各向異性及多邊損傷模型的理論模型

各向異性及多邊損傷模型的理論模型

混凝土材料本構(gòu)建模一般來說，材料結(jié)構(gòu)的微缺陷（如金屬和合金材料中的微孔、微切割帶、高聚物材料中的微孔和銀紋等）的產(chǎn)生、發(fā)育和融合是材料最終破壞的主要因素。對于混凝土和其他準(zhǔn)剛性材料，在初始狀態(tài)上可以認(rèn)為是各向同性。在外部負(fù)荷的作用下，在某些情況下，在嘉靖和維護(hù)過程中形成的初始微缺陷沿著最大的盡量服從方向發(fā)展，形成了一條微裂縫。同時，隨著應(yīng)力歷史的變化，這些微裂縫的發(fā)展方向也會發(fā)生一定程度的旋轉(zhuǎn)和一些微裂縫，導(dǎo)致材料的明顯的不同向異性。所謂的破壞引起的不同方向的異向異性。此外，當(dāng)微裂縫通過彈性作用時，材料的剛性變化很大，柔度也會增加。相反，在壓力作用下，微裂縫關(guān)閉（即損傷受抑制），材料的剛性基本恢復(fù)。這種由微裂縫打開、閉合和重新開口過程引起的剛度變化，即所謂的“單邊效應(yīng)”。上述微裂縫（損傷）引起的材料的各向異性和一側(cè)效應(yīng)對混凝土材料和結(jié)構(gòu)的變形和浮力產(chǎn)生了非常重要的影響，如重復(fù)加載和非比例加載。自從Kachanov最早提出損傷力學(xué)的基本思想并用于分析金屬蠕變問題以來,損傷力學(xué)已經(jīng)逐漸發(fā)展成為包括連續(xù)損傷力學(xué)和細(xì)觀損傷力學(xué)等在內(nèi)的一門相對獨立的固體力學(xué)分支.其中,盡管近年來細(xì)觀損傷力學(xué)發(fā)展非常迅猛,但通過引入標(biāo)量、矢量、二階或四階甚至更高階張量形式的損傷內(nèi)變量,連續(xù)損傷模型能夠在宏觀上反映微裂縫演化對材料非線性行為的影響,在混凝土材料本構(gòu)建模領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用[14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29].從物理意義上講,“損傷”表征為材料的剛度退化,因此,采用剛度張量(或柔度張量,或其增量)作為損傷變量建立損傷模型更為合理.基于類似的考慮,文獻(xiàn)引入了退化應(yīng)變率的概念,并為眾多學(xué)者所采用,隨后Carol等歸納了彈性退化(損傷)理論;Govindjee等和Meschke等分別將該理論推廣至多面彈性損傷和彈塑性損傷模型.在連續(xù)損傷力學(xué)基本理論框架內(nèi),通過將某些二階張量如應(yīng)力、應(yīng)變或有效應(yīng)力等進(jìn)行正、負(fù)分解并引入相應(yīng)的四階投影算子,已有部分混凝土損傷模型[4,16,17,18,20,26,27,28,29]能夠描述單邊效應(yīng)的影響.然而,研究表明:對于各向同性損傷,已有模型往往可以給出令人滿意的預(yù)測結(jié)果,而在描述各向異性損傷時,這些模型會給出損傷卸載能量耗散不為零等熱力學(xué)不相容結(jié)論.此外,由于投影算子的引入,已有模型的數(shù)值算法過于復(fù)雜或無法線性化而計算效率十分低下,大大限制了模型的應(yīng)用.基于不可逆熱力學(xué)原理和內(nèi)變量理論,本文直接以材料柔度張量的增量作為損傷內(nèi)變量,建立了熱力學(xué)相容的各向異性單邊損傷模型的一般形式,給出了熱力學(xué)相容的投影算子,推導(dǎo)了模型的率本構(gòu)關(guān)系并發(fā)展了其數(shù)值實現(xiàn)算法和算法一致性模量.在此基礎(chǔ)上,建立了合理的損傷準(zhǔn)則和演化法則,并將上述模型應(yīng)用于混凝土材料.數(shù)值模擬結(jié)果初步驗證了模型的有效性.建議模型完全構(gòu)筑于熱力學(xué)基礎(chǔ)上,無需引入應(yīng)變等效或應(yīng)變能等效等經(jīng)驗性假定.