2021研究生考試數(shù)學一真題及答案解析

2021考研數(shù)學一真題答案解析

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數(shù)學(-)

-、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是符合題目要求，把所選選項前的字母填在答題卡指定位置上.)

>-1

⑴函數(shù)/(%>，在%=0處

1,%=0

(A)連續(xù)且取極大值.連續(xù)且取極小值.

(C)可導且導數(shù)為0.(D)可導且導數(shù)不為0.

【答案】D.

【解析】因為lim/(3)=lim-----=1=/(0),故/(%)在%=0處連續(xù);

T_l=]igx.A.x;故/，(o)=_L.正確答案為D.

因為1皿6"(。)=%m

nox-0x-0X222

(2)設函數(shù)可微'且/(x+l,ex)=x(x+I)2,/(x,x2)=2x2lnx，則df(LV)=

(A)dx+dy.(W)dx-dy.(C)辦.(D)?dy

【答案】c.

【解析】乂'(x+1，ex)+e%(x+1,ex)=(x+I)2+2X(X+1)①

/'(x,%2)+2A/A'(x,x2)=4xInx+2x②

——Q又一1

分別將，帶人①②式有

y=Q/y=

乂'(1,D+汾1,1)=1,乂，(1,1)+2陽I」1)=2

聯(lián)立可得乂'(1，1)=0,人'(L1)=1，#(1，1)=乂'(1，1)辦+人'(1，1)辦=辦，故正確答案為^3)設函

數(shù)/(x)=八在%=0處的3次泰勒多項式為ax+bx2+cr\貝

1+X

7

(A)a=1,Z)=O,c=—6(B)a=l,b=O,c=

6

(C)a=_Lp=_1?c【答案】A.-IXc

【解析】根據(jù)麥克勞林公式有

7

{%3)?[1-X2+o(x3)]=x--x3+ofx3)

6

6

1

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故a=l,b=Q,c=-I,本題選A.

6

(4)設函數(shù)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則%Mr二

(A)lim八/2k-l}12k-l1

2〃2n2n

2n

(C)lim￡/k-1}1k

2n2n

【答案】B.

【解析】由定積分的定義知，將(0,1)分成Z?份，取中間點的函數(shù)值，則，2眾?1)1_

￥/(x)d?x=limS"/JO2"一即選B.n..

(5)二次型的翻2,X3)=(Xr+X2)2+(X2+X3)2-(X3-Xl)2的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依次為(A)2,0.(B)1,L

(C)2,l.

【答案】B.(D)l,2.

【8?^］(+x)2)22X2?+2xx+2xx+2xA3

/X|?X2,X3)=(xt2+(x2+X32-(X3-xj=r223

<0

，故特征多項式為

0J

-1-1

\AE-A\=-1-2-1=(2+1)(2-3)2

-1-1

令上式等于零，故特征值為「，3,0,故該二次型的正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)為1.故應選B.

【答案】A.

【解析】利用斯密特正交化方法知

萬2=。2-2

A

23=的A-741A,

[A,A][A,Al

故公隨*

故選A.

(7)設浣5為77階實矩陣，下列不成立的是

2

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o、z4AB/

(A)r=2r(d)⑻「?

ATAJ/

f

,ABA、

(C)r=2廠(d)(D)r

oAAT,\防少

o'

【答案】C.

fAo、

【解析】(A)r=r(A)+r(ArA)=2r⑷.故A正確.

AL4A

AB、'*0、

(B)AB的列向量可由d的列線性表示，故r4=r(A.)+r(Ar)=2r(A).

<oA

(C)BA的列向量不一定能由d的列線性表示.

,fABAAnAO

(D)BA的行向量可由A的行線性表示，r=r(A)+r(Ar)=2r(A).

'A、0A\

本題選C.

(8)設d,5為隨機事件，且0〈尸(5)<1,下列命題中不成立的是

(A)若P(A\B)-P(A),則P(A^3)^P(A).

