一元二次方程(講義)

是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當(dāng)時(shí)，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時(shí)遇到字母系數(shù)的方程可能出現(xiàn)以下情況：（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程（），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。（2）條件是用“關(guān)于的一元二次方程”這樣的語(yǔ)句表述的，那么它就隱含了二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件。如“關(guān)于的一元二次方程”，這時(shí)題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。（3）方程中含有字母系數(shù)的項(xiàng)，且出現(xiàn)“關(guān)于的方程”這樣的語(yǔ)句，就要對(duì)方程中的字母系數(shù)進(jìn)行討論。如：“關(guān)于的方程”，這就有兩種可能，當(dāng)時(shí)，它是一元一次方程；當(dāng)時(shí)，它是一元二次方程，解題時(shí)就會(huì)有不同的結(jié)果。ax2+bx+c=0

(a≠0)

1）．提問(wèn)a＝0時(shí)方程還是一無(wú)二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．講解方程中ax2、bx、c各項(xiàng)的名稱(chēng)及a、b的系數(shù)名稱(chēng)．

3）．強(qiáng)調(diào)：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項(xiàng)、其中一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)可以不出現(xiàn)、但二次項(xiàng)必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。1．說(shuō)出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：

（1）x2十3x十2＝O

（2）x2—3x十4＝0；

(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；

(5)3x2—5＝0；

(6)6x2—x=0。2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：

(1)6x2＝3-7x；

(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、關(guān)于一元二次方程概念的題目（一）選擇題1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空題已知關(guān)于的方程當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程。（三）解答題已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求n的取值范圍?！緟⒖即鸢浮浚ㄒ唬?．A2．D（二），（三）的取值范圍是.二、關(guān)于一元二次方程一般形式的題目（一）選擇題1．方程化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為（）（A）3，－4，－2（B）3,2，－4（C）3，－2，－4（D）2，－2，02．一元二次方程化為一般形式（）后，的值分別為（）（A）6,4，3（B）6，－4,－3（C）5,4，－3（D）5,－4，33．一元二次方程化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為－1，則的值為（）（A）－1（B）1（C）－2（D）2（二）填空題1．的二次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)為，的值為。2．方程化為一般式為，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的和為。3．一元二次方程，有兩個(gè)解為1和－1，則有，且有（三）解答題1．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)。（1）（2）（3）（4）（5）2．下列關(guān)于的方程是否為一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請(qǐng)分別指出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。（1）（2）（3）（4）【參考答案】一、1．B2．C3．B二、1．，0,12．；－83．0,0三、1．（1）；，，（2）；，，（3）；，，（4）；，0，（5）；，，2．（1）∵∴是一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)－4，常數(shù)項(xiàng)（2）是一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)5，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)0。（3）當(dāng)時(shí)，是一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程。（4）∵∴是一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是典型例題例1

指出下列方程中哪些是一元二次方程（1）（2）（3）

（4）（5）（6）解：（1）整理得：移項(xiàng)，合并得：∴是一元二次方程（2）移項(xiàng)得：∴是一元二次方程（3）∵方程的分母中含有未知數(shù)∴它不是一元二次方程（4）∵方程中含有兩個(gè)未知數(shù)∴它不是一元二次方程（5）∵∴它是一元二次方程（6）整理得：移次，合并得：∵二次項(xiàng)系數(shù)合并后為0∴它不是一元二次方程點(diǎn)撥：對(duì)方程要先進(jìn)行整理，然后再根據(jù)條件：①整式方程②只含有一個(gè)未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)為2只有當(dāng)這三個(gè)條件缺一不可時(shí)，才能判斷為一元二次方程。例2把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再指出其二次項(xiàng)，一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)。（1）（2）（3）（4）（）（5）解：（1）整理，得二次項(xiàng)：，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)0（2）整理，得：二次項(xiàng)：，一次項(xiàng)：，常數(shù)項(xiàng)：（3）整理，得：

（4）整理得：二次項(xiàng)：，一次項(xiàng)：0，常數(shù)項(xiàng)：（5）整理得：二次項(xiàng)：，一次項(xiàng)：，常數(shù)項(xiàng)：點(diǎn)撥：在移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，需格外小心。要認(rèn)真區(qū)別題目要求是指出方程的各項(xiàng)還是各項(xiàng)的系數(shù)。特別要小心當(dāng)某項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指出各項(xiàng)時(shí)千萬(wàn)不要丟負(fù)號(hào)。例3

