現(xiàn)象在不同氣候區(qū)呈現(xiàn)不同的特征

水文現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律

隨機(jī)試驗(yàn)：可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；而且每次試驗(yàn)的結(jié)果可能有很多種，試驗(yàn)之前不可能知道會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果；但所有可能的結(jié)果事先是能夠知道的。隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)每一種可能的結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

例1-2：“拋一枚硬幣，正面朝上”

“拋一枚硬幣”是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上。拋一枚硬幣，正面朝上”是一個(gè)隨機(jī)事件。例1-3：“南京市8月份降水量在300~430mm之間”

“觀測(cè)南京市八月份的降水量”是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。“降水量在300－430毫米之間”是一個(gè)隨機(jī)事件。隨機(jī)事件基本事件(樣本點(diǎn))

隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能結(jié)果（ω

e）基本空間（基本事件空間或樣本空間）隨機(jī)試驗(yàn)E的所有基本事件的全體。（Ω

）復(fù)合事件由若干個(gè)基本事件復(fù)合而成的事件。（ABC）

基本事件、基本空間、復(fù)合事件

例1-4：拋一枚硬幣，觀察所出現(xiàn)的面。

基本事件：ω1=“正面朝上”，

ω2=“反面朝上”，

基本空間：Ω={ω1,ω2}例1-5：觀測(cè)某地年降水量基本事件：

ωx=年降水量為x，

基本空間：Ω

={x；0<x<PMP},

PMP為該地最大年降水量。例1-6：一個(gè)盒中裝有完全相同的10個(gè)球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，2，…，10，從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，觀察球的標(biāo)號(hào)。

基本事件：ωi=取得球的標(biāo)號(hào)為i，

基本空間：Ω={ω1，ω2，…，ω10}

設(shè)A表示“取得球標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”

復(fù)合事件：A={2，4，6，8，10}

例1-7：一個(gè)硬幣先后拋三次，觀察其出現(xiàn)正面或反面的情況，寫出基本空間。基本事件：

（正，正，正）；（正，正，反）

（正，反，正）；（正，反，反）（反，正，正）；（反，正，反）

（反，反，正）；（反，反，反）

基本空間：8個(gè)基本事件的集合，23=8隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情（A

B

C）必然事件：在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事情（Ω

）不可能事件：在一定條件下一定不會(huì)發(fā)生的事件。（φ

）事件的分類在討論一個(gè)事件的必然性、不可能性或隨機(jī)性時(shí),必須將它與一定的條件聯(lián)系起來(lái)。因?yàn)樵诓煌臈l件下，同一事件可以是必然的，也可以是不可能的或隨機(jī)的。說(shuō)明隨機(jī)事件是若干個(gè)基本事件的集合；必然事件是全集；不可能事件是空集。

一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件二、事件的關(guān)系三、事件的運(yùn)算§1－1事件及其運(yùn)算若事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生，則稱事件A包含事件B。記為B

A或A

B。若B

A且B

A，則稱事件A與事件B相等，記為A=B。包含/相等關(guān)系A(chǔ)BΩ二、事件的關(guān)系事件A與事件B互斥（也稱互不相容）：事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生。若A與B有可能同時(shí)發(fā)生，則稱A

與B為相容事件?；臼录ゲ幌嗳荨?/p>

互斥/相容關(guān)系A(chǔ)BΩABΩ例1-8：擲骰子試驗(yàn)中：A—出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)B—出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)C—出現(xiàn)小于4的點(diǎn)

A與B互斥關(guān)系（不相容）B與C相容關(guān)系A(chǔ)與C相容關(guān)系若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，則稱事件A是事件B的對(duì)立事件（逆事件），或B是A的對(duì)立事件（逆事件）。記為A=或B=若B是A的對(duì)立事件，則A也是B的對(duì)立事件。A的對(duì)立事件是由基本空間中不屬于A的基本事件組成。

對(duì)立關(guān)系（逆事件）AΩ例1-9：擲骰子試驗(yàn)中：A—出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)B—出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)

A與B對(duì)立關(guān)系例1-10：觀測(cè)南京市年降水日數(shù)：A—南京市的年降水日數(shù)大于等于80天B—南京市的年降水日數(shù)小于80天

