2021年中考數(shù)學(xué) 一輪訓(xùn)練：菱形性質(zhì)與判定綜合（二）

2021年中考致學(xué)一檜專題訓(xùn)練:

菱形性質(zhì)與判定繪合(二)

1.如圖，在口46。中，點(diǎn)￡尸分別為邊48,。的中點(diǎn)，連接。￡BF,BD.

(])求證：4AD恒XCBF；

(2)若/力。8=90°,求證：0邊形夕尸。f為菱形.

2.如圖，在口/46。中，對(duì)角線4C與8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作見4GEF與AB的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡與。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

求證：R邊形4爪尸是菱形，

3.如圖，在口48。中，點(diǎn)匕F.G.H分別在邊力&BUCD.DAi.,AE=CG,AH=

CF.

fl)求證：AAEH^XCGF；

(2)若EG牛分/.HEF，求證：8邊形是菱形.

4,如圖，在中，/.ABC=90°,D,E分機(jī)為AB,4U的中點(diǎn)，延長(zhǎng)?！甑近c(diǎn)只使

EF=2DE,

(})求證：四邊形8CFF是平行囪邊形；

(2)當(dāng)NACB=60°時(shí)，求證：g迦形BCFE轟篆砧.

5,如圖，笈aABCD中,對(duì)甭線4GBD交于點(diǎn)、O,尸是4。上一點(diǎn)，連接￡。并延長(zhǎng)，交

BC干支F.連接4尸,CE,EF率分乙AEC、

ru求證：四邊形”々是菱形；

(2)若/D4U=60°,AC=2,求四邊形/1FGF的面積.

6.如圖，在平行四邊形48。中，/必。的平分線交6U于點(diǎn)￡交。C的延長(zhǎng)線于尸,

以EC.C尸為鄰邊作平行四邊形ECFG,如圖1所示,

(\)證明平行四邊形A7匕是菱形；

(2)若248(7=120°,生結(jié)BG、CG.DG,如圖2所示,

①求證：XDG8XBGE；

②求N6DC的度數(shù)；

(3)若2480=90°,AB=8,4。=14,〃是日7的中點(diǎn)，如圖3所示，求訓(xùn)的長(zhǎng),

7.如圖，在矩形力夕。中，對(duì)角線4U與8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)4作4F//5。，過點(diǎn)。作

ED\\AC,兩線相交于點(diǎn)匕

(1)求證：四邊形/4ODF是菱形；

<2J連接交4U于點(diǎn)A母BELED千EE,求N4OA的度數(shù).

8,如圖，四邊形45。中，ABHCD,4U平分/必。，CE\\AD^AB^E.

(1)求證：四邊形力&二。是菱形；

(2)若點(diǎn)F是48的中點(diǎn)，試判斷△4?C的形狀，并說明理由，

9.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線/4UBD相交于0,若AB=5,AC=8,BD=6.

求證：平行s邊形力夕。是菱形.

(2)四邊形748c。的面積，

10.已如：如圖，在中，直線PQ垂直平分4U,與邊48支于點(diǎn)E連接6過點(diǎn)

U作CFIIBA爻PQ千AF,連接AF.

(1J求證：四邊形力氐尸是菱形

(2)若4。=3,AE-5,則求菱.形/4FU尸的面積,

參考答案

1?證明：f1J在Q/46C7?中，AD=BC,AB=CD,N/4=NG

??,E、尸分別為邊4艮CD的中點(diǎn)、,

：.AE=—AB,CF=—DC

22

：,AE=CF,

在△/4?！旰汀鲊柚?，

rAD=BC

<NA=/C，

AE=CF

：.t\ADE^l^CBF(SAS)；

(2)?：AB=CD,AE=CF,

??.BE=DF,

隊(duì)ABIICD,

???BEIIDF,

四邊形BEDF是平行四邊形,

???ZADB=90°,

???點(diǎn)E為邊力夕的中點(diǎn)，

:.DE=EB=LAB,

2

0邊形BFDE為菱形、

2、證明：?「四邊形力夕。是平行叩邊形，

,ABIICD,OA=OQ

：.AAEO=/_CFO,

在和△UO尸中

<ZAE0=ZCF0

<ZA0E=ZC0F>

A0=C0

/.A/4(9￡^ACOF(AAS),

?,.OE=OF,

\'EF]_AC,OE=OF,

一.AC與日7互相垂直平分，

一.四邊形/4&二尸是菱形、

3、證明：C1J:四邊形48。是平行四邊形，

Z/4=ZC.

AE=CG

???在與尸中一ZA=ZC>

AH=CF

:.(\AEgl\CGF、

(2),??=邊形/夕。是平行凹邊形，

:,AD=BC,AB-CD,/_B=/_D、

\'AE=CG,AH=CF,

；,EB=DG,HD=BF、

:.XBEF出XDGH、

:,EF=HG、

汽：/\AEg/\CGF,

??.EH=GF、

Q)邊形HEFG為平行四邊形、

：.EHIIFG,

:./_HEG=(FGE、

,:EG至分(HEF,

:./_HEG=(FEG,

??.ZFGE=ZFEG,

??.EF=GF,

是菱形,

4.(])證明：???。.E為AB,/4U中點(diǎn)

???DE為/\ABC的中位線,DE=—BC,

2

???DEWBC,

即EFWBC,

?/EF=BQ

b邊形BCEF為平行四邊形、

(2)二?四邊形夕Cf尸為平行四邊形，

?/Z/4Cff=60°,

??.BC=CE=BE,

一.B邊形BCFE是菱形.