需要說明的是,模型不考慮動態(tài)載荷下混凝土材料的應(yīng)變率效應(yīng),其率相關(guān)推廣將在后續(xù)研究中給出.此外,由于不可恢復(fù)變形可以通過塑性力學(xué)方法加以描述,本文將集中討論微裂縫演化(損傷)對材料非線性行為的影響,因此,建議模型隸屬于彈性損傷范疇,但推廣至彈塑性損傷模型不存在原則性的困難.為方便后文表述,二階和四階單位張量分別記為1和Ⅰ,此外,引入以下張量運算符其中,A和B均為二階對稱張量,X和Y均為四階張量,i,j,k和l為分量下標(biāo).1熱容量單級彈性損傷模型1.1微裂縫演化的應(yīng)力-應(yīng)變耦合關(guān)系傳統(tǒng)的連續(xù)損傷模型中,一般選取某些標(biāo)量或二階張量作為損傷內(nèi)變量,其選擇具有較大的隨意性.同時,為了描述損傷演化對材料宏觀力學(xué)性能的影響,通常還需要引入諸如應(yīng)變等效或應(yīng)變能等效等假定.Krajcinovic從原子、微細(xì)觀和宏觀等尺度綜合分析了材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)非均勻特性和微裂縫非線性演化特征對材料宏觀力學(xué)行為的影響,結(jié)果表明:從一般意義上講,作為溝通微細(xì)觀和宏觀尺度的橋梁,選取材料的柔度或剛度張量作為損傷內(nèi)變量更為合理.對于初始各向同性材料,其線彈性柔度張量C0和剛度張量S0分別表示為式中,E0和v0分別表示材料的彈性模量和泊松比.出現(xiàn)損傷后,微裂縫演化導(dǎo)致材料剛度S發(fā)生退化,而柔度張量C則相應(yīng)增加.若將損傷變量統(tǒng)一標(biāo)記為B★(可以為標(biāo)量、二階張量或四階張量,下標(biāo)“★”表示張量的階數(shù)),則可以給出如下關(guān)系式式中,Λ表示柔度張量的增量,為損傷內(nèi)變量B★的非線性函數(shù).注意到微裂縫演化與拉應(yīng)力的大小和方向密切相關(guān),將應(yīng)力張量σ分解為其正、負(fù)分量之和的形式,即其中,正、負(fù)應(yīng)力分量σ+和σ-分別表示為式中,σ(i)為應(yīng)力σ的第i個特征值,相應(yīng)的特征向量為n(i);<·>為McAuley尖括號,定義為<x>=max(0,x).引入四階對稱投影算子P±,將式(4)寫為對于彈性損傷材料,其卸載路徑直線指向原點,而且在整個卸載—再加載(再加載指再加載至先前的卸載點,后文同)的過程中,材料的損傷狀態(tài)保持為當(dāng)前的值不變,即=0.此時,彈性損傷材料的Gibbs自由能勢ψ依賴于當(dāng)前的應(yīng)力σ和損傷狀態(tài)B★,即其中,柔度張量的增量Λ表示為式中,Λ+和Λ-即為損傷內(nèi)變量B★,其物理意義為分別在σ+和σ-單獨作用下,微裂縫演化引起的材料柔度增量.局限于純力學(xué)范疇(等溫、絕熱狀態(tài)),任意可能的變形過程均需滿足不可逆熱力學(xué)第二定律,即如下Clausius-Duhem不等式將式(6)對時間微分并代入到式(8)給出由的任意性,可以給出如下割線應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式將式(10)兩邊對時間微分,可以得到式中,為阻止微裂縫繼續(xù)發(fā)展的彈性應(yīng)變率即損傷不進(jìn)一步發(fā)展(保持上一步的柔度C或剛度S不變)的前提下,應(yīng)力的增量引起的應(yīng)變,而則為損傷應(yīng)變率即在當(dāng)前應(yīng)力水平下,由于剛度退化(或柔度增加)而導(dǎo)致的應(yīng)變,也稱為退化應(yīng)變率.