C—南京市的年降水日數(shù)小于60天A與B對(duì)立關(guān)系;A與C互斥關(guān)系

兩事件A，B對(duì)立與互斥的區(qū)別：

共同點(diǎn)：A，B不能同時(shí)發(fā)生

不同點(diǎn)：互斥A、B不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生對(duì)立A、B不能同時(shí)發(fā)生，但必定有一個(gè)發(fā)生對(duì)立一定互斥；互斥不一定對(duì)立說(shuō)明一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,若A的發(fā)生與否對(duì)事件B的發(fā)生沒(méi)有任何影響,稱事件A與事件B是獨(dú)立關(guān)系,反之則不獨(dú)立.例1-11：甲、乙兩人打靶：

A—甲打中10環(huán)；B—乙打中10環(huán)例1-12：觀測(cè)南京市的降雨日數(shù)：

A—2001年85天；B—2002年92天獨(dú)立/不獨(dú)立關(guān)系二、事件的關(guān)系A(chǔ)BΩABΩABΩABΩAΩAΩ一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件二、事件的關(guān)系三、事件的運(yùn)算§1－1事件及其運(yùn)算如果定義事件C為“事件A與事件B中至少有一個(gè)出現(xiàn)”，則稱事件C為事件A與事件B之和。記為：C=A+B或C=A∪B

事件之和

ABΩC說(shuō)明兩個(gè)相同事件之和仍是它本身，即A+A=A；如果A

B，則A+B=B。事件之和的概念可以推廣到事件為有限個(gè)或可列個(gè)的情況。記為：

A=A1+A2+…，或A=A1∪A2∪…例1-13：衡量圓柱形產(chǎn)品質(zhì)量有兩個(gè)指標(biāo)：長(zhǎng)度和直徑。如果以A—“產(chǎn)品不合格”；

B—“產(chǎn)品長(zhǎng)度不合格”；

C—“產(chǎn)品直徑不合格”；那么，事件B與C中至少有一個(gè)發(fā)生，A就發(fā)生，所以，事件A是事件B與事件C之和。

如果定義事件C為“事件A發(fā)生，而事件B不發(fā)生”，則稱事件C為事件A與事件B的差。

記為:C=A-B

事件之差

ABΩC例1-14：擲一顆骰子，觀察它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

設(shè)A—“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；

B—“出現(xiàn)2點(diǎn)”；那么：事件C=（A-B）表示“出現(xiàn)4點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件。

如果定義事件C為事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的積。記為：C=AB或C=A∩B事件之積兩個(gè)相同事件之積仍是它本身，即AA=A

如果A

B，則AB=B。事件之積的概念可以推廣到事件為有限個(gè)或可列個(gè)的情況。記為：說(shuō)明例1-15：衡量圓柱形產(chǎn)品質(zhì)量有兩個(gè)指標(biāo)：長(zhǎng)度和直徑。若設(shè)A—“產(chǎn)品合格”，

B—“長(zhǎng)度合格”，

C—“直徑合格”，那么，只有長(zhǎng)度與直徑都合格時(shí)，產(chǎn)品才合格，所以A為事件B與C的積，即A=BC。

定義事件A的對(duì)立事件即為A的逆，記為：求逆的運(yùn)算既可以看做是一種運(yùn)算，也可以看做是對(duì)立事件的一種關(guān)系。

求逆的運(yùn)算

事件運(yùn)算性質(zhì)1、交換律A+B=B+A

AB=BA2、結(jié)合律A+（B+C）=（A+B）+C

A（BC）=（AB）C3、分配律A（B+C）=AB+AC

A（B-C）=AB-AC

(A+B)(A+C)=A+（BC）常用的事件運(yùn)算性質(zhì)4、差化積公式A–B=A–AB5、德˙摩根定律；

對(duì)n個(gè)事件，德˙摩根定律也成立。在對(duì)事件進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，規(guī)定為：先進(jìn)行逆的運(yùn)算，再進(jìn)行積的運(yùn)算，最后進(jìn)行和與差的運(yùn)算。如有括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。運(yùn)算順序例1-16：設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件。

(1)只有A發(fā)生:(2)A和B都發(fā)生而C不發(fā)生:(3)A，B，C都發(fā)生:(4)A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生:(5)至少有兩個(gè)事件發(fā)生(6)A發(fā)生，B不發(fā)生:(7)三個(gè)事件都不發(fā)生:;

