七年級數(shù)學(xué)競賽專題訓(xùn)練試卷(四)直線、相交線、平行線

七年級數(shù)學(xué)競賽專題訓(xùn)練試卷(四)一、選擇題(每小題4分，共40分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在題后的括號內(nèi)．)1．在一條直線上有5個不同的點，則以其中兩點為端點的線段共有()條．(A)15(B)14(C)12(D)102．線段AB上有P，Q兩點，AB=13，AP=6，PQ=5。那么BQ=()(A)2(B)12(C)2或12(D)1或123．如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點重合，已知∠AOD=1200，則∠BOC的度數(shù)為()(A)500(B)600(C)700(D)8004．已知∠a的補角是它余角的3倍，則∠a=()(A)300(B)450(C)600(D)9005．如圖，直線a∥b，c與d不平行，∠1=1210，∠3=1200，則∠2=()(A)1210(B)1200(C)1190(D)不能確定6．下列判斷中，正確的是()(A)永不相交的兩條不同直線一定是平行線(B)在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行(C)在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交(D)在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交7．畫一條直線，可將平面分成2部分，畫2條直線，最多可將平面分成4部分，那么畫5條直線最多可將平面分成()部分．(A)11(B)16(C)15(D)178．如圖，直線上有三個不同的點A，B，C，且AB=10，BC=5，在直線上找一點D，使得AD+BD+CD最小，這個最小值是(A)15(B)14(C)10(D)7.59．如圖，MON是一條直線，∠，∠，∠滿足，，則∠=()(A)200(B)400(C)600(D)120010．如圖，AB∥CD，∠EHC=1200，則∠BAC+∠ACE+∠CEH=()(A)3600(B)1800(C)2700(D)2400二、填空題(每小題4分，共40分)11．一個角的補角的是60，則這個角的度數(shù)為__________．12．如圖，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=200，則∠C的度數(shù)為__________。13．如圖，將一張長方形紙條折疊，如果∠1=1000，則∠2=__________。14．如圖，AB∥CD，則∠B，∠C，∠E三者之間的關(guān)系是__________。15．如圖，C是線段AB的中點，D是線段AC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為26，則線段AC的長度為__________．16．如圖，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD=900，∠BOC=100，則∠MON=__________。17．如圖，AB┴BC，CD┴BC，BE∥CF，∠ABE=，∠DCF=，則__________(填“<”，“>”或“=”)．18．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點個數(shù)最少為__________個，最多為__________個．19．如圖，AB∥CD，∠BED=∠DEF，∠EFD=400，則∠EDF=__________。20．已知x，y是正整數(shù)，∠1的度數(shù)等于3x+5，∠2的度數(shù)等于3y+1，且∠1和∠2互為補角，則x，y所能取的值的和是__________．三、解答題(本大題共3小題，共40分．要求：寫出推算過程．)21．(本題滿分10分)如圖，∠AEM=∠DGN，∠AEF=∠CGH，求證：EF∥GH．22．(本題滿分15分)已知，AB∥CD，(1)如圖①，求∠1+∠2+∠3．(2)如圖②，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．(3)如圖③，求∠1+∠2+…+∠n．23。(本題滿分15分)如圖，直線l是一條公路，A，B是兩個村莊，現(xiàn)要在公路上建一個加油站，設(shè)為P，使得兩個村莊到加油站的距離之和最小，即PA+PB最?。?1)請在圖上畫出點P，并說明理由．(2)若A，B兩點到直線l的距離分別為3和4，且A與B的距離為4，求PA+PB的最小值實數(shù)提高訓(xùn)練例1已知一個立方體盒子的容積為216cm3,問做這樣的一個正方體盒子（無蓋）需要多少平方厘米的紙板？例2若某數(shù)的立方根等于這個數(shù)的算術(shù)平方根，求這個數(shù)。例3下列說法中：①無限小數(shù)是無理數(shù)；②無理數(shù)是無限小數(shù)；③無理數(shù)的平方一定是無理數(shù)；④實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。正確的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4例4（1）已知（2）設(shè)（3）若（4）設(shè)a、b是兩個不相等的有理數(shù)，試判斷實數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，并說明理由。