5.(I)證明：???四邊形是平行囚邊形

：.AD\\BQAO=CO,

:、/_AEF=/_CFE,

<ZAEF=ZCFE

在△/4O￡>2\uo尸中一NAOE=/COF，

AO=CO

：.^AOE^/\COF(AAS),

??.OF=OE,

\'AO=CO,

/.b邊形AFCE是平行四邊形

?：EF夫分乙AEC,

:?乙AEF=/_CEF,

???ZCFE=ZCEF,

四邊形AFCE是菱形；

(2)群：由(])得：=邊形/4々是菱形，

\ACLEF,AO=CO=^AC=]f

2

：,/_AOE=90°,

?：/_DAC=60°,

.\Z.AEO=30°,

OE—J^/4O=

??.EF=2OE=2M，

囚邊形AFCE的面積=-^-/4CxEF--^-X2X2=2，^、

6.斛：flJ證明：

,；AF牛分ZBAD,

ZBAF—Z_DAF,

.??四邊形力8。是平行B邊形，

：.ADIIBGABIICD,

/.ZDAF=ZCEFfZPAF=ZCFE,

/.zCEF=zCFE,

：.CE=CF,

又：8邊形ECFG是平行=邊形，

??邊形ECFG為菱形；

(2)①；凹邊形是平行0邊形，

：.AB\\DC,AB=DC,ADUBC,

480=120°,

：.ABCD=60°,/BCF=12?！?/p>

由m知，四邊形廠是菱形，

:.CE=GE,—60°,

2

:.CG=GE=CE,/DUG=120°,

?；EGIIDF,

.\ZFfG=120°=ADCGf

??Y￡是/孫。的平分線，

??.ZDAE=ZBAE,

?:ADIIBC,

:.乙DAE=Z_AEB,

/.ZBAE=/_AEB,

AB—BE,

??,BE=CD,

:、XDG32BGE[SAS)；

②：XDGC^XBGE,

??.BG=DG,ZBGE=ZDGG

??.ZBGD=ZCGE,

?/CG=GE=CE,

△CEG是等邊三角形，

：.ACCE=60°,

：.2BGD=6N,

,:BG=DG,

..?△4DG是等邊三角形，

/.ZFP6=60°；

(3)方法一：如圖3中，連接RW,MC

'：/_ABC^90°,四邊形48。是平行四邊形，

???四邊形/46。是矩形，

又由(1)可知叨邊形氏尸G為菱形，

￡ECF=90°,

二.凹邊形氏尸C為正方形.

■:乙BAF=ZDAF,

BE-AB-DC,

?:M為生中點(diǎn)，

:'乙CEM=2ECM=45°,

：./_BEM=LDCM='350,

在△夕A正和△DVC中，

'BE=CD

；NBEM=NDCM，

EM=CM

:.RBM-XDMC(SAS),

：.MB=MD,

ZDMC=ZBME、

:./_BMD=/_BM?/_EMD=(DMC+/_EMD=qO°,

△BMD是等腰直角三角形.

AB=8,AD—14,

??BD=25y65,

???加=爭(zhēng)。=百瓦

方法二：過M作MH1DF千H,

ZABC-90°,8邊形/44C。是平行四邊形，

/.=邊形ABCD是矩.形,

又由C1）可知b也形ECFG為表彩,

/_ECF^90°,

/.o邊形ECFG為正方形，

：.ACEF=45°,

：.￡AEB=/_CEF=45°,

BE=AB—8,

/.CE=614-8=6,

-MH\\CF,EM=FM,

：.CH=FH=—CF=3,

2

：.MH=—CE=3,

2

；.DH=11,

:.DM=F+32=713o.

7,(])證明：-：AE\\BD,EDUAC,

8邊形AODE是平行四邊形，

???0邊形44。是矩形，

：.OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,AC=BD,

22

OA=OC=OD,

?,.囚邊形AODE是奏形;

(2)斛：連接OE,如圖所示：

由(\)得：=邊形/OOE是菱形，

AE-OB-OAf

?：AEHBD,

四邊形AEOB是平行四邊形，

?；BE1.ED,EDHAC,

.\BE1AC

s邊形AEOB是菱形，

AE=AB-OB,

AB-OB-OAt

.??△/4O夕是等邊三角形，

：.Z_AOB=60°,

???/40。=180°-60°=120°、

8.斛：(])ABHCD,CEIIAD,

/.b邊形AECD為平行四邊形，Z2=Z3,

又?.YU平分/必。

.*.Z1=Z2,

Z1=Z3,

AD-DC,

???四邊形4也？是菱形；

(2)直角三角形.

理由：\'AE=EC

.?./2=/4,

-：AE=EB,

:.EB=EC,

?,.N5=NS

又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,

「.N2+N4+N5+N8=180°,

:.^ACB=Z4+Z5=90°,

.?.△4C8為直角三角形、

AE