(8)A，B，C中至少有一個(gè)不發(fā)生:;隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件事件的關(guān)系事件的運(yùn)算小結(jié)基本概念、事件關(guān)系、運(yùn)算性質(zhì)熟練掌握一、概率的定義二、概率的性質(zhì)三、加法公式§1－2概率的定義與性質(zhì)定量表達(dá)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性

設(shè)：P（A）——數(shù)若事件A、B不相容：

P（A

+B）=P（A）+P（B）對(duì)n個(gè)不相容事件同樣成立。一、概率的定義P（Ω）=1；P（φ)=0例1-17：一學(xué)生從編號(hào)為1，2，……10的10張考簽中任抽一張，問(wèn)結(jié)果是“抽到3號(hào)考簽”的可能性是多少？“抽簽”的基本事件總共：10個(gè)“抽到3號(hào)”事件：1個(gè)“抽到3號(hào)考簽”的可能性為=1/10=0.1。

概率的古典定義

若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件：基本事件有限個(gè)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的

則稱這類試驗(yàn)為古典型試驗(yàn)，它可以作為一類隨機(jī)現(xiàn)象的抽象化模型，因此又稱為古典概型。概率的古典定義P(A)=A所包含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)是n，而事件A由其中的m個(gè)基本事件構(gòu)成，則事件A發(fā)生的概率P(A)

為:

在古典概型下求事件A發(fā)生的概率，關(guān)鍵是求出基本事件的總數(shù)n和A所包含的基本事件數(shù)m。

概率的古典定義例1-18：在1000張獎(jiǎng)券，一等獎(jiǎng)2張，二等獎(jiǎng)50張，三等獎(jiǎng)98張，求：（1）任抽一張，中獎(jiǎng)的概率；（2）任抽兩張，中獎(jiǎng)的概率和沒(méi)中獎(jiǎng)的概率。解（1）：

設(shè)：A—任抽一張且中獎(jiǎng)

基本事件總數(shù)：n=1000，抽到每一張的可能性相等；

A所包含的基本事件數(shù)：m=2+50+98=150

P（A）=m/n=150/1000=3/20

例1-18：在1000張獎(jiǎng)券，一等獎(jiǎng)2張，二等獎(jiǎng)50張，三等獎(jiǎng)98張，求：（2）任抽兩張，中獎(jiǎng)的概率和沒(méi)中獎(jiǎng)的概率。解（2）：

設(shè)：B—任抽兩張且中獎(jiǎng);—任抽兩張沒(méi)中獎(jiǎng)

基本事件總數(shù)：n=

=（1000X999）/2=499500

事件B分解為兩個(gè)事件的和:B=B1+B2P（B）=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)P(B1)=/=127500/499500P(B2)=/=11175/499500P（B）=P(B1)+P(B2)=0.28P

(B+)=P(B)+P

()=1;P

()=1-0.28=0.72

例1-19：某環(huán)保部門為了了解不同地區(qū)的真實(shí)水質(zhì)情況,將從甲河取到的3個(gè)水樣和乙河取到的6個(gè)水樣,共計(jì)9個(gè)水樣隨機(jī)地平均分配到3個(gè)不同部門的實(shí)驗(yàn)室化驗(yàn)。求：（1）每個(gè)實(shí)驗(yàn)室各分到一個(gè)甲河水樣的概率；（2）3個(gè)甲河水樣被分到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室的概率。解（1）：設(shè)：A—每個(gè)實(shí)驗(yàn)室各分到一個(gè)甲河水樣

基本事件的總數(shù)：n=

=1680；隨機(jī)分配等可能；A包含的基本事件數(shù)：m==540；

P（A）=m/n=540/1680=9/28解（2）：設(shè)：B—3個(gè)甲河水樣被分到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室

基本事件的總數(shù)：n=1680B包含的基本事件數(shù)：m==60

P（B）=m/n=60/1680=1/28

以A表示隨機(jī)事件“點(diǎn)落在圓形區(qū)域中”，則A發(fā)生的可能性為：

P（A）=

概率的幾何定義

AΩ例1-19：某號(hào)臺(tái)風(fēng)將在我國(guó)東南沿海長(zhǎng)500公里的某段海岸線登陸，它在此段海岸線上任意一處登陸的可能性都是相同的，問(wèn)該號(hào)臺(tái)風(fēng)在此海岸線上的某重點(diǎn)防護(hù)的100公里地段上登陸的可能性有多大？