把下列關(guān)于的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。（1）（）（2）（）（3）（4）解：（1）（）二次項(xiàng)系數(shù)：，一次項(xiàng)系數(shù)：，常和項(xiàng)：（2）（）二次項(xiàng)系數(shù)：，一次項(xiàng)系數(shù)：0常數(shù)項(xiàng)：（3）二次項(xiàng)系數(shù)：2，一次項(xiàng)系數(shù)：常數(shù)項(xiàng)：（4）

二次項(xiàng)系數(shù)：，一次項(xiàng)系數(shù)：，常數(shù)項(xiàng)：1點(diǎn)撥：對(duì)于字母系數(shù)的方程的整理，應(yīng)先明確其未知數(shù)，再確定各項(xiàng)的系數(shù)，特別要注意，一定要討論所除的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，因?yàn)橐辉畏匠讨挥性谶@個(gè)條件下才是有意義的。1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析（1）熟練掌握開(kāi)平方法解一元二次方程用開(kāi)平方法解一元二次方程，一種是直接開(kāi)平方法，另一種是配方法。如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接開(kāi)平方法求解，在開(kāi)平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為的形式來(lái)求解。配方時(shí)要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn)：1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒(méi)有公因數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。2）把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)、、代入公式時(shí)，注意它們的符號(hào)。3）當(dāng)時(shí)，才能求出方程的兩根。（3）抓住方程特點(diǎn)，選用因式分解法解一元二次方程如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式分解法求解。這時(shí)只要使每個(gè)一次因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。一元二次方程的方法：直接開(kāi)平方法；配方法；公式法和因式分解法,十字交叉法，韋達(dá)定理。解方程時(shí)，要認(rèn)真觀察方程的特征，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.對(duì)于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了它們的解法。特別是結(jié)合換元法，我們還會(huì)解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4

(讓學(xué)生說(shuō)出過(guò)程)。解：方程兩邊開(kāi)方，得

x-3=±2，移項(xiàng)，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.

(并代回原方程檢驗(yàn)，是不是根)4.其實(shí)(x-3)2=4是一個(gè)完全的一元二次方程，我們把原方程展開(kāi)、整理為一元二次方程。(把這個(gè)展開(kāi)過(guò)程寫(xiě)在黑板上)(x-3)2=4,

①x2-6x+9=4,

②x2-6x+5=0.

③二新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個(gè)未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m)2。2.通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問(wèn)：在x2+2x上添加一個(gè)什么數(shù)，能成為一個(gè)完全平方(x+?)2。

(添一項(xiàng)+1)

即

(x2+2x+1)=(x+1)2.練習(xí)，填空：x2+4x+()=(x+

)2;

y2+6y+(

)=(y+

)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方?？偨Y(jié)規(guī)律：對(duì)于x2+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就能配出一個(gè)含未知數(shù)的一個(gè)次式的完全平方式。即.+()④

(讓學(xué)生對(duì)④式的右邊展開(kāi)，體會(huì)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍，恰是左邊的一次項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)的平方，恰是配方時(shí)所添的常數(shù)項(xiàng))

項(xiàng)固練習(xí)(填空配方)

總之，左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

問(wèn)：如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號(hào)里第二項(xiàng)的正負(fù)號(hào)怎么取?算理是什么?

鞏固練習(xí)(填空配方)

x2-bx+(

)=(x-

)2;

x2-(m+n)x+(

)=(x-

)2.

擴(kuò)展資料配方法在解題中的應(yīng)用

河北省正定中學(xué)趙建勛配方是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要方法，在解題中有廣泛的應(yīng)用．本文通過(guò)例題談?wù)勊囊恍?yīng)用．一、應(yīng)用于因式分解例1分解因式x4＋4．解配方，得原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）．例2分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2．解原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）＝（a-2b）2-（b＋c）2＝（a-b＋c）（a-3b-c）．二、應(yīng)用于解方程例3解方程3x2＋4y2-12x-8y＋16=0．解分別對(duì)x、y配方，得3（x2-4x＋4）＋4（y2-2y＋1）=0，3（x-2）2＋4（y-1）2＝0．由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得

例4解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正實(shí)數(shù)）．解原方程變形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）2＋2（4x-yz）2＋4（2y-xz）2＋8（z-xy）2=0由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得運(yùn)用配方法可為應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造條件，解題中應(yīng)注意掌握．三、應(yīng)用于求二次函數(shù)的最值例5已知x是實(shí)數(shù)，求y＝x2-4x+5的最小值解由配方，得y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1∵x是實(shí)數(shù)，∴（x-2）2≥0，當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，y最小，y最小=1．例6已知二次函數(shù)y=x2-6x＋c的圖象的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，求c的值．解因?yàn)閥＝x2-6x＋c＝x2-6x＋9-9＋c=（x-3）2＋c-9，所以這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，c-9），它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是四、應(yīng)用于求代數(shù)式的值本題聯(lián)合應(yīng)用了倒數(shù)法和配方法使問(wèn)題得解．倒數(shù)法是一種解題技巧，解題時(shí)注意應(yīng)用．解由已知條件，分別對(duì)a、b配方，得（a2-4a＋4）＋（b2-2b＋1）＝0，（a-2）2＋（b-1）2＝0．由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得a-2＝0，b-1＝0．∴a＝2，b＝1．五、判定幾何圖形的形狀例9已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿(mǎn)足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．證明由已知等式兩邊乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆項(xiàng)、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．由實(shí)數(shù)的性質(zhì)，得a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等邊三角形．習(xí)題精選用開(kāi)平方法解一元二次方程一、選擇題1．方程的解為（