例5（1）已知2m-3和m-12是數(shù)p的平方根，試求p的值。（2）已知m，n是有理數(shù)，且，求m，n的值。（3）△ABC的三邊長為a、b、c，a和b滿足，求c的取值范圍。（4）已知，求x的個位數(shù)字。訓(xùn)練題：一、填空題1、的算術(shù)平方根是。2、已知一塊長方形的地長與寬的比為3：2，面積為3174平方米，則這塊地的長為米。3、已知。4、已知=。5、設(shè)等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不相等的實數(shù)，則的值是。6、已知a、b為正數(shù)，則下列命題成立的：若根據(jù)以上3個命題所提供的規(guī)律，若a+6=9，則。7、已知實數(shù)a滿足。8、已知實數(shù)。9、已知x、y是有理數(shù)，且x、y滿足，則x+y=。10、由下列等式：……所揭示的規(guī)律，可得出一般的結(jié)論是。11、已知實數(shù)a滿足。12、設(shè)則A、B中數(shù)值較小的是。13、在實數(shù)范圍內(nèi)解方程則x=,y=.14、使式子有意義的x的取值范圍是。15、若的值為。16、一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+1和a-3，則a=,x=.17、寫出一個只含有字母的代數(shù)式，要求：（1）要使此代數(shù)式有意義，字母必須取全體實數(shù)；（2）此代數(shù)式的值恒為負數(shù)。。二、選擇題：1、的平方根是()A、-6B、6C、±6D、±2、下列命題：①（-3）2的平方根是-3；②-8的立方根是-2；③的算術(shù)平方根是3；④平方根與立方根相等的數(shù)只有0；其中正確的命題的個數(shù)有（）A、1個B、2個C、3個D、4個3、若（）A、0B、1C、-1D、24、已知()A、B、C、D、5、使等式成立的x的值（）A、是正數(shù)B、是負數(shù)C、是0D、不能確定6、如果（）A、B、C、D、7、下面5個數(shù)：，其中是有理數(shù)的有（）A、0個B、1個C、2個D、3個8、已知9、已知：10、在實數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)，求a的各位數(shù)字是什么？11、已知x、y是實數(shù)，且13先觀察下列等式，再回答問題。=1\*GB3①1+112+122=1+=2\*GB3②1+122+132=1+12=3\*GB3③1+132+142=1+13=1\*GB2⑴請根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想1+142+=2\*GB2⑵請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的字母表示的等式，并加以驗證（n為正整數(shù)）14已知a=12+3,求a-15設(shè)39-432的整數(shù)部分為a小數(shù)部分為b求11a+b+16化簡2x17已知方程｜x+3｜+｜x-2｜=a無實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍。提高測試（一）判斷題（每題2分，共10分）1．過線段外一點畫線段的中垂線……………………（）【提示】線段外一點不一定在線段的中垂線上，所以過線段外一點畫線段的垂線，不一定平分這條線段如圖PQ⊥AB，垂足為O．但PQ不平分AB．【答案】×．2．如果兩個角互為補角，那么它們的角平分線一定互相垂直……（）【提示】兩個角互為補角時，這兩個角可以是鄰補角，也可以不是鄰補角．當(dāng)兩角互補但不是鄰補角時，則它們的角平分線不互相垂直．如圖：∠AOB與∠AOC互補，OM平分∠AOC、ON平分∠AOB．顯然OM與ON不垂直．【答案】×．3．兩條直線不平行，同旁內(nèi)角不互補………………（）【提示】如圖，AB與CD不平行，EF與AB交于點G．與CD交于點H．過點G作PQ∥CD．∴∠QGF＋∠GHD＝180°．∵∠BGF＜∠QGF，∴∠BGF＋∠GHD＜180°；又∠PGH＋∠GHC＝180°，∵∠AGH＞∠PGH，∴∠AGH＋∠GHC＞180°．即兩直線不平行，同旁內(nèi)角不互補．【答案】√．4．錯誤地判斷一件事情的語句不叫命題……………（）【提示】判斷一件事情的語句叫做命題．錯誤地判斷得到的是假命題．假命題也是命題．【答案】×．5．如圖，AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G…………（）【提示】過點E、F、G分別畫EP∥AB，PQ∥AB，GM∥AB．則AB∥EP∥FQ∥GM∥CD．∴∠B＝∠1，∠3＝∠2，∠4＝∠5，∠D＝∠6．∴∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6．即∠B＋∠EFG＋∠D＝∠BEF＋∠FG（D）【答案】√．（二）填空題（每小題2分，共18分）6．如圖，當(dāng)∠1＝∠時，AB∥DC；當(dāng)∠D＋∠＝180°時，AB∥DC；當(dāng)∠B＝∠時，AB∥CD．【提示】把題中的“AB∥CD”視作條件去找∠1的內(nèi)錯角、∠D的同旁內(nèi)角和∠B的同位角．即得要填的角．【答案】4，DAB，5．7．如圖，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°．