A—臺(tái)風(fēng)在重點(diǎn)防護(hù)的100公里地段登陸；

P（A）=

概率的幾何定義例1-20：設(shè)在面積為1000km2的流域內(nèi)，暴雨中心落在任何一處的可能性都相同，問(wèn)暴雨中心出現(xiàn)在流域內(nèi)面積為500km2的某區(qū)域內(nèi)的可能性有多大？A—暴雨中心出現(xiàn)在流域內(nèi)面積為500km2的某區(qū)域；P（A）=概率的幾何定義例1-21：設(shè)在1000亳升的自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一杯20亳升的水樣，求在此杯水中發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。

A—所取水樣中出現(xiàn)大腸桿菌；P（A）=

概率的幾何定義若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件：基本事件有無(wú)限多個(gè),基本空間為一有界的幾何區(qū)域;試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.

則稱這類隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判汀?duì)于幾何概型,設(shè)基本空間為Ω,事件A

Ω,則事件A的概率:

P（A）=

概率的幾何定義

例1-22：（會(huì)面問(wèn)題）設(shè)兩人相約于某日下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等候另一人半小時(shí)，過(guò)時(shí)就離去。如果每人可在所指定的一小時(shí)內(nèi)的任一時(shí)刻到達(dá)，并且兩人到達(dá)的時(shí)刻是彼此無(wú)關(guān)的，試求兩人能會(huì)面的概率。解(1)：設(shè)A—兩人能會(huì)面；判斷概率類型以x,y分別表示兩人各自到達(dá)約會(huì)地的時(shí)刻點(diǎn)，根據(jù)題意：；；（x，y）構(gòu)成圖示邊長(zhǎng)為1的正方形空間中的一點(diǎn)；基本空間：

Ω=正方形面積；

A的幾何測(cè)度：g=陰影部分面積

P（A）=事件頻率設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了m次，則比值

fn（A）=

稱為事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。

頻率在一點(diǎn)程度上定量反映了事件出現(xiàn)可能性的大小.概率的統(tǒng)計(jì)定義

若事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性較大,則在多次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)一般也較多;反之,若A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性較小,則在多次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)一般也較少。下表為法國(guó)科學(xué)家蒲豐和英國(guó)生物學(xué)家皮爾遜做擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果:

試驗(yàn)者

蒲豐

皮爾遜試驗(yàn)次數(shù)n155050040401200024000正面朝上次數(shù)m03282452048601912016

頻率00.60.560.490.50690.50160.5006在相同條件下所做的n次試驗(yàn)中，當(dāng)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，則稱p為事件A發(fā)生的概率，即：

P（A）=p

概率的統(tǒng)計(jì)定義

一、概率的定義二、概率的性質(zhì)三、加法公式§1－2概率的定義與性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：P（）

=1

P（φ）

=0-必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0。但反過(guò)來(lái)的論斷不成立。概率為1的事件并非一定是必然事件，概率為0的事件并非一定是不可能事件。

二、概率的性質(zhì)

性質(zhì)3：兩個(gè)互斥事件A與B之和的概率等于事件

A與B的概率之和。

P（A+B）=P（A）+P（B）這個(gè)性質(zhì)可以推廣到一般情況，若事件

A1，A2，A3…An互斥，即AiAj=(ij),

則有：

P（A1+A2+……+An）=P（A1）+P（A2）

+…+P（An）

證：設(shè)總的基本數(shù)為n，其中事件A與B

所含的基本事件數(shù)分別為mA與mB，事件A與B互斥，沒(méi)有相同的基本事件事件A+B所包含的基本事件數(shù)為mA+mB，P(A)=，P（B）=

P(A+B)==+=P(A)+P(B)性質(zhì)4：對(duì)任何事件A，有

P（）=1-P（A）證：A+

=，且A

=φ由性質(zhì)2得P（A+

）=P（）=1，根據(jù)性質(zhì)3得P（A+）=P（A）+P（）所以：P（A）+P（）=1，因此：P（）=1-P（A）性質(zhì)5：設(shè)A、B為二事件，且A

B，則

P(A－B)=P(A)-P(B)且P(A)

