2021年中考數(shù)學(xué)綜合題沖刺21 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題（拔高）（含答案及解析）

專題21因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題（提優(yōu)）

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B分別是），軸正半軸，x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn)，0A=2k,OB=2k+3,

2

以AO,BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC,拋物線），=-5x+3x+&交），軸于點(diǎn)D,P為頂點(diǎn)，軸于點(diǎn)M.

’?（1）求0。，P例的長(zhǎng)（結(jié)果均用含&的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式.

（3）在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在△AOP是等腰三角形，請(qǐng)求出所有滿足條件的女的值.

【分析】⑴點(diǎn)。在產(chǎn)-#+3x+k上，且在），軸上，即y=0求出點(diǎn)￡）坐標(biāo)，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)公式，求

出即可；...*一.V.Vw

（2）先用人表示由相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)建立方程即可:二..二,、

（3）先用左表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)△4。尸是等腰一角形，分三種情況，AD^AP,DA=DP,PA

=尸。計(jì)算；'','''?

【解答】解：（1）把x=0,代入產(chǎn)一%2+3戶上

?：?y=k.

：.OD=k.

4ac-b24x(-^)/c-32

=攵+3,

4a4x(-}

：.PM=k+3；

(2)由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x^2,

'll■?.

：?0M=2,8M=O8-OM=2k+3-2=2k+l.

又?.?尸例=奸3,PM='BM,

*,?&+3=2k+11

解得k=2.

，該拋物線的表達(dá)式％\=-薪2+3犬+2；

.(35①當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC外部時(shí)，如圖1,

,過P作。KJ_O4TT點(diǎn)K,砥AD=AP時(shí)，?

：：AD=AO-DO^2k-k=k,

，A￡)=AP=A,KA^=KO-AO=PM-AO=k+3-2^=3-k.

,“1I”**/f.，，i；，*

KP=OM=2,在RtZ\KAP中，KA2+KP2=AP2

??.(3-&)2+2-2,解得上半

???

,應(yīng))當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC內(nèi)部時(shí)

當(dāng)PD=AP時(shí),?過戶作PHA.0A于H,‘'

Ab=k,HD=塊,HO=DO+HD=,

4?1?

又,：HO=PM=k+3,

3k

一"=%+3,

2?-..

解得k=6..

,當(dāng)DP=DA時(shí)，倉(cāng)Z)作PQLPM于Q,

PQ=PM-QM=PM工OD=k+3-k=3

■?4

DQ=0M=2,DP=DA=k,

在RtADgP中，DP=JDQ2+PQ2=V22+32=V13.?

：.k=PD=4Y3,

菽仁里或6或vn：^.‘.''''

□

【謁評(píng)】此題是二次函數(shù)綜A題，主量考查了軟函數(shù)解析式的碓定，平面坐標(biāo)系中求線段的長(zhǎng)，等腰

a

三角形的性質(zhì)，使定出函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵，解(3)是本題的9點(diǎn).

2.如圖，在aABC中，A8=AC=2,ZB=40°,點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)1不與點(diǎn)B,C重合)，連接A。，

作/4OE=40°,OE交線段AC于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)N8D4=115°時(shí)，ZCDE=25°,NAED=65°,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NCDE

逐漸變大(填''大"或“小”)；

(2)當(dāng)。C等于多小時(shí)，△AB。絲ZWCE?請(qǐng)道明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△4￡>E是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)NBZM的度數(shù)；：若不

存在，請(qǐng)說明理由."?。?'九.

【分析】(1)根據(jù)等施三角形的性質(zhì)求出NC,粗據(jù)平角的定義求出/。)自根據(jù)二角形的外角性質(zhì)耒

出NAED,彳導(dǎo)至塔案；

(2?根據(jù)三角形全等的AAS定理證明△ABD四△DCE；?

(3)分D4=DE、AD=AE,EA=EZ7三種烤況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可..

【解答】解：(1/：AB=AC"/8=4O。"，'

.?.ZC=ZB=40°，

?ZBDA=115°,

.,.^CDE=1800-ZBDA-ZADE^25°,

.?.44ED=NEOC+)C=&5°,

當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B而點(diǎn)、C運(yùn)動(dòng)時(shí)?，ZBDA逐漸變小，

.?.NCQE逐漸變大；.f.