則∠CDF＝．【提示】由AB∥CD，得∠DCF＝∠B＝60°，由AD∥BC得∠ADC＝∠DCF＝60°，∴∠ADE＋∠ADC＝50°＋60°＝110°，∴∠CDF＝180°－110°＝70°．【答案】70°．8．如圖，O是△ABC內(nèi)一點，OD∥AB，OE∥BC，OF∥AC，∠B＝45°，∠C＝75°，則∠DOE＝，∠EOF＝，∠FOD＝．【提示】由OD∥AB，∠B＝45°，得∠ODC＝∠B＝45°．由OE∥DC，∠DOE＋∠ODC＝180°，∴∠DOE＝180°－45°＝135°．同理可求∠EOF＝105°．由周角的定義可求∠FOD＝120°．【答案】135°，105°，120°．9．兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的3倍少20°．則這兩個角的度數(shù)分別是．【提示】如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．設(shè)一個角為x度．則另一個角為（3x－20）度．依據(jù)上面的性質(zhì)得，3x－20＝x，或3x－20＋x＝180°．∴x＝10，或x＝50．當(dāng)x＝50時，3x－20＝3×50－20＝130．【答案】10°、10°或50°、130°．【點評】通過列方程（或方程組）解題是幾何計算常用的方法．10．如圖，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D＝192°，∠B－∠D＝24°，則∠GEF＝．【提示】由AB∥EF∥CD，可知∠BED＝∠B＋∠D．已知∠B＋∠BED＋∠D＝192°．∴2∠B＋2∠D＝192°，∠B＋∠D＝96°．又∠B－∠D＝24°．于是可得關(guān)于∠B、∠D的方程組解得∠B＝60°．由AB∥EF知∠BEF＝∠B＝60°．因為EG平分∠BEF，所以∠GEF＝∠BEF＝30°．【答案】30°．11．如圖，AD∥BC，點O在AD上，BO、CO分別平分∠ABC、∠DCB，若∠A＋∠D＝m°．則∠BOC＝______．【提示】由AD∥BC，BO平分∠ABC，可知∠AOB＝∠CBO＝∠ABC．同理∠DOC＝∠BCO＝∠DCB．∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∠D＋∠DCB＝180°，∴∠A＋∠D＋∠ABC＋∠DCB＝360°．∵∠A＋∠D＝m°，∴∠ABC＋∠DCB＝360°－m°．∴∠AOB＋∠DOC＝（∠ABC＋∠DCB）＝（360°－m°）＝180°－m°．∴∠BOC＝180°－（∠AOB＋∠DOC）＝180°－（180°－m°）＝m°．【答案】m°．12．有一條直的等寬紙帶，按圖（1）折疊時，紙帶重疊部分中的∠＝度．圖（1）【提示】裁一張等寬紙帶按圖示折疊，體會一下題目的含義．將等寬紙帶展平，便得圖（2）．由此圖可知∠DAC＝30°．AB是∠C′AC的平分線．∴∠＝75°．圖（2）【答案】75°．【點評】解類似具有操作性的實際問題時，不妨動手做一做，從中感受一下題目的意義，進而將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．用數(shù)學(xué)知識解決實際問題．這樣做不僅能培養(yǎng)我們抽象思維和空間想象能力，而且能提高我們解決實際問題的能力．13．把命題“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線互相平行”寫成“如果…那么…”的形式是：如果______________，那么_____________．【答案】在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，這兩條直線互相平行．14．如圖，在長方體中，與面BCC′B′平行的面是面；與面BCC′B′垂直的面是，與棱A′A平行的面有，與棱A′A垂直的面有．【答案】面ADD′A；面ABB′A′，面ABCD，面A′B′C′D′，面DCC′D′；面DCC′D′，面BCC′B′；面ABCD，面A′B′C′D′．（三）選擇題（每小題3分，共21分）15．如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE⊥CD．垂足為O，則圖中∠AOE和∠DOB的關(guān)系是……………………（）（A）同位角（B）對頂角（C）互為補角（D）互為余角【提示】由OE⊥CD，知：∠AOE與∠AOC互余．∠AOC與∠BOD是對頂角．所以∠AOE與∠DOB互為余角．【答案】D．16．如圖，CD⊥AB，垂足為D，AC⊥BC，垂足為C．圖中線段的長能表示點到直線（或線段）距離的線段有…………（）（A）1條（B）3條（C）5條（D）7條【提示】CD的長表示點C到AB的距離；AC的長表示點A到BC的距離；BC的長表示點B到AC的距離；AD的長表示點A到CD的距離，BD的長表示點B到CD的距離．共5條．【答案】C．17．若AO⊥BO，垂足為O，∠AOC︰∠AOB＝2︰9，則∠BOC的度數(shù)等于……（）（A）20°（B）70°（C）110°（D）70°或110°【提示】OC可在∠AOB內(nèi)部，也可在∠AOB外部，如圖可示，故有兩解．設(shè)∠AOC＝2x°，則∠AOB＝9x°．∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°．∵9x＝90°，x＝10°，∠AOC＝2x＝20°．