實驗班八年級上等腰三角形提高訓練及答案解析

-.z.八年級〔上〕"等腰三角形"提高訓練班級：________________：_______________________一、選擇題〔共10小題〕1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為〔〕A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°第1題第2題2．如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，假設∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為〔〕A．44° B．66° C．88° D．92°3．如圖，∠AOB=40°，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別存在點Q、點P，過點Q作直線QR∥OB，當OP=QP時，∠PQR的度數(shù)是〔〕A．60° B．80° C．100° D．120°第3題第4題4．如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°5．如圖，AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，假設∠A=70°，則∠An﹣1AnBn﹣1的度數(shù)為〔〕A． B． C． D．第5題第6題6．如下圖，在等邊三角形ABC中，O是三個角平分線的交點，OD∥AB，OE∥AC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是〔〕A．7 B．6 C．5 D．47．如圖，在△ABC、△ADE中，C、D兩點分別在AE、AB上，BC、DE交于點F，假設BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC為〔〕A．114° B．123° C．132° D．147°第7題第8題第9題8．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，則△AED的周長為〔〕A．2 B．3 C．4 D．59．如圖，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分線，DE∥BC交AB于E，以下結(jié)論：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正確的有〔〕A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．如圖，△PBC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△ABC的面積為〔〕A．10cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2第10題第12題二、填空題〔共10小題〕11．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．12．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，假設FG=2，ED=6，則EB+DC=．13．如圖，在△ABC中，BI、CI分別平分∠ABC、∠ACF，DE過點I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，則DE等于．第13題第14題14．如圖，△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過O作EF∥BC交AB、AC于E、F，假設△ABC的周長比△AEF的周長大12cm，O到AB的距離為3cm，△OBC的面積cm2．15．有一三角形紙片ABC，∠A=80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是．第15題第16題16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設運動時間為t秒，當t為時，△ACP是等腰三角形．17．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC．給出以下結(jié)論：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正確的結(jié)論是．第17題第18題18．如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停頓運動．〔1〕當點M、N運動秒時，M、N兩點重合；〔2〕當點M、N運動秒后，M、N與△ABC中的*個頂點可得到等腰三角形．19．如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點P為△ABC所在平面一點，且點P與△ABC的任意兩個頂點構成的△PAB，△PBC，△PAC均為等腰三角形，則滿足上述條件的所有點P有個．〔請在圖形中表示點P的位置〕第19題第20題20．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．假設△AEM構成等腰三角形，則BE的長為．三、解答題〔共10小題〕21．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．〔1〕求證：△DEF是等腰三角形；〔2〕當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)．第21題22．如圖，點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．〔1〕求證：①AB=AD；②CD平分∠ACE．〔2〕猜測∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關系？并對你的猜測加以證明．第22題23．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，點D在線段BC上運動〔點D不與B、C重合〕，連接AD，作∠ADE=50°，DE交線段AC于E．〔1〕在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？假設可以，請求出∠BDA的度數(shù)；假設不可以，請說明理由．〔2〕假設DC=2，求證：△ABD≌△DCE．第23題24．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，過E作EF⊥AD，垂足為H，并交BC延長線于F．〔1〕求證：AE=ED；〔2〕Q請猜測∠B與∠CAF的大小關系，并證明你的結(jié)論．第24題25．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC．第25題26．如圖，BD和CD分別平分△ABC的角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．〔1〕求證：∠BDC=∠BAC；〔2〕假設AB=AC，請判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；〔3〕在〔2〕的條件下，假設AF=BF，求∠EBA的大?。?6題27．定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．〔如圖1所示〕〔1〕請你在圖2中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設∠C=*°，試畫出示意圖，并求出*所有可能的值．第27題28．如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點〔端點除外〕，點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度一樣，連接AQ、CP交于點M．〔1〕求證：△ABQ≌△CAP；〔2〕如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？假設變化，請說理由；假設不變，求出它的度數(shù)．〔3〕如圖2，假設點P、Q在分別運動到點B和點C后，繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC=度．〔直接填寫度數(shù)〕第28題29．如圖，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段AC上由點A向C點以4cm/s的速度運動．〔1〕假設點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發(fā)，經(jīng)過2秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；〔2〕假設點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發(fā)，△CPQ的周長為18cm，問：經(jīng)過幾秒后，△CPQ是等腰三角形？第29題30．如圖1，C是線段BE上一點，以BC、CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊△ABC和等邊△DCE，連結(jié)AE、BD．〔1〕求證：BD=AE；〔2〕如圖2，假設M、N分別是線段AE、BD上的點，且AM=BN，請判斷△CMN的形狀，并說明理由．第30題八年級〔上〕"等腰三角形"提高訓練參考答案與試題解析一．選擇題〔共10小題〕1．〔2016?棗莊〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為〔〕A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．