故答案為：：25；65：大：

(2)當(dāng)OC=4B=2時(shí)，△ABD絲△￡>€>￡-

■??,

?理由：VZC=40°■

：.ZDEC+ZEDC^140°,；a?>.>

VZADE=40°\

ZADB+ZEDC=\40°,

:.ZADB=/DEC,

??［、,,?［、??［、

,在△A3。和△￡>&中，,.:

(/ADB=NDEC'

I?

'乙B=LC，

=DC

：./\ABD^ADCE(/LAS)；.

*(3)'當(dāng)/BD4的度藪為110?；?0。時(shí)，ZUbE的藍(lán)狀是等腰三角形，

當(dāng)￡>4=DE時(shí)：/加E=/DEA=70?！腹ぁ?/p>

：：ZBDA=ADAE+ZjC=1^°+40°=110°;f.

f—［."K,一

當(dāng)AD=AE時(shí)，，NAED=NADE=40°.,

???NQAE=I(X)L,

■??

?-此時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)M會(huì)合，?不合題意；.■.-

當(dāng)EA=EC時(shí),.ZEAD=ZAD￡=40°/C*t>'>

；.NAED=100>,.—:''.-；,

d——、.」-“J/J/.

；.EDC=ZAED-/C=60.，

.?./BD4=180。-40°-60°=80°

,.綜上所述，‘當(dāng)NBD4.的度數(shù)為“110°或80°時(shí)、ZXAQE/形狀是等腰三僻..

【點(diǎn)評(píng)】本題老查的是全籌三角形的判定：,腰三角平的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定覆，掌握全等三角形的

判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵..

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-4,0)、B(2,0),交y軸于點(diǎn)C

(0,6),在y軸上有點(diǎn)E(0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)。為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為成，△AOE的面積為S,求S

關(guān)于，”的函數(shù)解析式，并寫出機(jī)的取值范圍；

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若

不存在，請(qǐng)說明理由.

A

(2)由S=S^DHA+S^DHE=*xDHX0A,即可求解；

(3)分PA書PE、PA=PE.PE=AE三種狀況，分別求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(產(chǎn)4)&-2),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入E式得：6=”(0+4)C0-2),解得“-1

4

故拋物線的養(yǎng)達(dá)式為，=―,(x+4)(x-2),

.*

即y=-1x2-1x4-6：

.(2)設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=kr+/,則｛;二二產(chǎn)+。解得f=-2,

過點(diǎn)。作y軸的平行線交AE?于點(diǎn)H,

則S=S""A+S"〃￡=2x￡WX0A=*(一32—馴+6+排+2)X4=—1m2-2/w+16(-4</7?<O)；

(3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(-1,1),(一1,±V11),(-1,-2±V19)；

由y=—-|x+6知，拋物線的對(duì)稱軸型！=-1,.：，

設(shè)P(-1,〃)；又E(0,-2),4(-4,0),

可求PA=V9+n2,PE=Jl+(n+2)2,AE=:16+4=2瓜'

當(dāng)24=PE時(shí)，V9+n2=Jl+(n+2)2,-

.解得，n=l,此時(shí)P(-1,，

當(dāng)PA=PEH寸，V9+n2=V16+4=2西，.

解得，n=±VL此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(一1,±Vil),?'；.

當(dāng)PE=AE時(shí)，Jl+(ri+2尸=V16+4=2收

解得，n=-2±V19,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.-2土內(nèi))

(-1?,-2V19),?/?'?

綜上正述，P點(diǎn)座標(biāo)為：(7,1)或(-1,±711)或(-1,-2±V19).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用：涉及到一次'函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的‘性質(zhì)、面積的評(píng)算等，

其中(3),要注意分類求解，,避免遺漏.f.f.

4.直線AB：y=-x+b分別與x,)，軸交于A(8,0)、8兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交x軸負(fù)半軸于C,且OB：

OC”3.