（1）∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝90°－20°＝70°；（2）∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋20°＝110°．【答案】D．18．下列命題中，真命題是……………（）（A）同位角相等工（B）同旁內(nèi)角相等，兩直線平行（C）同旁內(nèi)角互補（D）同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩直線平行【提示】兩直線不平行，則同位角不相等，同旁內(nèi)角不互補，所以A、C錯誤，B也不一定成立．如圖所示直線a、b被直線c所截．∠1＝∠2，∠3＝∠4．顯然a與b不平行．【答案】D．19．直線AB∥CD，且與EF、GH相交成如圖可示的圖形，則共得同旁內(nèi)角…（）（A）4對（B）8對（C）12對（D）16對【提示】該圖可分離出四個基本圖形，如圖所示．第三條直線截兩平行線，此時圖形呈“”型，有同旁內(nèi)角兩對；第三條直線截兩相交線，此時圖形呈“”型，有同旁內(nèi)角六對．故圖中共有同旁內(nèi)角2×2＋6×2＝16（對）．【答案】D．20．如圖，AD∥EF∥BC，且EG∥AC．那么圖中與∠1相等的角（不包括∠1）的個數(shù)是………………（）（A）2（B）4（C）5（D）6【提示】由AD∥EF∥BC，且EG∥AC可得：∠1＝∠DAH＝∠FHC＝∠HCG＝∠EGB＝∠GEH除∠1共5個．【答案】C．21．某人從A點出發(fā)向北偏東60°方向速到B點，再從B點出發(fā)向南偏西15°方向速到C點，則∠ABC等于……………（）（A）75°（B）105°（C）45°（D）135°【提示】按要求畫出圖形再計算∵NA∥BS，∴∠NAB＝∠SBA＝60°．∵∠SBC＝15°，∴∠ABC＝∠SBA－∠SBC＝60°－15°＝45°．【答案】C．（四）解答題（本題5分）22．根據(jù)命題“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”，畫出圖形，并結(jié)合圖形寫出已知、求證（不證明）.【答案】已知：OC平分∠AOB，P是OC上任意一點．PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分別是D、E．求證：PE＝PD．五、計算題（第23、24題，每題5分．第25、26題每題6分，共22分）23．如圖，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度數(shù)．【提示】由AB∥CD，∠ABC＝50°可得∠BCD＝50°．由PN∥CD，∠CPN＝150°，可得∠PCD＝30°．∴∠BCP＝∠BCD－∠PCD＝50°－30°＝20°．【答案】20°．24．如圖，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度數(shù)．【提示】由AC∥PD，∠CAB＝100°，可得∠APD＝80°．同理可求∠BPE＝70°．∴∠DPE＝180°－∠APD－∠BPE＝180°－80°－70°＝30°．【答案】30°．25．如圖，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．求∠PAG的度數(shù)．【提示】由DB∥FG∥EC，可得∠BAC＝∠BAG＋∠CAG＝∠DBA＋∠ACE＝60°＋36°＝96°．由AP平分∠BAC得∠CAP＝∠BAC＝×96°＝48°．由FG∥EC得∠GAC＝ACE＝36°．∴∠PAG＝48°－36°＝12°．【答案】12°．26．如圖，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度數(shù)．【提示】過點E作EG∥AB．∵AB∥CD由平行公理推論可得EG∥CD．由此可求得∠AEC的度數(shù)．由平角定義可求得∠3的度數(shù)．【答案】75°．（五）證明題（每題6分，共24分）27．已知：如圖．AB∥CD，∠B＝∠C．求證：∠E＝∠F．【提示】證明AC∥BD．【答案】證明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠CDF（兩直線平行，同位角相等）．∵∠B＝∠C（已知），∴∠CDF＝∠C（等量代換）．∴AC∥BD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．28．已知：如圖，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求證：EF平分∠BED．【提示】由AC∥DE．DC∥EF證∠1＝∠3．由DC∥EF證∠2＝∠4．再由CD平分∠BCA，即可證得∠3＝∠4．【答案】證明：∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．同理∠5＝∠3．∴∠1＝∠3（等量代換）．∵DC∥EF（已知），∴∠2＝∠4（兩直線平行，同位角相等）．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2（角平分線定義），∴∠3＝∠4（等量代換），∴EF平分∠BED（角平分線定義）．29．已知：如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求證：BE⊥DE．【提示】過點E作EF∥AB，證明∠BED＝90°．【答案】證明：過點E作E