(B)若P(A\B)>P(A),^\P(A\B)>P(A)

(C)若F(A|B)>F(A15)JIJP(A\B)>P(A).

(D)若P(A\AVB)>P(A\AVB),則PB)>P(5).【答案】D.

PG4G4UAB))____________

［解析］P(^B)

PG4U5)P(A)+P(B)-P(AB)

P(］M"(如(10))="(柄="三

P(A)+P(5)-P(AB)

因為P「MU5)>P(JMU5),固有P(A刀故正確答案為D.

(9)設()為來自總體N的簡單隨機樣本，令

」_________」0=A-/\X=_

△Xpy=-A匕，=x-y.fi

22

(A)g是波的無偏估計,D(3)=ai+。72

v7n

22

(B)不是波的無偏估計，D@廿+通

-

(C)是波的無偏估計，二

n

(D)g不是波的無偏估計，D(O)=^^2-^2

\)n

【答案】C.

【解析】因為Z,y是二維正態(tài)分布，所以叉與r也服從二維正態(tài)分布，則XJ也服從二維正態(tài)分布，

3

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即E(3)=E(X-Y)=E(J)-E(y)=^=0f

4

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A

DtaJyfX-F)=D(J)+D(y)-cov(J,y)=4^2-2/那J,故正確答案為c.

n

(10)設鼠是來自總體2V(〃?4)的簡單隨機樣本，考慮假設檢驗問題：

①(X)表示標準正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為W={x>ll],

_116

其中貝冊="一時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為

162=1

(A)1-0(0.5)(B)l-O(l)

(01-0(1.5)(D)1-0(2)

【答案】B.

【解析】所求概率為P(X<11}X-N(11.5,-),

P{X<11}=P<

故本題選B.

二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置

上.)

?+°°dx

(11)°%2+2x+2

【答案】7:

f+0°dx孤zix\+oo717171

【解析】Jox2+2X+21O(X+1產+110244

；p2e,+m,x<0確定則身

(12)設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程、j=4(/-l)ez+/2,x>0?dx1

2

【答案】一.

3

【解析】中--+2/得如________(4ez+4td+2)(2ez+1)-皿+2/)2ez

dx~2ez+lA~olcA~(2/+1)3*'

將’=。帶人得gu=|.

(13)歐拉方程X2/+xyf-4y=0滿足條件y(l)=1,j/⑴=2得解為j.

【答案】%2.

【解析】令x=e”,則X)，=—,，原方程化為八-今=0,特征方程為

dtdx2dxdx

2222

2-4=0,特征根為4=2,又2=2通解為j=C/e'+C2e~'=Qx+02X~2,將初始條件j"(l)=1,/(1)=2帶入

得q=l,C2=0,故滿足初始條件的解為j=%%

(14)設S為空間區(qū)域｛(X,J9Z)|X2+4P<4,0<Z<2｝表面的外側-則曲面積分fdydz+yPdzdx+

zdxdy=_.

【答案]4TT.

5

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【解析】由高斯公式得原式=d+2少+dxdy-4;i.

QD

(15)設A=劭為3階矩陣，.為代數(shù)余子式，若d的每行元素之和均為2,且|八|=3Jii+^1+

r.............................

【答案】

11'則銅征值為亨’對應的特征向量為

=2,a=1

44i+4i+43i

44)曾

而/*=，12A22=Al2+A22+432

—aAi2,A,1,即

A

“33JV?

“23\"13+423+4.3)

4+4i+4i=L

(16)甲乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再

從乙盒中任取一球.令分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù)，則z與r的相關系數(shù).

【答案】去.

"(0,0)(0,1)(1,0)(w,0，or

y

【解答】聯(lián)合分布率⑵r)?3113，乂?]i11

<105510>JLJ2>

(1。)即)=去，做4，沉4,即?

