奧數(shù)時鐘問題含標準答案

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第八講時鐘問題時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關系的問題.鐘面的一周分為60格.格數(shù)。例1現(xiàn)在是3點，什么時候時針與分針第一次重合？例2在10點與11點之間，鐘面上時針和分針在什么時刻垂直？分析分兩種情況進展討論。順時針方向上分針與時針成270°角：在順時針方向上當分針與時針成270°時，分針落后時針60×〔270÷360〕=45〔個〕格，而在10點整時分針落后時針5×10=50〔個〕格.因此，在這段時間，分針要比時針多走50-45=5〔個〕格，而每分鐘分針②在順時針方向上分針與時針成90°角：在順時針方向上當分針與時針成90°角時，分針落后時針60×〔90÷360〕=15〔個〕格，而在10點整時分針落后時針5×10=50〔個〕格，因此在這段時間，分針要比時針多走50-15=35〔個〕格，所以到達這一時解：①在順時針方向上當分針與時針成270°角時：例3在9點與10點之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上？分析分兩種情況進展討論。①分針與時針的夾角為180°角：當分針與時針的夾角為180°角時，分針落后時針60×〔180÷360〕=30〔個〕格，而在9點整時，分針落后時針5×9=45〔個〕格.因此，在這段時間分針要比時針多走45-30=15〔個〕格，而每分鐘分針比時針多走〔分鐘〕。②分針與時針的夾角為0°，即分針與時針重合：9點整時，分針落后時針5×9=45〔個〕格，而當分針與時針重合時，分針要比時針多走45個格，因此到達這一時刻所用的時間為：45÷(1-

解：①當分針與時針的夾角為180°角時：例4小明在7點與8點之間解了一道題，開場時分針與時針正好成一條直線，解完題時兩針正好重合，小明解題的起始時間？小明解題共用了多少時間？分析要求小明解題共用了多少時間，必須先求出小明解題開場時是什么時刻，解完題時是什么時刻。①小明開場解題時的時刻：因為小明開場解題時，分針與時針正好成一條直線，也就是分針與時針的夾角為180°，此時分針落后時針60×〔180÷360〕=30〔個〕格，而7點整時分針落后時針5×7＝35〔個〕格，因此在這段時間分針要比時②小明解題完畢時的時刻：因為小明解題完畢時，兩針正好重合，則從7點整到這一時刻分針要這樣小明解題所用的時間就可以求出來了。解：先求小明開場解題的時刻：再求小明完畢解題的時刻：例5一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5〞字恰好在時針與分針的正中央，問這時是什么時刻？分析由于現(xiàn)在可以是4點多，也可以是5點多，所以分兩種情況進展討論：①先設此時是4點多：4點整時，時針指4，分針指12.從4點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中央〞，分針走的格數(shù)多于25，少于30，時針走缺乏5格.由于5到分針的格數(shù)等于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間共走30格.又由于②再設此時是5點多：5點整時，時針指5，分針指12.從5點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中央〞，分針走的格數(shù)多于20格少于25格，時針走的格數(shù)缺乏5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間共走25格.因此，從5點整到上頁圖〔b〕鐘面上解：①如果此時是4點多，則從4點整到上頁圖〔a〕鐘面上這種狀態(tài)例6一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘〔標準時間的65分鐘〕重合一次.問這只舊鐘一天〔標準時間24小時〕慢或快幾分鐘？分鐘重合一次，顯然舊鐘快.此題的難點在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標準分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉速度〔每標準分鐘旋轉多少格〕，進而推算出舊鐘的針24標準小時旋轉多少格，它與標準鐘的針用24標準小時所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標準鐘快的時間讀數(shù)。單位表示：舊鐘分針速度為*〔格/標準分〕.舊鐘分針走60格時針走5格，標準時間一天有60×24=1440標準分，一天舊鐘分針走的格數(shù)為：標準分鐘數(shù).并非標準的分鐘數(shù)。解：設這只舊鐘的分針用標準時間1分鐘走*格，則舊鐘的時針速度為根據(jù)舊鐘的時針與分針每重合一次耗用65標準分鐘，列方程得：60÷標準時間一天有60×24標準分，標準時間一天舊鐘分針走的格數(shù)為：這只舊鐘的分針標準時間一天所走的格數(shù)與標準鐘分針一天走的格數(shù)差為：

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習題八解答1.解：在6點整時，分針落后時針5×6＝30〔個〕格，到分針與時針2.解：在2點整時，分針落后時針5×2＝10〔個〕格，到分針與時針重合時，分針要比時針多走10個格，所以到達這一時刻所用的時間為：103.解：在2點整時，分針落后時針5×2=10〔個〕格，當分針與時針第一次成直角時，分針超過時針60×〔90÷360〕=15〔個〕格，因此在這段時間分針要比時針多走10+15=25〔個〕格，所以到達這一時刻所用的時間為：4.解：①當分針落后時針而與時針成120°角時：當分針落后時針而與時針成120°角時，分針落后時針60×〔120÷360〕＝20〔個〕格，而7點整時分針落后時針5×7=35〔個〕格，因此在這段時間分針要比時針多走35—20=15〔個〕格，所以到達這一時刻所之間的夾角為120°。②當分針超過時針而與時針成120°角時：當分針超過時針而與時針成120°角時，分針超過時針20格，而7點整時分針落后時針35格，因此在這段時間分針要比時針多走35＋20=55〔個〕在7點60分即8點整時，兩針之間的夾角為120°。5.解：①當分針與時針的夾角為180°角時：當分針與時針的夾角為180°角時，分針落后時針60×〔180÷360〕=30〔個〕格，而10點整時分針落后時針5×10=50〔個〕格，因此在這段時間分針要比時針多走50-30＝20〔個〕格，所以到達這一時刻所用的時一條直線上。②當分針與時針的夾角為0°即分針與時針重合時：10點整時分針落后時針50個格，因此當分針與時針重合時分針要比時格/標準分。根據(jù)舊鐘的時針與分針每重合一次耗用66標準分鐘，列方程得：60÷×60×24格。則這只舊鐘標準時間一天慢：7.解法1：依題意，鐘停的時間與上班路上用的時間之和為：14點50分-12點10分=160〔分鐘〕.鐘停的時間與下班路上用的時間之差為：11點-9點=120〔分鐘〕；因此鐘停的時間是：〔160+120〕÷2=140〔分鐘〕。答：叔叔家的鐘停了140分鐘。解法2：叔叔在12點10分上足發(fā)條，到回家時的9點鐘，共8小時50