【高中數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較課件（26張）

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)求函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率.2.能利用函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)的增長(zhǎng)速度.3.能夠比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度的差異,理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

平均變化率1.平均變化率(1)

實(shí)質(zhì)上是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.

(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時(shí))或[x2,x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為

.

(3)平均變化率也可理解為:自變量每增加

個(gè)單位,函數(shù)值平均將增加

個(gè)單位,因此,可用平均變化率來比較函數(shù)值變化的

.

平均變化率

1快慢

2.平均變化率的求解步驟(1)確定區(qū)間[x1,x2](x2>x1);(2)求出Δx=x2-x1;(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);(4)求出平均變化率過關(guān)自診1.函數(shù)f(x)=x2+1,當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí),函數(shù)f(x)的平均變化率為(

)A.2.1 B.1.1

C.2

D.12.函數(shù)f(x)=kx+b在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為

.

Ak知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)速度的比較1.幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增長(zhǎng)速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長(zhǎng)速度急劇,形象地稱為“爆炸式增長(zhǎng)”.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長(zhǎng)速度平緩.(4)冪函數(shù)模型當(dāng)x>0,α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα是增函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),α越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)速度就越快.2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異一般地,在區(qū)間(0,+∞)上,盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xα(α>0)都是增函數(shù),但它們的增長(zhǎng)速度不同,而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的無限增大,y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xα(α>0)的增長(zhǎng)速度,而y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢.因此,在區(qū)間(0,+∞)上,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就有l(wèi)ogax<xα<ax(a>1,α>0).名師點(diǎn)睛指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增,且a越大,增長(zhǎng)越快單調(diào)遞增,且a越小,增長(zhǎng)越快單調(diào)遞增,且α越大增長(zhǎng)越快增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢隨α值的不同而不同圖象的變化隨x的增大越來越陡隨x的增大逐漸變緩隨著α值的不同而不同過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若f(x)=2x+1,自變量每增加1個(gè)單位,函數(shù)值將增加1個(gè)單位.(

)(2)增長(zhǎng)速度是不為0的常數(shù)的函數(shù)模型是線性增長(zhǎng)模型.(

)(3)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的增長(zhǎng)速度一定比線性增長(zhǎng)速度大.(

)×√×2.某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求,對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速,后來增長(zhǎng)越來越慢,若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后的利潤(rùn)y與產(chǎn)量x的關(guān)系,則可選用(

)

A.一次函數(shù)模型

B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型

D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一函數(shù)平均變化率的求解【例1】

[2023遼寧沈陽高一]函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,e]上的平均變化率為

.

變式訓(xùn)練1函數(shù)f(x)=-2x2+5在區(qū)間[2,2+Δx]內(nèi)的平均變化率為

.

-8-2Δx解析

Δf=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以

=-8-2Δx,即平均變化率為-8-2Δx.探究點(diǎn)二平均變化率的大小比較【例2】

(1)如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi),路程的變化情況,下列說法正確的是

.

①在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度;②在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速度小于乙的平均速度;③在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度;④在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度小于乙的平均速度.③

(2)已知函數(shù)f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比較這三個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,a+1](a>1)上的平均變化率的大小.規(guī)律方法

比較函數(shù)平均變化率的方法

變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=4x,g(x)=5x,分別計(jì)算這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的平均變化率,并比較它們的大小.探究點(diǎn)三比較函數(shù)的增長(zhǎng)情況【例3】

(1)[人教A版教材習(xí)題]函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)可能是(

)A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)C.y=lnxD.y=x-1,x∈(0,+∞)C解析

由圖象過點(diǎn)(1,0)知B不正確,由f(3)>1知A不正確,由圖象為曲線知D不正確,所以應(yīng)選C.(2)三個(gè)變量y1,y2,y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:x0510152025y15130505113020053130y2594.4781785.2337336.37×1051.2×107y35305580105130則最可能是關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的一個(gè)變量為

.

y2解析

從表格中可以看出,三個(gè)變量y1,y2,y3的值隨著x的增加都是越來越大,但是增長(zhǎng)速度不同,相比之下,變量y2的增長(zhǎng)速度最快,畫出它們的圖象,可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.規(guī)律方法

判斷三種函數(shù)模型的方法(1)根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行判斷三種遞增函數(shù)中,隨著自變量的增大,指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度先慢后快;對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度先快后慢;隨著x的無限增大,冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度會(huì)介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度之間.(2)根據(jù)圖象進(jìn)行判斷根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí),通常觀察函數(shù)圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象最“陡”的是指數(shù)函數(shù)的圖象,圖象趨于平緩的是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象,介于兩者之間的是冪函數(shù)的圖象.變式訓(xùn)練3函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的大致圖象如圖所示,設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)指出曲線C1,C2分別表示哪一個(gè)函數(shù);(2)結(jié)合函數(shù)的圖象,比較f(8),g(8),f(2020),g(2020)的大小.解

(1)曲線C1對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3,曲線C2對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)因?yàn)閒(1)=21=2,g(1)=13=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以1<x1<2.因?yàn)閒(9)=29=5