,(1)寫出點(diǎn)8,C的坐標(biāo)：B(0,8)；C(-6,0)；

(2)求直線灰?的解析式;，

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)"，使△BCM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出加點(diǎn)坐標(biāo)，；若不存在，請(qǐng)說明

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得A8的解析式，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；根據(jù)O&OC

=4；3,可得OC的長(zhǎng)，即可求解；

(2)根據(jù)待定系數(shù)9，/得函數(shù)解析式;.：*

'(3)根據(jù)等腰三編影的定義，分MC=BC、MC=MB.8c=BM三種僭說，分別求解即可.':'

【解答】解：(1)分別與x軸交了A邛、0),彳導(dǎo)：-8+6=0.解得匕=8；,

即函數(shù)解析式為y=-x+8,

當(dāng)x=0時(shí)；j=8,

B點(diǎn)坐標(biāo)是（0,右），

VOB：OC=4：3,。8=8,得8：OC=4：3,f

解得OC=6,"

即C（-6,0）,^

?故答案為0，8；V6T0；

.?_j?IR-**">■■—-3—*■I/d.j\■

（2）設(shè)直線8c的解析式為：，=履+6,圖象經(jīng)過點(diǎn)8,C,得已短，=o，

解得卜=百，~~

3=8

直線8c的解析式為忻如8；"w.v

（3）設(shè)M點(diǎn)巫標(biāo)（m0）,點(diǎn)。（-6,O,），??:^.士

'J，tf.—*Mr--”

而BC=>JOB2+CO2=10,

①當(dāng)MC=8C=10時(shí)，

?.則/M（4,0）或￡-16,0）：,

②當(dāng)MC=M8時(shí);，“不二"伊，即（a+6）2=/+82,--…’

解得”?..￡T、、［./??.，

ft

7

即M（-,0）；

③當(dāng)BC=BM時(shí)，得0C=0Af=6,

故點(diǎn)M（6,0）.■一

7

繪上所述：點(diǎn)血的坐標(biāo)為,（4,0）或（-1日0）或,（-，0）或（6,%）.

3

【‘點(diǎn)評(píng)】考查/一次函數(shù)綜占題，（1）利用待定系數(shù)法條函數(shù)解析式，自變量的值￡函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系;

??'

（2）利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；（3）利用等腰三角形的判定，.分類討論是解題關(guān)鍵.?

5.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,1）,將直線AB沿x軸向左平

移經(jīng)過點(diǎn)C（l,1）「

（1）求平移后直線乙的解析式；

（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿（1）中的直線L以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向直線L與x軸的交點(diǎn)運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)。從原點(diǎn)。出發(fā)沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)中有任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停

止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為人是否存在3使得△0P。為等腰三角形？若存在，真接寫出此時(shí)，的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）求出直線AB的表達(dá)式為y=x-2,則設(shè)拋物線拋物線的表達(dá)式為丫=工+5,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代

入上式得：l.=l+s,解得s=0,即可求解；

????

-（2）分OP=OQ、OP=PQ、OQ=PQ利用等腰三角■形的性質(zhì)，分別求解即可J

,［解答］解：（7J沒直線AB的表達(dá)式為yJlr+4則｛:1;C解露

f.故直線AB的表達(dá)式為y=x.2,

設(shè)拋物線拋物線的表達(dá)式為y=x+s,

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：1=l+s,解得s=0,

????

；,?"故直線L的表達(dá)式為勺=；；

?.①WoP=OQ時(shí)，即/一f=2z,解得/=￥；_

當(dāng)OP=PQ時(shí),,則點(diǎn)P在。。的中垂線上,,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（r，力.）?

則.0P=y［2t=V2-t,解得t三2-五：

當(dāng)OQ=PQ時(shí)，則△OP。以/P。。為?直角的等腰直角三角形，’

則0P=\[2OQ=Q,y[2t=V2T,解得/=寫2,

>/2-4-V2

故”的值為—、2—魚、----?.

37

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)論，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)'、等腰三角形的性質(zhì)、圖形拓平移等，

其中(2),要注意分類求解，避免遺漏..

6.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)尸不與8、C重合)，連接”，作P。，"，衣

CD于點(diǎn)、Q,若A6=6,8c=8.

(1)試證明：XABPsMCQ；

(2)當(dāng)8P為多少時(shí)，CQ最長(zhǎng)，最長(zhǎng)是多少？

(3)試探究，是否存在一點(diǎn)P,使△AP。是等腰直角三角形？

【分析】(1)證明NAP8=/PQC,即可求解；

-(2)XABPs4pc?、則而=而，則CQ=-#+Jr，進(jìn)而求解；

(3)ZXAPQ是等颼直角三為形，則以=PQ,、故△ABg/XPCQ(44S),進(jìn)而求解.