應選A．2．〔2016?〕如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，假設∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為〔〕A．44° B．66° C．88° D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，應選：D．3．〔2016?聊城模擬〕如圖，∠AOB=40°，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別存在點Q、點P，過點Q作直線QR∥OB，當OP=QP時，∠PQR的度數(shù)是〔〕A．60° B．80° C．100° D．120°【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．應選C4．〔2016?濱州〕如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=〔180°﹣25°〕=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，應選D．5．〔2016?六盤水〕如圖，AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，假設∠A=70°，則∠An﹣1AnBn﹣1的度數(shù)為〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠An﹣1AnBn﹣1=．應選：C．6．〔2016春?藍田縣期末〕如下圖，在等邊三角形ABC中，O是三個角平分線的交點，OD∥AB，OE∥AC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是〔〕A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：①∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形；②∵BO，CO，AO分別是三個角的角平分線，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB為等腰三角形；③△AOC為等腰三角形；④△BOC為等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE為等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD為等腰三角形；⑦△COE為等腰三角形．故答案是：7個．7．〔2016?慈溪市一?！橙鐖D，在△ABC、△ADE中，C、D兩點分別在AE、AB上，BC、DE交于點F，假設BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，則∠DFC為〔〕A．114° B．123° C．132° D．147°【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，應選B．8．〔2016?阿壩州〕如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，則△AED的周長為〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周長=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周長=3+1=4．應選C．9．〔2016?海曙區(qū)一?！橙鐖D，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分線，DE∥BC交AB于E，以下結(jié)論：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正確的有〔〕A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：∵BA=BC，BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB，∴∠1=∠3，故①正確；===，即DE=BC，故②正確；由△ADE∽△ACB，且=可得=〔〕2=，即S△ADE=S△ABC，故③正確；應選：D．10．〔2016秋?江陰市期中〕如圖，△PBC的面積為10cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則△ABC的面積為〔〕A．10cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2【解答】解：如圖，延長AP交BC于點Q，∵AP垂直∠ABC的平分線BP于P，∴AP=QP，∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S△ABC=2S陰影=20cm2，應選D．二．填空題〔共10小題〕11．〔2016?〕等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為69°或21°．【解答】解：分兩種情況討論：①假設∠A＜90°，如圖1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=〔180°﹣42°〕=69°；②假設∠A＞90°，如圖2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=〔180°﹣138°〕=21°；綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69°或21°．故答案為：69°或21°．12．〔2016秋?玉環(huán)縣期中〕如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，假設FG=2，ED=6，則EB+DC=8．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵FG=2，ED=6，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，故答案為8．13．〔2016秋?雁塔區(qū)校級月考〕如圖，在△ABC中，BI、CI分別平分∠ABC、∠ACF，DE過點I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，則DE等于3cm．【解答】解：∵BI、CI分別平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3〔cm〕．故答案為：3cm．14．〔2016秋?東湖區(qū)月考〕如圖，△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過O作EF∥BC交AB、AC于E、F，假設△ABC的周長比△AEF的周長大12cm，O到AB的距離為3cm，△OBC的面積18cm2．【解答】解：∵∠B與∠C的平分線交于點O，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=FC，∴EF=BE+CF，∴AE+EF+AF=AB+AC，∵△ABC的周長比△AEF的周長大12cm，∴〔AC+BC+AC〕﹣〔AE+EF+AF〕=12，∴BC=12cm，∵O到AB的距離為3cm，∴△OBC的面積是cm×3cm=18cm2．，故答案為：18．15．〔2016?模擬〕有一三角形紙片ABC，∠A=80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是25°或40°或10°．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有①AB=BD，此時∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°，∠C=〔180°﹣100°〕=40°，②AB=AD，此時∠ADB=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣80°〕=50°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°，∠C=〔180°﹣130°〕=25°，③AD=BD，此時，∠ADB=180°﹣2×80°=20°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°，∠C=〔180°﹣160°〕=10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°．故答案為：25°或40°或10°．16．〔2016?模擬〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設運動時間為t秒，當t為3，6或6.5或5.4時，△ACP是等腰三角形．【解答】解：由題意可得，第一種情況：當AC=CP時，△ACP是等腰三角形，如右圖1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二種情況：當CP=PA時，△ACP是等腰三角形，如右圖2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=〔CB+BP〕÷2=〔8+5〕÷2=6.5秒；第三種情況：當AC=AP時，△ACP是等腰三角形，如右圖3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=〔CB+BA﹣AP〕÷2=〔8+10﹣6〕÷2=6秒；第四種情況：當AC=CP時，△ACP是等腰三角形，如右圖4所示，作CD⊥AB于點D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，設CD=4a，則AD=3a，∴〔4a〕2+〔3a〕2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴AP=2AD=7.2cm，∴t==5.4s，故答案為：3，6或6.5或5.4．