P(B)證：當(dāng)A

B時(shí)，有

A＝B＋(A－B)，且B(A－B)=φ

P(A)＝P[B＋(A－B)]＝P(B)＋P(A－B)

即P(A－B)＝P(A)－P(B)

又P(A－B)

，可得P(A)

P(B)若:

B

A,則:

P(A－B)=P(A)-P(AB)一、概率的定義二、概率的性質(zhì)

三、加法公式§1－2概率的定義與性質(zhì)性質(zhì)6：對(duì)任意二事件A，B，有

P(A+B)

＝P(A)＋P(B)－P(AB)

證：A＋B＝A＋(B－AB)，且A(B－AB)=φ

所以：P(A+B)＝P［A＋(B－AB)］＝P(A)＋P(B－AB)

又B

AB，由性質(zhì)5得

P(B－AB)＝P(B)－P(AB)

故P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

三、加法公式

例1-23：某學(xué)校招生錄取率為55%，其錄取標(biāo)準(zhǔn)有兩條：總分超過(guò)500；不及格門數(shù)不超過(guò)兩門。估計(jì)各有70%的考生達(dá)到上述兩條標(biāo)準(zhǔn)。求兩條標(biāo)準(zhǔn)均沒(méi)達(dá)到的考生比率。解：A—總分超過(guò)500分

B—不及格門數(shù)不超過(guò)兩門已知條件：P(A)=0.7;P(B)=0.7;P(AB)=0.55求解問(wèn)題：P(A

B)=?根據(jù)加法公式：P(A

B)=P(A)+P(B)-P(A+B)P(A)=1-P(A)=0.3

P(B)=1-P(B)=0.3

A+B=AB;P(A+B)=1-P(AB)=0.45

P(A

B)=0.3+0.3-0.45=0.15例1-23：某學(xué)校招生錄取率為55%，其錄取標(biāo)準(zhǔn)有兩條：總分超過(guò)500；不及格門數(shù)不超過(guò)兩門。估計(jì)各有70%的考生達(dá)到上述兩條標(biāo)準(zhǔn)。求兩條標(biāo)準(zhǔn)均沒(méi)達(dá)到的考生比率。解：A—總分超過(guò)500分

B—不及格門數(shù)不超過(guò)兩門已知條件：P(A)=0.7;P(B)=0.7;P(AB)=0.55求解問(wèn)題：P(A

B)=?例1-24：據(jù)天氣預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1。求：（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）至少有一天下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率；（4）兩天都不下雨的概率。解(1)：Ai—第i（i=1，2）天下雨已知條件：P(A1)=0.6；P(A2)=0.3；P(A1A2)=0.1求解問(wèn)題:(1)P(A1A2);(2)P(A1+A2);(3)P(A1A2);(4)P(A1A2);(1)

A1A2=A1-A2=A1-A1A2

P(A1A2)

=P(A1-A1A2)=P(A1)-P(A1A2)=0.6-0.1=0.5(2)

P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=0.6+0.3-0.1=0.8(3)

P(A1A2)=1-

P(A1A2)=1-0.1=0.9(4)

A1A2

=(A1+A2)

;

P(A1A2)=P(A1+A2)=1-P(A1+A2)=1-0.8=0.2概率的定義概率的性質(zhì)加法公式小結(jié)一、條件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、貝葉斯公式§1－3條件概率與事件的獨(dú)立性

例1-25：10張獎(jiǎng)券中，2張獎(jiǎng)券是有獎(jiǎng)的，其中一等獎(jiǎng)1張，二等獎(jiǎng)1張。（1）任意抽取一張，抽到一等獎(jiǎng)的概率；（2）抽到了中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券

，這張獎(jiǎng)券是一等獎(jiǎng)的概率；

A—抽到一等獎(jiǎng)；

B—抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券；問(wèn)題（2）：在事件B發(fā)生的條件下，事件A的概率一、條件概率設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（B）>0，則稱

P（）=為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。

條件概率設(shè)基本事件總數(shù)為n，其中事件A包含mA基本事件，事件B包含mB個(gè)基本事件，事件AB包含mAB個(gè)基本事件。從古典概型證明條件概率公式把mB看作基本事件的總數(shù)，在這mB基本事件中，屬于事件A的基本事件數(shù)有mAB個(gè).