【解答】解：(1)-：PQLAP,

/4PB+NQPC=90°,

而NQPC+/PQC=90°,

/./APB=NPQC,

；NA5P三/尸。2=90°,

4ABPs盤垃；

(2)V/^ABP^^PCQ,

.CQPCCQ8-x

..—=—,艮］—=----,*

BPABx6

則CQ=一*+%=一"(x-4)2+|>

8

故當(dāng)x=4時(shí)，CQ的那大值為1

即8P為4時(shí),，GQ年長(zhǎng)，單長(zhǎng)是*

（3）???△AP。是等腰直角三角形，則，弘=PQ,

而△A8P3△PC。，

.貝以8。絲△PC。（AAS）,

：.AB=PC^6,.

則8尸=8-6=2,

即BP=2時(shí)，是等腰直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題超三角形相似綜合題，涉及我等腰三角形的性質(zhì)、二角作全等等，看一定綜合'性；度適

中.?

7.綜合與實(shí)踐：如圖1,ZVIBC中，A8=AC,BDJ_AC于點(diǎn)。，BD-=Scm￡CD：AD=2：3；如圖2,在

圖1的基礎(chǔ)上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2c〃?的速度沿線段A8向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)以

相同速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為f秒.

（1）請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng)：AB=10cm；

（2）當(dāng)△PCQ的其中一邊與8c平行時(shí)（。與。不重合），求f的值；

（3）點(diǎn)P在線段A8上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以為腰的△孫。是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫

出/的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（O設(shè)AB=4C=5x,根據(jù)勾觸定理列出方程,解方程窿到答案；

（2），分PD/IBC、PQ〃BC兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算；

73）分AP=AD、兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算;

【解答】解：（1）設(shè)A3=AC=5工，

,-?■

VCD：40=2：3,

:?CD=2x,AD=3xr

在RtAABD中，，，82=802+4。2,即，㈠X)^=82+-(3%)2

M得，x=2,1

?*?AB=5x=10,

故答案為：10;

(2)由(1)?可知，A￡>=6,CZ)=4,

由題意得，AP=2f,"c2=Z,

：.AQ=J0-2t；.'

當(dāng)，PQ〃8c時(shí)，AP=A￡>=6/

：.t=3),

當(dāng)股〃BC時(shí)，梟=塞喘=10-2t

10

解得，仁宏

綜上所述，當(dāng)也「。。的其中丁邊與8c平行時(shí)，f=3或1

(3)當(dāng)AP=AD=6時(shí)，t—3,

當(dāng)OP=D4=5時(shí)，如備用圖，作￡>E_LA8于E,

.則AE=EP=t,

在Rt^AED中，AD1-4/=正，?

在RtZ\BEO中，BD2-B^=DE2,

：.Arr-AE1=BD2-BE2,即62-?=82-(10-t)2,

解得，/=3.6,?

綜上所述，尸3或3.6時(shí)，△布。是以A￡>為腰的等腰三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思

加是解題的關(guān)竟「

8.已知：二次函數(shù)丫=/+公+。的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（-2,-3）,且在拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在動(dòng)點(diǎn)M,使△MAC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若

不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）.用待定系數(shù)法即可求解：

（2）'分AM=CM、AM^AC.CM=AC三種t嬴，列出函數(shù)表達(dá)式即可嬴軍.

■■—*（

【解答】解：⑴將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入鈿物線表達(dá)》得：紇；，■

解得：9二2?'，'、'

lc=—3

...拋物線的表達(dá)式為：y=）+2r-3；

???.?

（2）存在，理由；?,-,

由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為X=-1,

設(shè)點(diǎn)M（-1,加），，&4、C的坐標(biāo)分別為：（-4,0）、（-2,-3）,

則4廬=4+/，CM2=1+（利+3）2,AC2云1+9=10,

?當(dāng)4M=CM時(shí)，4+川=1土（/3）2,.解得：m=-1；，

?一/j*J*...FP*J?

當(dāng)AM=AC時(shí)，.同理可得：m=網(wǎng)或一顯；

，當(dāng)CAf=A。時(shí)，同理可得：〃7=0或-6（-6）；.r

綜i,點(diǎn)M坐標(biāo)為：T-1,-I）或（-I,V6X或（-I,-V6）或（-1,0）.