其中,根據(jù)式(7)率張量Λ表示為上述損傷應(yīng)變率最早由Hueckel和Maier給出,隨后被文獻(xiàn)采用.1.2邊界條件12上述本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)過程中,忽略了其中的關(guān)鍵步驟:既然依據(jù)熱力學(xué)基本原理給出,所得到的本構(gòu)關(guān)系成立與否需要驗證其是否滿足不可逆熱力學(xué)的基本要求.對于彈性損傷模型而言,式(10)成立的前提是式(6)中定義的函數(shù)ψ確實是有效的Gibbs自由能勢.上述要求實際上等效為:當(dāng)材料損傷保持恒定不變即=0時,如下偽能量耗散率應(yīng)該為零,即當(dāng)式(10)成立時,式(13)給出的偽能量耗散率簡化為對于Green彈性材料,當(dāng)不考慮單邊效應(yīng)時,在整個損傷卸載—再加載過程中損傷狀態(tài)不變即意味著其柔度張量保持當(dāng)前值不變,即,此時上述熱力學(xué)要求實際上等效于本構(gòu)關(guān)系式(10).然而,對于上述單邊彈性損傷模型中引入了投影算子P±且其表達(dá)式并不唯一,從式(14)可以看出=0并不一定可以保證.顯然,當(dāng)各向同性損傷或當(dāng)P±保持固定不變即=0時(如比例加載等),的條件自動得到滿足;而對于一般情況,投影算子P±滿足能夠保證熱力學(xué)相容條件=0.綜合考慮式(5)和式(15),可以得出結(jié)論:只有同時滿足如下條件的投影算子才是熱力學(xué)相容的,式中,的率張量.附錄表明,熱力學(xué)相容的投影算子唯一地表示為如下表達(dá)式式中,H(σ(i))為σ(i)的Heaviside函數(shù),二階對稱張量N(ij)表示為1.3損傷演化法則對于任何可能的變形過程,根據(jù)不等式(9)和式(10)可知,本構(gòu)關(guān)系必須滿足如下耗散不等式式中,-Y±為與損傷變量Λ±功共軛的熱力學(xué)廣義力即損傷能釋放率.從式(19)標(biāo)準(zhǔn)的二項式結(jié)構(gòu)可以看出,應(yīng)該為四階對稱正定張量.需要指出的是,上述式(14)和式(19)兩個看起來類似的條件實際上是完全獨立的:前者限制了卸載一再加載過程中材料損傷行為,而后者則規(guī)定了損傷加載演化法則應(yīng)該滿足的條件.構(gòu)建合理的損傷變量演化法則是發(fā)展連續(xù)損傷模型的最大難點之一.由于混凝土非線性行為的復(fù)雜性,對于一般的各向異性損傷模型,給出高階損傷變量的演化法則更加困難.已有連續(xù)損傷模型的演化法則往往只能基于唯象學(xué)給出,而目前細(xì)觀損傷理論微裂縫的方向和大小分布函數(shù)往往依賴于人為假定,且難以有效地考慮軟化段大量微裂縫的相互作用.基于上述考慮,本文類似于塑性流動法則,給出如下?lián)p傷演化法則的一般形式式中,λ±≥0為損傷演化因子;損傷演化方向ψ±為正定的四階對稱張量,以保證損傷耗散式(19)為非負(fù)值.上述損傷演化法則最早由Simo和Ju提出,并得到了較為廣泛的應(yīng)用.由于熱力學(xué)相容的投影算子滿足關(guān)系式(15),相應(yīng)的損傷應(yīng)變率可以簡單地表示為式中,損傷應(yīng)變的演化方向?！罏樾枰赋龅氖?一旦確定了柔度增量的演化法則,損傷應(yīng)變的演化法則即可根據(jù)式(21)給出;反之則不成立.損傷演化因子λ±與損傷狀態(tài)有關(guān):當(dāng)處于損傷加載時,λ±>0,而λ±=0則表明損傷卸載或處于彈性區(qū)域內(nèi),因此,必須首先根據(jù)損傷準(zhǔn)則確定相應(yīng)的損傷狀態(tài).本文采用如下?lián)p傷準(zhǔn)則和如下?lián)p傷加載/卸載條件式中,損傷加載函數(shù)f±與當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān);損傷閾值r±為累積損傷λ±的函數(shù).