2023學年完整公開課版《幾何概型2》

幾何概型知識回顧知識回顧1.幾何概型的特點知識回顧1.幾何概型的特點

(1)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

(2)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個。2.幾何概型與古典概型的異同2.幾何概型與古典概型的異同

同：古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，

異：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限個。3.幾何概型的概率計算公式3.幾何概型的概率計算公式

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率3.幾何概型的概率計算公式

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率4.求幾何概型概率的基本步驟4.求幾何概型概率的基本步驟(1)尋求區(qū)域D并求其“測度”；(2)尋求區(qū)域d并求其“測度”；(3)代入計算公式.5.幾何概型的四種類型5.幾何概型的四種類型(1)與長度有關(guān)的幾何概型(2)與面積有關(guān)的幾何概型(3)與體積有關(guān)的幾何概型(4)與角度有關(guān)的幾何概型 1.兩根相距6米的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于1米的概率為_______. 2.在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點P，則△PBC的面積小于S/2的概率是_______.熱身訓練 1.兩根相距6米的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于1米的概率為_______. 2.在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點P，則△PBC的面積小于S/2的概率是_______.熱身訓練 1.兩根相距6米的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于1米的概率為_______. 2.在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點P，則△PBC的面積小于S/2的概率是_______.熱身訓練 3.在直角坐標系中，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在銳角∠XOT內(nèi)的概率為_______. 3.在直角坐標系中，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在銳角∠XOT內(nèi)的概率為_______. 4.如右下圖，假設(shè)你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆，分別計算它落到陰影部分的概率.

圖(1)中三角形為圓內(nèi)接等腰直角三角形 圖(2)中圓面8等分①②①②

解析：記“落到陰影部分”為事件A,在如圖所示的陰影部分區(qū)域內(nèi)事件A發(fā)生,所以

例1.在等腰Rt?ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)作一條射線CM與線段AB交于點M，求AM<AC的概率。

CAMEB錯解

正解：射線CM在∠ACB內(nèi)是均勻分布的，故∠ACB=90o可看成試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，在線段AB上取一點E，使AE=AC,則∠ACE=67.5o可看成時間構(gòu)成的區(qū)域d，所以滿足條件的概率為

[變式]

在等腰直角三角形ABC斜邊AB上隨機取一點D，求AD＜AC的概率。ACB

練習.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM小于30°的概率()

練習.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM小于30°的概率()

變式：將“在直角邊BC上任取一點M”改為“在∠CAB內(nèi)作射線AM交BC于M”()

練習.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM小于30°的概率()

變式：將“在直角邊BC上任取一點M”改為“在∠CAB內(nèi)作射線AM交BC于M”()

練習.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM小于30°的概率()

注意：角度不同時概率不一樣

變式：將“在直角邊BC上任取一點M”改為“在∠CAB內(nèi)作射線AM交BC于M”()

練習.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM小于30°的概率()

小結(jié)：解幾何概型問題關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍

(1)當考察對象為點，點的活動范圍在線段上，用線段長度比計算；

(2)當考察對象為點，點的活動范圍在平面區(qū)域內(nèi)時，用面積比計算；

(3)當考察對象為點，點的活動范圍在空間區(qū)域內(nèi)時，用體積比計算；

(4)當考察對象為線時，一般用角度比計算。

例2：假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30~7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00~8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少？

練習.甲、乙二人約定在12點到17點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。.M(X,Y)54321012345yx

練習.甲、乙二人約定在12點到17點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。

解：以12點為坐標原點，小時為單位。x，y分別表示兩人到達的時間，(x，y)構(gòu)成邊長為5的正方形，顯然這是一個幾何概率問題。.M(X,Y)54321012345yx二人會面的條件是：二人會面的條件是：二人會面的條件是：012345yx54321y-x=1y-x=-1二人會面的條件是：012345yx54321y-x=1y-x=-1二人會面的條件是：答：兩人會面的概率等于012345yx54321y-x=1y-x=-1隨堂練習 1.在區(qū)間[0,10]中任意取一個數(shù)，則它與4之和大于10的概率是() 2.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L，則L與線段BC相交的概率為() 3.在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則：∠APB＞90°的概率是()∠APB=90°的概率是()隨堂練習 1.在區(qū)間[0,10]中任意取一個數(shù)，則它與4之和大于10的概率是() 2.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L，則L與線段BC相交的概率為() 3.在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則：∠APB＞90°的概率是()∠APB=90°的概率是()隨堂練習 1.在區(qū)間[0,10]中任意取一個數(shù)，則它與4之和大于10的概率是() 2.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L，則L與線段BC相交的概率為() 3.在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則：∠APB＞90°的概率是()∠APB=90°的概率是()隨堂練習 1.在區(qū)間[0,10]中任意取一個數(shù)，則它與4之和大于10的概率是() 2.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L，則L與線段BC相交的概率為() 3.在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則：∠APB＞90°的概率是()∠APB=90°的概率是()隨堂練習 1.在區(qū)間[0,10]中任意取一個數(shù)，則它與4之和大于10的概率是() 2.若過正三角形ABC的頂點A任作一條直線L，則L與線段BC相交的概率為() 3.在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則：∠APB＞90°的概率是()∠APB=90°的概率是()

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP∠APB＝90°？

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP∠APB＝90°？

練習3：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．BCADP∠APB＝90°？

概率為0的事件可能發(fā)生！

思考：在一個圓上任取三點A、B、C,求能構(gòu)成銳角三角形的概率.ABC

思考：在一個圓上任取三點A、B、C,求能構(gòu)成銳角三角形的概率.ABC

解：在一個圓上任取三點A、B、C，構(gòu)成的三角形內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.

思考：在一個圓上任取三點A、B、C,求能構(gòu)成銳角三角形的概率.ABC

解：在一個圓上任取三點A、B、C，構(gòu)成的三角形內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.設(shè)∠A＝x，∠B＝y(tǒng)，則

思考：在一個圓上任取三點A、B、C,求能構(gòu)成銳角三角形的概率.ABC

解：在一個圓上任取三點A、B、C，構(gòu)成的三角形內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.設(shè)∠A＝x，∠B＝y(tǒng)，則構(gòu)成銳角三角形的(x,y)應(yīng)滿足的條件是：SS由幾何概率計算得所求概率為1.幾何概型的特點2.古典概型與幾何概型的區(qū)別.3.幾何概型的概率公式.4.求幾何概型概率的基本步驟5.幾何概型的四種類型回顧小結(jié)

“拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一。參與者只須將手上的“金幣”(設(shè)“金幣”的直徑為r)拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個階磚(邊長為a的正方形)的范圍內(nèi)(不與階磚相連的線重疊)，便可獲獎.

問：參加者獲獎的概率有多大？拓展延伸

設(shè)階磚每邊長度為a,“金幣”直徑為r.aaAS

設(shè)階磚每邊長度為a,“金幣”直徑為r.

若“金幣”成功地落在階磚上，其圓心必位于右圖的綠色區(qū)域A內(nèi).aaAS

設(shè)階磚每邊長度為a,“金幣”直徑為r.

若“金幣”成功地落在階磚上，其圓心必位于右圖的綠色區(qū)域A內(nèi).

問題化為：向平面區(qū)域S(面積為a2)隨機投點