*?■

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等，其中（2）,

要注意分類求解，避免遺漏..

9.已知拋物線y=aP+〃x+c經(jīng)過A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)，直線/是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)尸是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)以及這個(gè)最小周長(zhǎng)；

（3）在直線/上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)點(diǎn)A先于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為戌B,連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，即可求解;

(3)分AC=CM、1C=AM、CM=AM三種襦灰,分別求解即可.:

【解答】解：⑴嘴4(-1,0)、.B(3,09、、C(0,3)代入拋物線戶”+灰+i?中，

(a—b+c=0?(a=-1

則9Q+3b+c=0,解得b=2

c=3(c=3

故理物線的解析式是y=-f+3+3；

'⑵由拋物線的就i式知；函數(shù)的對(duì)稱軸為這線后-點(diǎn)=1；

點(diǎn))關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱&為點(diǎn)B,連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則點(diǎn),P為所錄點(diǎn),

I,

理由：ZiBAC^]J^^:=AC+PA+PC=AC+PB+PC=AC+BC為最小,

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=sx+f,則｛;[j+t,嬋得｛；1『，

故直線BC的表達(dá)式為y=-x+3,

當(dāng)x=1時(shí)，y=:1+3=2,故點(diǎn)P(1,2)；

則△必C的周長(zhǎng)城小值=AC+8C="2+3233位=V10+3V2：

由點(diǎn)4、C、M的坐標(biāo)知，4c2『］o,CM2=?n2-6w+10,AM2=4+m2

①當(dāng)AC=CM時(shí)，10=zn2-6/n+10,解得：zn=O或團(tuán)=6(舍去)，

②當(dāng)AC=4W'時(shí)：；0=4+/，解得：m=或nz=-A/6,

③當(dāng)CM=AAf時(shí)，加2-6〃z+i0=4+〃/，解得：“7=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)加=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，不合題意，故舍去：＞?

綜上可知，符吝條件的M點(diǎn)有4個(gè)，.

?,,■????

M坐標(biāo)為(1,0)、n,V6),(1,-V6)."

【點(diǎn)評(píng)】考查了：次函數(shù)綜合題，涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確鼠噂腰三箱形的判定等知效，在

判定等腰三角弦時(shí)，:定要根據(jù)不同的腰和底分類進(jìn)行討論，以免漏解.

,力/*力

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A,8分別在x軸與y軸上，已知

OA=2,08=4,點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒I個(gè)單位的速度沿線段

AC-CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)3)時(shí)間為f秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求直線QP的函數(shù)解析式；

(2)①求△OPD的面積S關(guān)于r的函數(shù)解析式；

②當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)落在x軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某時(shí)刻使△BQP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【務(wù)析】⑴設(shè)直線分尸解析式為y=5+b,將力與B4標(biāo)代入率出人與人的值，畝可確定中解析式;'

(2)①當(dāng)尸在AC段時(shí)，=角形底。。與高為固比值，求出此時(shí)面積；當(dāng)日在8c段時(shí)，底邊。。

為固定值，表示出高，即可列出S與/的關(guān)系式；.,

②當(dāng)。關(guān)于0P的將稱點(diǎn)落在x軸上一時(shí)，直線為,y=x,求出此時(shí)P星標(biāo)即質(zhì)；

'(3)存在，分別以、BD,DP,BP為底邊二種情況考慮，利用勾股定理坡囪形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即

可：，，二,「；,二，‘，

【解答】解：(1)設(shè)此時(shí)直線DP解析式為y=kx+h,

3?,

(k=；2,

則此時(shí)直線DP解析式為產(chǎn)|x+l；

'frziz'

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，0。=1,高為。1=2,5=~xlX2=l；

當(dāng)點(diǎn)P在線段8C上時(shí)，0。=1,高為2+47=6-3S=^xlX(6.)=-%+3,

1(0<t<4)-

收S=|+I(4〈t46)]?：)，(?.二》「

②當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于。尸的對(duì)稱點(diǎn)落在x軸上時(shí)，。對(duì)稱點(diǎn)為,(1,0),此時(shí)直線?！笧檠?工，