故:例1-26:某種產(chǎn)品，尺寸和光潔度都合格就認(rèn)為此件產(chǎn)品合格。今有該種產(chǎn)品100件，其中95件尺寸合格，92件光潔度合格，90件尺寸及光潔度都合格。從中任取一件，發(fā)現(xiàn)光潔度合格，問(wèn)此件產(chǎn)品為合格品的概率是多少？解：A—產(chǎn)品尺寸合格；

B—產(chǎn)品光潔度合格

已知條件：A=95；B=92；AB=90；Ω=100求解問(wèn)題：P（A∣B）=？

P（A∣B）=P（AB）/P（B）

P（AB）=90/100=9/10；P（Ｂ）＝92/100

P（A∣B）=P（AB）/P（B）＝90/92＝45/46

同概率的一般性質(zhì)

:1、2、3、條件概率的性質(zhì)P(φ/B)=04、5、例1-27:一批按同一標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的小型水庫(kù)，建成后能正常運(yùn)行30年的概率為0.95，能正常運(yùn)行40年的概率為0.80，問(wèn)現(xiàn)在已正常運(yùn)行了30年的水庫(kù)能正常運(yùn)行到40年的概率是多少？解：A—建成后能正常運(yùn)行30年Ｂ—建成后能正常運(yùn)行40年已知條件：Ｐ(A)=0.95;P(B)=0.8求解問(wèn)題：Ｐ(B∣A)=?例1-28:設(shè)一批產(chǎn)品合格率為98%，合格品中的一等品率為70%，問(wèn)任意抽取一件產(chǎn)品，它為一等品的概率是多少？解：A—抽到合格品Ｂ—抽到一等品已知條件：Ｐ(A)=0.98;Ｐ(B∣A)=0.7求解問(wèn)題：P(B)=？一、條件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、貝葉斯公式§1－3條件概率與事件的獨(dú)立性

對(duì)條件概率公式進(jìn)行改寫,得到概率的乘法公式:

乘法公式概率的乘法定理可以推廣到n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的情形：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果事件A的發(fā)生對(duì)事件B沒(méi)有任何影響,那么:

P（B/A）=P（B）稱事件B對(duì)事件A是獨(dú)立的.事實(shí)上:若事件B對(duì)事件A對(duì)立,那么事件A對(duì)事件B也一定是獨(dú)立的.根據(jù)條件概率公式:若P（B/A）=P（B）,則P（A/B）=P（A）通常稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱獨(dú)立。事件的獨(dú)立性設(shè)A、B為兩事件，若:

P（AB）=P（A）P（B）則稱事件A與B相互獨(dú)立。若事件A和B獨(dú)立，則A與，與B，與也是獨(dú)立的。事件的獨(dú)立性例1-29:某防汛部門有甲乙兩人各自獨(dú)立開(kāi)展洪水預(yù)報(bào)。甲報(bào)準(zhǔn)的概率0.88,乙報(bào)準(zhǔn)的概率0.92，求在一次預(yù)報(bào)中，甲乙兩人中至少有1人報(bào)準(zhǔn)的概率。解：A—甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確

B—乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確

C—甲、乙至少一人預(yù)報(bào)準(zhǔn)確已知條件：P（A）=0.88；P（B）=0.92求解問(wèn)題：P（C）=？

C=A+B：

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A與B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)

P(C)=0.88+0.92-0.88×0.92≈0.99例1-29:某防汛部門有甲乙兩人各自獨(dú)立開(kāi)展洪水預(yù)報(bào)。甲報(bào)準(zhǔn)的概率0.88,乙報(bào)準(zhǔn)的概率0.92，求在一次預(yù)報(bào)中，甲乙兩人中至少有1人報(bào)準(zhǔn)的概率。解：A—甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確

B—乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確

C—甲、乙至少一人預(yù)報(bào)準(zhǔn)確已知條件：P（A）=0.88；P（B）=0.92求解問(wèn)題：P（C）=？

P(C)=1-P(C)=1-P(A

B）

A與B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]

P(C)=1-(1-0.88)

(1-0.92)=1-0.12×0.08≈0.99例1-30:已知P（A）=a，P（B）=0.3，P（A+B）=0.7求：（1）A、B不相容，求a；（2）A、B獨(dú)立，求a。解：（1）A、B不相容加法公式:(2)A、B獨(dú)立，A與B也相互獨(dú)立