當(dāng)處于損傷加載即時,可以通過損傷一致性條件給出,即其中,Υ±為損傷加載函數(shù)f±的應(yīng)力梯度,而h±則表示硬化/軟化函數(shù).1.4彈性損傷模型的建立為了確定材料的失效模式和局部化狀態(tài),往往需要給出材料的連續(xù)體切線模量.此外,連續(xù)體切線模量的推導(dǎo)過程往往對于發(fā)展本構(gòu)模型的數(shù)值算法有一定的啟發(fā)作用.對于建議模型,考慮到式(11)和(21),可以給出如下率本構(gòu)關(guān)系式中,損傷演化因子±和相應(yīng)的連續(xù)體切線模量Stan可以分為以下幾種情況求得:(1)當(dāng)F+<0,F-<0時(2)當(dāng),F-<0時(3)當(dāng)時(4)當(dāng)時其中,系數(shù)Hij和Δ分別表示為從上述率本構(gòu)關(guān)系和切線剛度張量清楚地看出,由于引入了損傷應(yīng)變率且采用了與塑性流動法則類似的損傷演化法則即式(20),只需要將經(jīng)典的塑性力學(xué)基本公式中的初始剛度張量S0替換為割線剛度張量S,即可給出建議的彈性損傷模型.然而,此處的割線剛度張量S為內(nèi)變量,其演化法則根據(jù)關(guān)系式S=C-1和式(20)給出的演化法則加以描述.2實現(xiàn)模型數(shù)值的算法2.1應(yīng)用效果及改進(jìn)的雙面性損傷模型的健全本文建議的各向異性單邊損傷模型率本構(gòu)方程的數(shù)值積分實際上是對狀態(tài)變量進(jìn)行更新的過程.若整體非線性方程采用基于應(yīng)變的有限元進(jìn)行求解,一般將時間離散為若干子增量步[tn,tn+1]R+(n=0,1,…),初始條件為,且應(yīng)變歷史即t→ε≡▽su(t)已知.根據(jù)無條件穩(wěn)定的后退歐拉方法,時間步tn+1的狀態(tài)變量按下式更新式中,為彈性試算應(yīng)力,表示為于是,式(33a)～(33d)等效為如下殘量形式可以看出,式(34)和(36)實際上構(gòu)成了模型數(shù)值實現(xiàn)的彈性預(yù)測——多面損傷修正方法:在損傷加載狀態(tài),彈性預(yù)測應(yīng)力和其它狀態(tài)變量通過多面損傷修正“回映”到當(dāng)前損傷面.典型的回映算法有最近點投影方法和切平面方法兩種.由于可以保證二階收斂速度并能夠給出與算法一致的線性化方程,本文采用最近點投影方法.相應(yīng)地,將式(36)線性化為(此處,為了書寫簡便,省略了下標(biāo)n+1,下同)根據(jù)式(37a),δσ可以用δ(Δλ±)表示為式中,四階對稱張量Π稱為彈性算法模量,表示為將式(38)代入式(37b)中,可以得到當(dāng)兩個損傷面都處于損傷加載時,式(40)可以寫成如下矩陣形式式中,矩陣J的分量Jij表示為因此,第k+1次迭代后的Δλ±可以求解為其中(·)(k+1)和(·)(k)分別表示第k+1次迭代和第k次迭代后變量的值.當(dāng)僅有損傷面F+或F-處于損傷加載狀態(tài)時,式(40)退化為單面損傷的形式,于是得到Δλ+和Δλ-或根據(jù)式(43)～(45)計算出損傷演化因子的增量δ(Δλ±)后,其它物理量可以相應(yīng)地進(jìn)行更新,不再贅述.在已有各向異性單邊損傷模型中,幾乎都無法給出相應(yīng)的率本構(gòu)關(guān)系和連續(xù)體切線模量,其非線性有限元數(shù)值實現(xiàn)算法則采用顯式算法,或只能夠采用效率較低的準(zhǔn)Newton-Raphson算法或擬NewtonRaphson算法,而這些方法對于混凝土此類強非線性材料而言往往不夠強大.Mahnken等發(fā)展了Ortiz模型的隱式求解算法,然而其過程異常繁瑣,所得結(jié)果也極其復(fù)雜,效率不高而極大地限制了其應(yīng)用.本文建議模型不僅在理論上解決了已有模型熱力學(xué)不相容的理論缺陷,同時還給出上述無條件穩(wěn)定的隱式數(shù)值實現(xiàn)算法.2.2計算力學(xué)中的結(jié)論為了保證建議模型在有限元數(shù)值實現(xiàn)時具有二階收斂速度,在非線性方程組的迭代求解過程中,還必須使用與上述最近點投影算法一致的切線模量dσn+1/dεn+1.