17．〔2015春?校級期中〕如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC．給出以下結(jié)論：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正確的結(jié)論是①②④．【解答】解：①連接EG．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正確；②∵BE、AG分別是∠ABC、∠DAC的平分線．∴∠ABF=∠EBD．∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，故②正確；③如果∠EBC=∠C，則∠C=∠ABC，∵∠BAC=90°則∠C=30°，但∠C≠30°，故③錯誤；④∵AG是∠DAC的平分線，∴AN⊥BE，F(xiàn)N=EN，在△ABN與△GBN中，∵∴△ABN≌△GBN，∴AN=GN，∴四邊形AFGE是平行四邊形，∴GF∥AE，即GF∥AC．故④正確；⑤∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等邊三角形，∴EF≠AE，∴EF≠FG，故⑤錯誤．故答案為：①②④．18．〔2015秋?江陰市校級期中〕如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停頓運動．〔1〕當點M、N運動12秒時，M、N兩點重合；〔2〕當點M、N運動4，8，16秒后，M、N與△ABC中的*個頂點可得到等腰三角形．【解答】解：〔1〕設點M、N運動*秒后，M、N兩點重合，*×1+12=2*，解得：*=12，故當點M、N運動12秒時，M、N兩點重合；故答案為：12；〔2〕①當M在AC上，N在AB上時，有AM=AN，△AMN為等邊三角形，符合題意，即t=12﹣2t，解得t=4；②當M、N均在AC上時，有BM=BN，△BMN為等腰三角形，符合題意，則CM=AN，即12﹣t=2t﹣12，解得t=8；③當M、N均在BC上時，N點已經(jīng)追過M點，有AM=AN，△AMN為等腰三角形，符合題意，則CM=BN，即t﹣12=36﹣2t，解得t=16．故答案為4，8，16．19．〔2014春?海鹽縣校級期末〕如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點P為△ABC所在平面一點，且點P與△ABC的任意兩個頂點構成的△PAB，△PBC，△PAC均為等腰三角形，則滿足上述條件的所有點P有6個．〔請在圖形中表示點P的位置〕【解答】解：如下圖，作AB的垂直平分線，①△ABC的外心P1為滿足條件的一個點，②以點C為圓心，以AC長為半徑畫圓，P2、P3為滿足條件的點，③分別以點A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，P4為滿足條件的點，④分別以點A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，P5、P6為滿足條件的點，綜上所述，滿足條件的所有點P的個數(shù)為6．故答案為：6．20．〔2014?模擬〕如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．假設△AEM構成等腰三角形，則BE的長為1或．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，∴∠AEF=∠B=∠C，∵∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．三．解答題〔共10小題〕21．〔2016秋?期末〕如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．〔1〕求證：△DEF是等腰三角形；〔2〕當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)．【解答】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；〔2〕∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=〔180°﹣40°〕=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°22．〔2016秋?寧城縣期末〕如圖，點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．〔1〕求證：①AB=AD；②CD平分∠ACE．〔2〕猜測∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關系？并對你的猜測加以證明．【解答】解：〔1〕①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；〔2〕∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．23．〔2016秋?義烏市期末〕如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，點D在線段BC上運動〔點D不與B、C重合〕，連接AD，作∠ADE=50°，DE交線段AC于E．〔1〕在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？假設可以，請求出∠BDA的度數(shù)；假設不可以，請說明理由．〔2〕假設DC=2，求證：△ABD≌△DCE．【解答】解：〔1〕∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，∴∠BDA=∠CED，∵點D在線段BC上運動〔點D不與B、C重合〕，∴AD≠AE，ⅰ〕如下圖，當EA=ED時，∠EAD=∠ADE=50°，∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；ⅱ〕如下圖，當DA=DE時，∠EAD=∠AED=65°，∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；〔2〕由〔1〕可得∠BDA=∠CED，又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE〔AAS〕．24．〔2016秋?黃埔區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，過E作EF⊥AD，垂足為H，并交BC延長線于F．〔1〕求證：AE=ED；〔2〕Q請猜測∠B與∠CAF的大小關系，并證明你的結(jié)論．【解答】證明：〔1〕∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；〔2〕∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴EF是AD的垂直平分線，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠B=∠CA．25．〔2015春?威海期末〕如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．26．〔2015秋?宜城市期末〕如圖，BD和CD分別平分△ABC的角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．〔1〕求證：∠BDC=∠BAC；〔2〕假設AB=AC，請判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；〔3〕在〔2〕的條件下，假設AF=BF，求∠EBA的大?。窘獯稹拷猓骸?〕∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC．〔2〕△ABD為等腰三角形，證明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD為等腰三角形；〔3〕∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．27．〔2015秋?期中〕定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．〔如圖1所示〕〔1〕請你在圖2中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設∠C=*°，試畫出示意圖，并求出*所有可能的值．【解答】解：〔1〕如圖2作圖，〔2〕如圖3①、②作△ABC．①當AD=AE時，∵2*+*=30+30，∴*=20．②當AD=DE時，∵30+30+2*+*=180，∴*=40．所以∠C的度數(shù)是20°或40°．28．〔2016秋?盂縣期末〕如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點〔端點除外〕，點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度一樣，連接AQ、CP交于點M．〔1〕求證：△ABQ≌△CAP；〔2〕如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？假設變化，請說理由；假設不變，求出它的度數(shù)．〔3〕如圖2，假設點P、Q在分別運動到點B和點C后，繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC=120度．〔直接填寫度數(shù)〕【解答】〔1〕證明：∵