）A．

B．

C．

D．2．方程的解為（

）A．

B．C．

D．3．方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．無(wú)數(shù)個(gè)4．方程的根是（

）A．

B．C．

D．5．對(duì)于形如的方程，它的解的正確表達(dá)式為（

）A．都可以用直接開(kāi)平方法求解，且B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，二、填空題6．若，則的值是

。7．若方程有解，則的取值范圍是

。8．方程的解為

。答案：1．B

2．D

3．C

由，得

4．D

∵，∴，

5．C

當(dāng)時(shí)，，∴6．

7．

8．用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程（1）

（2）（3）

（4）2．用配方法將下列各式化成的形式（1）

（2）（3）

（4）答案：1．（1）；

（2）；（3）；

（4）。2．（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式用公式法解一元二次方程一、選擇題1．用公式法解方程，得到（

）A．

B．C．

D．2．方程化簡(jiǎn)整理后，寫(xiě)成的形式，其中分別是（

）A．

B．C．

D．二、解答題3．用公式法解下列方程（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；（7）。答案：1．B

2．C

3．（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；

（7）。用因式分解法解一元二次方程一、填空題1．方程的根是

。2．（鹽城市，1998）方程的解是

。3．方程的解是

。二、解答題4．用因式分解法解方程（1）；

（2）；（3）；

（4）。5．用因式分解法解下列方程（1）；

（2）；（3）；（4）。答案：1．

2．

3．4．（1）；

（2）；（3）；

（4）.5．（1）；

（2）；（3）；

（4）.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程1.2.3.4.5.6.答案1.（用直接開(kāi)平方法）2.（因式分解法）3.4.5.6.（提示：）解含有字母系數(shù)的一元二次方程解關(guān)于的方程.答案:當(dāng)=0時(shí),=;當(dāng)且0時(shí),,;當(dāng)>時(shí),方程無(wú)實(shí)根.典型例題１－５例1用直接開(kāi)平方法解下列方程分析用直接開(kāi)平方法解方程,要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式,右邊是非負(fù)常數(shù)的形式,再根據(jù)平方根的定義求解.解：移項(xiàng)得：將方程各項(xiàng)都除以4得：∵是64的平方根∴∴例2用直接開(kāi)平方法解下列方程。解：

∴，點(diǎn)撥：對(duì)于無(wú)理數(shù)系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)。例3用配方法解方程解：移項(xiàng)得：配方得：

解這個(gè)方程

∴，點(diǎn)撥:配方法是解一元二次方程的重要方法,是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵.熟練掌握完全平方式是用配方法解題的基礎(chǔ).對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1的方程,在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可完成配方.例4用配方法解方程：

分析因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)不為1,所以要先將方程各項(xiàng)同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)后,再配方.解：方程兩邊同除以3得方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

∴∴∴點(diǎn)撥:“方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方”這一步,是配方法的關(guān)鍵,“將二次項(xiàng)系數(shù)化為1”是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提.例1用公式法解方程解：移項(xiàng)得：∵∴∴∴，例5用公式法解方程移項(xiàng)得：∵∴∴∴點(diǎn)撥：用公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）確定出，，的值；（3）求出的值（或代數(shù)式）；（4）若，則可用求根公式求出方程的解，這樣可以減少許多不必要的計(jì)算.另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用,其中也包括不完全的一元二次方程.典型例題６－１０例6用因式分解法解下列方程。解:移項(xiàng)得：把方程左邊因式分解得：∴或∴點(diǎn)撥:在用因式分解法解一元二次方程時(shí)，一定要注意，把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個(gè)一次因式的乘積，而右邊為零時(shí)，則可令每一個(gè)一次因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程，解出這兩個(gè)一元一次方程的解就是原方程的兩個(gè)解了。例7用因式分解法解下列方程解：把方程左邊因式分解為：∴或∴

點(diǎn)撥:對(duì)于無(wú)理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形式，均可用因式分解法求出方程的解。例8解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（