2024屆新教材一輪復(fù)習(xí)北師大版 　等差數(shù)列 課件（45張）

必備知識(shí)預(yù)案自診【知識(shí)梳理】

1.等差數(shù)列的概念一般地,如果數(shù)列{an}從第

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于

,即

恒成立,則稱(chēng){an}為等差數(shù)列,其中d稱(chēng)為等差數(shù)列的

.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則其通項(xiàng)公式為an=

.該式可推廣為an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

2同一個(gè)常數(shù)dan+1-an=d

公差

a1+(n-1)d3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系an=a1+(n-1)d可化為an=nd+a1-d的形式.如果記f(x)=dx+a1-d,則an=f(n),而且(1)當(dāng)公差d=0時(shí),f(x)是常數(shù)函數(shù),此時(shí)數(shù)列{an}是常數(shù)列(因此,公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列);(2)當(dāng)公差d≠0時(shí),f(x)是一次函數(shù),而且f(x)的增減性依賴(lài)于公差d的符號(hào),因此,當(dāng)d>0時(shí),{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是遞減數(shù)列.這也說(shuō)明,當(dāng)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來(lái)表示等差數(shù)列時(shí),所有的點(diǎn)一定在一條直線(xiàn)上.4.等差中項(xiàng)如果x,A,y是等差數(shù)列,那么稱(chēng)A為x與y的

,且A=

.

在一個(gè)等差數(shù)列中,中間的每一項(xiàng)(既不是首項(xiàng)也不是末項(xiàng)的項(xiàng))都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).5.等差數(shù)列的性質(zhì)一般地,如果{an}是等差數(shù)列,而且正整數(shù)s,t,p,q滿(mǎn)足s+t=p+q,則as+at=

.

①特別地,當(dāng)p+q=2s時(shí),ap+aq=2as.②對(duì)有窮等差數(shù)列,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的

,即等差中項(xiàng)

ap+aq

和

6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn=

Sn=

7.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,則{an}中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn,

,S3n-S2n,

,…構(gòu)成等差數(shù)列.

(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=

(A,B為常數(shù)).

S2n-SnS4n-S3n

An2+Bn常用結(jié)論【考點(diǎn)自診】

1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為關(guān)于n的一次函數(shù).(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈

N*

,都有2an+1=an+an+2.(

)(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(6)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(

)×√×√√×2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.34答案

B

3.(多選)(2021山東威海高三一模)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,若a1>0,S10=S20,則(

)A.d<0 B.a16<0C.Sn≤S15 D.當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時(shí),Sn<0答案

ABC

解析因?yàn)镾10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因?yàn)閍1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正確;S31==31a16<0,故D錯(cuò)誤.故選ABC.4.(2019全國(guó)3,理14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1≠0,a2=3a1,則

=

.

答案

4

5.(2019北京,理10)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=

,Sn的最小值為

.

答案

0

-10

解析

在等差數(shù)列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)得當(dāng)n≤5時(shí),an≤0,當(dāng)n≥6時(shí),an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為-10.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)1等差數(shù)列中基本量的求解【例1】

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6(2)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)(2020全國(guó)2,文14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

答案

(1)C

(2)B

(3)25

解析(1)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法2)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴等差數(shù)列的公差為d=am+1-am=3-2=1.(方法3)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn,(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.∴S10=10a1+d=-20+45=25.解題心得1.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程組解決問(wèn)題的思想.3.減少運(yùn)算量的設(shè)元的技巧,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a-d,a,a+d;若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=(

)A.9 B.10 C.11 D.15(2)(2019江蘇,8)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是

.

答案

(1)B

(2)16

(2)∵{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明(1)證明

當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,變式發(fā)散(1)本例條件不變,判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由.(2)將本例條件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=”變?yōu)椤癝n(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,問(wèn)題不變,試求解.(2)①證明

當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017全國(guó)1,文17)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 (多考向探究)考向1

等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】

(1)在等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)的和S9等于(

)A.66 B.99 C.144 D.297答案

(1)B

(2)BC

解析(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,(2)由題意可得,因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d,則a2n=a1+(2n-1)d,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020貴州貴陽(yáng)普通中學(xué)期末檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=8,則(a3+a7)2-a5=(

)A.60 B.56 C.12 D.4答案

A

解析∵在等差數(shù)列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故選A.考向2

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)答案

(1)C

(2)A