為此,將式(33)線性化,可以得到綜合考慮式(46a)和(46b),將得到如下關(guān)系式于是,將式(47)代入到式(46c),可以將dλ±用dσn+1表示,并將其結(jié)果代回到式(47),即可給出與算法一致的切線模量dσn+1/dεn+1表示為:(1)當(dāng)時(2)當(dāng)時(3)當(dāng)時(4)當(dāng)時式中,detJ為矩陣J的行列式即可以看出,將第1.4節(jié)給出的連續(xù)體切線模量Stan中的割線剛度S替代為彈性算法模量Π,即得到了與算法一致的切線模量dσn+1/dεn+1.因此,當(dāng)Δε→0也即時,算法模量趨近于割線剛度張量即Πn+1→Sn.相應(yīng)的,與算法一致的切線模量退化為連續(xù)體切向剛度張量,即dσn+1/dεn+1→.上述結(jié)論與計算力學(xué)中的結(jié)論是一致的.3混凝土應(yīng)用3.1損傷閾值的確定和工作原理在缺乏試驗數(shù)據(jù)的情況下,通常很難直接給出柔度增量Λ±完全各向異性損傷的演化法則.受到各向同性和正交各向異性損傷演化法則的啟發(fā),本文建議如下柔度增量的演化方向張量相應(yīng)地,材料柔度增加(或剛度退化)引起的損傷應(yīng)變率表示為式中,E0和v0分別為材料的彈性模量和泊松比;為σ±的單位張量.可以看出,當(dāng)v0分別取為v0=0和v0=-1時,式(54)分別退化為Ortiz和Losi等提出的演化法則.需要指出的是,Ψ±為正定的四階對稱張量,滿足損傷耗散為非負(fù)值的熱力學(xué)要求.研究表明,對于率無關(guān)材料,可以根據(jù)損傷耗散不等式(19)給出如下?lián)p傷加載函數(shù)f±表達(dá)式上述損傷加載函數(shù)f±沒有考慮損傷演化對材料泊松比的影響.試驗表明,拉應(yīng)力對混凝土泊松比的影響不大,而在雙軸或三軸受壓應(yīng)力下其泊松比會逐漸增加,最終破壞時將超過0.5甚至接近于1.0.基于上述事實,本文引入?yún)?shù)v±以反映材料泊松比的變化,并考慮到損傷閾值r±歸一化的需要,模型建議采用如下?lián)p傷加載函數(shù)式中,四階對稱張量Θ±表示為與損傷演化張量Ψ±相同的形式即相應(yīng)的,損傷面的應(yīng)力梯度Υ±分別表示為本文取參數(shù)v+為混凝土的泊松比v0,即v+=v0,此時Θ+=E0Ψ+,則建議的損傷加載函數(shù)f+與式(56)是等效的.若將單軸受拉和等雙軸受拉強度分別標(biāo)記為ft和fbt,則損傷閾值r+的最大值表示為一般來說,混凝土的泊松比v0在0.15～0.25之間,由此可以得到fbt/ft的值在0.767～0.816之間,這與試驗結(jié)果非常吻合.例如,泊松比v0=0.20時,相應(yīng)的,fbt=0.79ft.類似的,將單軸受壓和等雙軸受壓強度分別標(biāo)記為fc和fbc(均為正值表示),則對應(yīng)于上述強度的損傷閾值表示為對于典型的混凝土材料,強度比值fbc/fc一般在1.10～1.20之間,因此,v-的取值范圍為0.587～0.653.本文中,取fbc/fc=1.16,相應(yīng)的,v-=0.6384.將建議模型和上述損傷加載函數(shù)應(yīng)用到一維應(yīng)力狀態(tài)下,即可得到適合于混凝土材料的損傷閾值函數(shù)r±.本文中,r+和r-的函數(shù)形式分別取為相應(yīng)的,硬化/軟化函數(shù)h+和h-分別表示為式中,則分別代表單軸受拉和單軸受壓的線彈性極限強度,可以表示為單軸抗拉強度ft和單軸抗壓強度fc的如下函數(shù)分別為控制單軸受拉和單軸受壓曲線的硬化/軟化形狀的模型參數(shù),與材料屬性斷裂能和單元特征長度有關(guān).