當(dāng)x=2時(shí)，y—2,

則此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(2,2)；

,(3)存在，理由為？

①當(dāng)BD=BPi=OB-。。=4-1=3,

在RSCPi中，BD=3,BC=2,

根據(jù)勾股定理得：CPi=V勾-22=四,

；.APi=4一前，即尸i'(2,4-V5)；

②當(dāng)8P2=Z)P2時(shí)，此時(shí)P2(2,2.5)；

③當(dāng)DB=DP3=3時(shí)，

在Rt2\DEP3中，DE=2,

根據(jù)勾股定理得:尸3E=呼=斗=、

.".'AP3=AE+EP3=V5,+1,即,0(2,V5+1),.J*.'/<f,

綜上，滿足題意的尸坐標(biāo)為(2,2.5)或(2,西+1)或(2,4-V5).

【點(diǎn)評(píng)】此題屬學(xué)一次函數(shù)綜合題，涉及的“知識(shí)有：待定系數(shù)法確定:次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖疝生質(zhì)，

'等腰三角形的性質(zhì)，幻股超理，利用了分類討論的思:想，熟練掌握待定系數(shù)法庭解本題第一問的關(guān)鍵t

11.如圖，把矩形0ABe放入平面直角坐標(biāo)系xOy中，使OA、0C分別落在X、)，軸的正半軸上，對(duì)角線

AC所在直線解析式為)，=—|x+15,將矩形0A8C沿著B￡折疊，使點(diǎn)A落在邊。。上的點(diǎn)。處.

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)尸，便APBE為等腰三角形？巷存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【分析】(1)由直線解析式求出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，可由勾股定理求出CC的長(zhǎng)，設(shè)力E=A￡=x,'在RtA

DE。中，得出/=32+(9-%)2,解方程求出4E=5,則點(diǎn)E的坐標(biāo)可求出；

(2)aPBE為等腰三角形，可分三種情況：PB=BE或PB=EP或BE=EP,分別建立方程求解即可.

【解答】解：(1)../C所在直線解析式為y=：|r+15,

，.令x=0,>'=15,*4,y=0.P!iJ-|x+15=.0；解得x=9.

.?.月(9.0),C(0,15),夕(9,15),.J/*/z

?將矩形QABC沿著BE折疊，使點(diǎn)A落在邊OC上的點(diǎn)D處.

...在RtZ\BC。中，BC=9,BD=AB=\5,

-______________

???CD=y/BD2-BC2=V152-92=12,

：.0D=\5-12=3,'

設(shè)DE=AE=x,

在Rt/\DEO中，?/DE?=OD2+OE2,

.,.^=32+(9-x)2y

：x=5,

：.'AE=5,,

*jp**

???0E=4,

：.E(4,0)..

??⑵設(shè)P(0,w),***V

：：B(9,15)；?(4,0),,

：.PB2-(9-0)2+(15-in).2=〃/-305+306,B￡2=52+152=250,E戶=16+"P”

Jr#*Vw.??

?：/\PBE為等腰三角形，

①當(dāng)PB=8E時(shí)，

_-APB2=BE2..?".1’.

,,.'.m2-30/n+306=250.

---??」?'」

：.m—2或m—28,

：.P(0,2),或(0,28),.

②當(dāng)P8=EP時(shí)，

:.PB2^EP2,

))r-30n7+306=16+m2,

③當(dāng)8E=EP時(shí)，BEi-=EP1,

?<?*?.廣:r:?

一**250=16+/w2,ww.v

；.m=+3V26,'?.\?,.\■,

.?.尸(0,3V26)或(0,-3俄)，

綜合以上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)或(0,28)或(0,—)或(0,3V26)或(0,-3V26).

3

【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；兩點(diǎn)間距離公式，折疊的存質(zhì)，

勾股定理，等腰性角形的性質(zhì),.用方程的謝以解決問題是解本題的莢鍵：

1C

12.如圖，已知拋物線)，=一#2+法+4與X軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為

A(-2,0).

.(1)求拋物線的解析式；

?/?*x?x?MT*?.?

(2)求線段BC所在直線的解析式；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使aACP為等腰三角形？若就在，求出符合條件的尸點(diǎn)正標(biāo):

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(將代入拋物線的解析式即可求得答案；.

>1).A(-2,0)>>?