例1-31:某地區(qū)D位于甲乙兩河交匯處,假設(shè)其中任一河流泛濫都將導(dǎo)致該地區(qū)淹沒(méi),如果每年甲河泛濫的概率為0.2,乙河泛濫的概率為0.4,當(dāng)甲河泛濫而導(dǎo)致乙河泛濫的概率為0.3.求：（1）任一年甲乙兩河都泛濫的概率；（2）該地區(qū)被淹沒(méi)的概率;

(3)由乙河泛濫導(dǎo)致甲河泛濫的概率.解：設(shè):A—甲河泛濫；B—乙河泛濫；C—地區(qū)D淹沒(méi)已知條件：P(A)=0.2;P(B)=0.4;Ｐ(B∣A)=0.3求解問(wèn)題:P(AB)=?;P(C)=?;P(A∣B)=?(1)

P(AB)=P(A)Ｐ(B∣A)=0.2x0.3=0.06;(2)P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6-0.06=0.54(3)

一、條件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、貝葉斯公式§1－3條件概率與事件的獨(dú)立性

例1-32:

有甲、乙兩個(gè)盒子，其中甲盒中有2只白球、5只紅球，乙盒中有3只白球、4只紅球。從甲盒中任取1球放入乙盒，再?gòu)囊液兄腥稳?球，求：取到白球的概率。解：A—從乙盒中取到白球；

B1—從甲盒中取到白球；B2—從甲盒中取到紅球已知條件：P(B1)=2/7;P(B2)=5/7求解問(wèn)題：P(A)=?

A=B1A+B2A;P(A)=P(B1A+B2A)B1和B2是兩個(gè)不相容事件，所以B1A和B2A也是不相容的

P(A)=P(B1A+B2A)=P(B1A)+P(B2A)=P(B1)P(A｜B1)+P(B2)P(A｜B2)=三、全概率公式

設(shè)B1，B2,……,Bn是基本空間中的一組事件，且滿足:

則稱B1，B2……Bn為的一個(gè)完備事件群簡(jiǎn)稱完備群,也稱為的劃分。對(duì)任意事件A,則有:全概率公式

全概率公式運(yùn)用了“化整為零”解決問(wèn)題思路；全概率公式做出了由因求果的推斷；全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)：（1）所研究的事件A前一步驟試驗(yàn)B有多種可能Bi；（2）每一種可能Bi都會(huì)對(duì)事件A的結(jié)果產(chǎn)生影響。全概率公式

某種事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi（i=1，2，…,n）引起：（1）如果A是由其中的一個(gè)Bi引起的，則A發(fā)生的概率是條件概率的轉(zhuǎn)換形式：（2）如果A是由所有的Bi（i=1,2,…,n）引起的,則A發(fā)生的概率是引起A發(fā)生的所有原因Bi條件概率之和，也就是全概率公式：全概率公式

與條件概率例1-33:一批水文數(shù)據(jù)由A1，A2，A3三人抄錄，每人抄錄的數(shù)據(jù)分別為數(shù)據(jù)總量的0.5，0.25，0.25。每人的抄錯(cuò)率分別為2%，1%，0.5%，現(xiàn)從這批數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求該數(shù)據(jù)恰為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的概率。解：Ai—該數(shù)為Ai所抄錄（i=1，2，3）

B—所取數(shù)據(jù)為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)

例1-34:

五張簽中，三個(gè)上面寫著“有”，兩個(gè)上面寫著“無(wú)”，五人依次各抽一簽，求各人抽到有的概率。解法一：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）例1-34:

五張簽中，三個(gè)上面寫著“有”，兩個(gè)上面寫著“無(wú)”，五人依次各抽一簽，求各人抽到有的概率。解法二：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）例1-34:

五張簽中，三個(gè)上面寫著“有”，兩個(gè)上面寫著“無(wú)”，五人依次各抽一簽，求各人抽到有的概率。解法三：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）

把問(wèn)題視為五張簽任意排列，Ai即為排在第i位的簽為“有”的情況，可直接用概率古典定義計(jì)算。

基本事件的總數(shù)：

Ai所包含的基本事件數(shù)：

一、條件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、貝葉斯公式§1－3條件概率與事件的獨(dú)立性

例1-35:甲、乙兩個(gè)盒子，其中甲盒中有2只白球、5只紅球，乙盒中有3只