為了獲得與網(wǎng)格大小無關(guān)的計算結(jié)果,當(dāng)本文采用裂縫帶理論對軟化段進(jìn)行規(guī)則化,即假定單軸受拉和單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線與應(yīng)變軸所圍的面積應(yīng)該分別等于單位特征長度lch的抗拉斷裂能/lch和抗壓斷裂能/lch.將上述理論應(yīng)用于建議的混凝土各向異性損傷模型,模型參數(shù)與材料的抗拉斷裂能和抗壓斷裂能之間的關(guān)系表示為式中,a+和a-分別定義為不同a+和a-取值條件下,歸一化的損傷閾值r+/ft和r-/fc的演化曲線如圖1所示.3.2抗拉受力分析眾所周知,混凝土是一種典型的具有初始微缺陷(微裂縫和微空洞)的準(zhǔn)脆性材料.試驗觀察表明,在很低的應(yīng)力水平下這些微缺陷即開始發(fā)展、融合、貫通和成核,而且,其損傷演化與應(yīng)力歷史密切相關(guān)且具有本質(zhì)意義上的各向異性特性.本節(jié)中,將建議模型應(yīng)用于混凝土典型非線性行為的數(shù)值模擬,其中,采用的材料屬性分別為E0=3.0×104MPa,v0=0.20,ft=3.0MPa,fc=30.0MPa以及fbc/fc=1.16.首先考慮單軸受拉(σ1>0,σ2=σ3=0).此時,除了分量=λ+/E0>0外,柔度增量Λ+和Λ-的其它分量均為零.于是,利用建議模型,可以得到加載方向的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為式中,單軸受拉應(yīng)力狀態(tài)下,相對應(yīng)變表示為其次,對于單軸受壓(σ1=σ2=0,σ3<0),除了分量=λ-/E0>0外,Λ+和Λ-的其它分量為零.此時,加載方向的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線可以表示為式中,參數(shù)與a-的關(guān)系由式(65)給出,單軸受壓應(yīng)力狀態(tài)下的相對應(yīng)變表示為求出上述單軸受拉和單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線與應(yīng)變軸包圍的面積,根據(jù)裂縫帶理論即可得到參數(shù)a±的表達(dá)式(66).不同參數(shù)值a±給出的單軸受拉和單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖2.圖3(a)給出了單軸反復(fù)拉壓應(yīng)力狀態(tài)下加載方向x的應(yīng)力σ1=σxx與該方向的應(yīng)變值ε1=εxx的關(guān)系曲線(O→A→B→O→C→D→O→B→E→O).圖中模型參數(shù)取為a+=0.50和a-=6.00.從中可以看出,建議模型能夠較好地描述微裂縫演化引起的剛度退化和單邊效應(yīng).最后,將建議模型應(yīng)用于混凝土的雙軸應(yīng)力狀態(tài)下(σ3=0),得到的強度包絡(luò)線如圖3(b),圖中還給出了Kupfer等試驗結(jié)果.數(shù)值模擬結(jié)果表明建議模型能夠較好地描述雙軸受壓時的強度提高和雙軸拉壓應(yīng)力狀態(tài)下強度的降低.4數(shù)值模擬結(jié)果已有的正交各向異性或完全各向異性損傷模型存在熱力學(xué)不相容、數(shù)值算法復(fù)雜且效率低等缺點.基于連續(xù)損傷力學(xué)和不可逆熱力學(xué)原理,本文直接以材料柔度張量的增量作為損傷內(nèi)變量,建立了各向異性單邊損傷模型的一般形式,并給出了熱力學(xué)相容的投影算子,推導(dǎo)了模型的率本構(gòu)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,發(fā)展了高效、穩(wěn)定的Newton-Raphson數(shù)值實現(xiàn)算法及其算法一致性模量,并給出了適用于混