(2)先求得點(diǎn)8、點(diǎn)C癡9標(biāo)，利用待定系數(shù)袪即可求得直線BC的解析式；’

?(3)設(shè)2(2,”二然后表示出△ACP的三加長(zhǎng)?度，分三種情況計(jì)論，，根據(jù)腰相等得出方程，求解助可.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(「2,0)代入)，=-y+bx+4.中，，，

得一Qx(-2)2+(―2)b+4=0,

解彳期b=a,

3--

二拋物線的解析式為產(chǎn)-!?+Jr+4；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=yh,-?,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),

14

當(dāng)y=0時(shí)，-孑1o"+f+4=0，

解得：X1=-2,JC2=6,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6；0),'

設(shè)直線BC的解析式次.

將點(diǎn)B(6.0),點(diǎn)C(0,4)代入解析式y(tǒng)=)U+”，得：

[6/c4-n=0

U=4，.,：,

解得：卜"一"'

tn=4

二直線BC的解析式為y=-|x+4；

⑶：拋物線產(chǎn)-船+黑+4與x軸相交于A(-2,OXB(6,0)兩點(diǎn),

,.*3

拋物線的對(duì)稱軸為X=串0=2,.?.

假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)P(2」)，.

則AC=V22+42=V20,

AP=，2-(-2)]2+t2=V16+t2,

CP=y/22+(t-4)2=Vt2-8t+20,

,??△ACP為等腰J角形；

故可分三種情況：

①當(dāng)AC=AP時(shí)，V20=V16+t2,,-

解得：r=±2,,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2,2)菖(2,-2)；

②當(dāng)AC=CP時(shí)，V20=Vt2-8t+20,:

融得：f=0或f=g,

.二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,，0)或(2,8),

/*IJ<11

設(shè)宜線AC的解析式為y=〃tr+〃，

將點(diǎn)A(-2,0)>C(0,4)/弋入得｛二駕+"=°,

解得：1二，，.

??.直線AC的解析式為y=2x+4,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4+4=8,

二點(diǎn)(2,8)在直線AC上，

；.A：C、P在同一直線匕點(diǎn)”(2,8)，應(yīng)舍去：

,V/?.，

③當(dāng)AP=CP時(shí)，V16+t2=Vt2-8t+20，

,?*?、

解件：T，?

.,K4,“J”，'.中

1??

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,-)；

2

1

綜上可得，符合年年的點(diǎn)。存在，點(diǎn)的坐折為：（2,2）或（2,-2）平，（2,0）或（2,-）.s

【:點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜育題，主要考查了二次函數(shù)?詼函數(shù)的圖象與性質(zhì)、.待定系數(shù)法、,勾股定

理、等腰一角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，理解坐標(biāo)與圖:形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用方程而想和分類討論思想是解題而

關(guān)鍵.

13.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在x軸上（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)），點(diǎn)C在第二象限，滿足N4C8

為直角，且恰使△OCAS^OBC,拋物線y=o?-8依+12“（a<0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).

（1）求線段08、OC的長(zhǎng).

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)：若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】⑴,芻/-8avH2a=a(x-6)CJC-2),OA=2,08=6，AOCA^AOBC,OC2=OA'OB,

即可求解：

(2)過點(diǎn)C作。)_Lx軸于點(diǎn)。，設(shè)AC=2x,則8c=2恁，而A8=4,故16=.(2x)2+?2VIr)2,

解得：x=],故AC=2,8C=2百，即可求解；

?(3)濟(jì)BC=PB、BC=PC、P8=PC三種情況建立方羹分別求解即可.--

【解答】解：(■b1)■,,歸Aa?-8ax+12a=a(x-6).,(x-2),、、、、

故0A=2,OB=6,

OCOA、

△OCAS^OBC,則一=—,CP：OC-=OA^OB,

OBOC

,（2）過點(diǎn)。作CQLx軸三點(diǎn)Q,

故16=(2r)2+(2V3x)2,解得：x=l,.

故4C=2,BC=2W，

?.-,

S&ABC=\xABXCD=|xACXBC,解得/CD=V3,

故09=3,

故點(diǎn)C(3,V3)；''

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：a=-孚，

??_

??叔拋物線的表達(dá)式為：y=-茅2+竽”4點(diǎn);-

(3)設(shè)點(diǎn)PCm,0),而點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為：(6,0)、(3,V3)；,

則8。2=[2,PB