_±

_5

三、解答題(本題共6小題，共70分,請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應寫

出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(17)(本題滿分10分)

(rx2

求極限limA

€x一Jsinx

\J

【答案】去.

?GJ2

sinx-1-J

【解析】解：hm=lim

xA-0ex-1sinxk)xAo(ex-1)sinx

又因為Joe，d<=io<,+/2+=X+|x3+o(x3),故

(x-AjX3+O(X3))(l+X+AyX3+0的)~X~A-X2+0(%2)

原式二lim-

xAO

Ax2+O(X2)1

=lim------------------=—

x22

6

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(18)(本題滿分12分)

A~A?X°°

"_+1)"、7=/,2J，求級數(shù)Z.㈤的收斂域及和函數(shù).

〃=/

---------+

(1-%)ln(l-%)+%,%G(0J)

【答案】S(x)=<1-e—X

一,x=1U-i

【解析】

S(X)=Z'W=y"+7\~r+，n(n，收斂域(。，11，4(%)=[e,=-------------%G

n=X”=/00"+1IH>(0,11

<KI1oo"+loontl

八2(X)=z-----------?+,=Z-----------Z------------ln(l_%),[Jn(l_%)_%]

,,=in,t=in+I

=(1-%)ln(l-%)+%,%G(0,l)

SJ1)=limS2(x)=1

rf

--------+(1-%)in(l-%)+%,%G(0,1)

S(x)J-e—,

—,X=1

—1

(19)(本題滿分12分)

X2+2J2-Z=6，求。上的點到,吵坐標面距離的最大值.4X+2j

+z=30

【答案】66

【解析】設拉格朗日函數(shù)=z2+2(%2+2產-z-6)+〃(4x+2y+z-30)

Lx=2x2+4w=0

Ly=4少2+2w=0

=2z—A+i/=0

%2+2j；2-z=6

4x++z=30

解得駐點：(4,I,12),(-8,-2,66)

C上的點(-8,-2,66)到xoy面距離最大為66.

(20)(本題滿分12分)

設。匚配是有界單連通閉區(qū)域，1(D)=JI(4八如/y取得最大值的積分區(qū)域記為ZVD

⑴求/eq)的值.

(2)計算+其中碼是，'的正向邊界.

do,x2+4)2x+4J

【答案】-71

【解析】⑴由二重積分的幾何意義知：KD)=%-/乂)而，當且僅當4-xU在乃上

D

2AA2

大于0時，/(D)達到最大，故D,：X+/<4S/(Di)=j(4-r)r67r=877.⑵補D2"+4產=戶0■很小)，取乃

2的方向為順時針方向，

f(xex2+4j2+y)dx+(4ye-x2+4y2-x)dy

7

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(xex，,+4y2+y)dx+(4yex2+4y2-x)dyr(xex，,+4y2+y)dx+(4yex，,+4y2-x)dy

x2+4j2X2+一

dD.+dD?L,

fxclx+4ydy—cjydx-xdy=-2da=-n.

r

dD?dD2

(21)(本題滿分12知

i-n

-i

(1)求正交矩陣P'使得P'AP為對角矩陣；

(2)求正定矩陣C，使得C2=(a+3)￡-A

(1i

1

iP-1-1

73o

1i151

【答案】(1)P=；(2)C=-1

VIA/633

1215

-1i

0

rvr?6,33>

【解析】

4一a-11

⑴由\AE-A\=-l又一a1=(2—tz+1)2(2—6?-2)=0

11又一a

得A=a+2,=23=a—\

當人二a+2時

,2-11'

-inrrn

((a+2)A-4)=-121011的特征向量為%=i

J12?、000,

當'=23=a-im

r-n

^a-V)E-A)=i

<2,

?fa+2

令尸二aa2a3

xvr，貝！JpTAP=A=

2

46,

fl

(2)PTC2P=PT(a+3)￡-d)P=((a+3)五一A=

4J

8

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1P