基于矩陣變換的博弈分析

基于矩陣變換的博弈分析

0干擾方的“博弈”雷達源干擾是現(xiàn)代信息戰(zhàn)爭中爭奪電力權(quán)的重要手段之一。目標是抑制、干擾和破壞敵人雷達的報警、目標跟蹤和精確監(jiān)控，并利用自己的軍事行動來掩護其有效防御和正確防御武器攻擊?，F(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境瞬息萬變,雷達的工作體制、跟蹤方式隨時變化,對于干擾方來說雷達如何變化是未知的;同樣對于雷達方來說,干擾方將采取什么樣的干擾方式也是不得而知的。由此可見,現(xiàn)代電子戰(zhàn)中雷達與干擾機的對抗過程是一個“博弈”的動態(tài)過程,雙方都希望選擇合適的策略來實現(xiàn)自己的利益最大化,縮小對方的利益,使其最小化。本文將“矩陣博弈”這一模型引入雷達有源干擾策略選擇當中,研究如何選擇合適的雷達有源干擾樣式,來最大限度地達到干擾效果。1干擾方的策略空間博弈論是指在利益沖突、雙方行動和意圖不完全明了的情況下,采用數(shù)學(xué)方法決策應(yīng)采取的最優(yōu)行動方案。在眾多的博弈模型中,占重要地位的是矩陣博弈。它是由競爭雙方各自的策略集和其中一方的贏得矩陣所構(gòu)成的博弈。雷達有源干擾是干擾方和雷達方的對抗,干擾方和雷達方為兩個局中人,雷達的目的就是發(fā)射信號檢測目標,而干擾機的目的就是發(fā)射干擾信號阻止雷達檢測目標,故對抗雙方的雷達和干擾機就構(gòu)成了博弈中的局中人,記為R和J;雷達搜索目標,采用的雷達樣式就是雷達方的純策略空間,記為SR=(R1,R2,…,Rm);干擾機干擾雷達信號,所采取的干擾方法就是其純策略空間,記為SJ=(J1,J2,…,Jn)。干擾機干擾雷達的目的就是要達到好的干擾效果。同理,雷達抗干擾的目的就是降低干擾效果。二者力求達到的目的相反,因此它們可以用相同的度量標準,只不過對度量標準的評價相反而已。故干擾效果就是雙方的盈利函數(shù),只是干擾方要求干擾效果盡可能好,而雷達方要求干擾效果盡可能差。若用Eij表示當干擾機采用干擾措施Jj、雷達采用雷達樣式Ri時的干擾效果,則雷達有源干擾博弈策略矩陣E為:E=??????E11E21?Em1E12E22?Em2????E1nE2n?Emn??????E=[E11E21?Em1E12E22?Em2????E1nE2n?Emn]如果對抗關(guān)系矩陣E=(Eij)m×n的元素滿足矩陣博弈的最小最大定理和最大最小定理,即:minj(maxiEij)=maxi(minjEij)=E°ij°minj(maxiEij)=maxi(minjEij)=Ei°j°,則矩陣博弈有最優(yōu)純策略解(R°i,J°j)。R°i為雷達方的最優(yōu)純策略,J°j為干擾方的最優(yōu)純策略。干擾方的得益為V=E°ij°。如果對抗關(guān)系矩陣的元素不滿足上式,即:minj(maxiEij)≠maxi(minjEij)minj(maxiEij)≠maxi(minjEij),則矩陣博弈不存在最優(yōu)純策略解,但存在最優(yōu)混合策略解。2雷達干擾策略矩陣的求解2.1干擾方的策略方法設(shè)雷達方以概率xi(i=1,2,…,m)從其策略集SR中選取純策略Ri(i=1,2,…,m)。而構(gòu)成的混合策略為X=(x1x2…xm),其中:xi≥0,i=1,2,…,m,且∑i=1mxi=1∑i=1mxi=1。干擾方以概率yj(j=1,2,…,n)從其策略集SJ中選取純策略Jj(j=1,2,…,n)。其混合策略為Y=(y1y2…yn),其中:yj≥0,j=1,2,…,n,且∑j=1nyj∑j=1nyj=1。對于X,Y,(X,Y)構(gòu)成一個混合局勢,干擾方的贏得函數(shù)為:E(X,Y)=YAXT=∑i=1∑j∑i=1∑jEijxiyj。使上式滿足minY(maxXE(X,Y))=maxX(minYE(X,Y))minY(maxXE(X,Y))=maxX(minYE(X,Y))的混合策略X°、Y°為雷達方、干擾方的最優(yōu)混合策略,干擾方的得益為E(X°,Y°)=Y°A(X°)T。矩陣博弈總是存在最優(yōu)混合策略解,純策略只是混合策略的特例。2.2局中人的策略博弈矩陣對策有很多成熟的解法,如公式法、圖解法、線性方程組法、線性規(guī)劃算法、迭代-Brown算法等。其中,迭代-Brown算法用于求解大型矩陣對策,是最實用、最適于計算機執(zhí)行的算法。其基本思想是:假設(shè)兩個局中人反復(fù)進行博弈多次,在每一局中,各局中人都從自己的策略集中選取一個使對方獲得最不利結(jié)果的純策略,即第k局博弈純策略的選擇欲使對手在前(k-1)局中的累計所得最少。針對雷達有源干擾而言,雷達方和干擾方分別采取如下策略步驟:1)在第一局中,讓雷達方先取任意一個純策略Ri,然后,干擾方隨之采取某一純策略Jj,使采取了Ri的雷達方所得最少。2)在第二局中,雷達方認為干擾方還將采取Jj,故采取某一策略Ri,使干擾方所失最多;然后干擾方又采取某一策略,使雷達方在這兩局中的累計贏得為最少。3)在第三局中,雷達方又采取某一策略使干擾方在前兩局中的累計所失為最多,然后干擾方又采取某一策略,使雷達方在前三局中的累計所得為最少。如此博弈下去,直到迭代的結(jié)果達到一定的滿意程度為止。局中人各純策略在已進行的N局博弈中出現(xiàn)的頻率分布作為最優(yōu)混合策略中概率分布的一個近似。3干擾成功概率作為電子對抗的重要資源,雷達有源干擾裝備在作戰(zhàn)使用上往往要貫穿整個作戰(zhàn)的全過程。對于空中干擾資源,如大型電子戰(zhàn)飛機或電子干擾吊艙,一般在空中多區(qū)域配置,實施遠距離支援干擾,壓制敵遠程預(yù)警及目標指示雷達;或者與其它作戰(zhàn)飛機組成小型編隊,實施隨隊支援干擾或自衛(wèi)干擾;對于岸基干擾資源,一般在沿岸多點配置,實施遠距離支援干擾,在一定縱深距離上壓制敵遠程預(yù)警及目標指示雷達;對于艦載干擾資源,一般隨艦進行自衛(wèi)防御,采用壓制、欺騙及各種組合樣式干擾,破壞雷達對目標正常跟蹤,擺脫精確制導(dǎo)武器的打擊。為了對雷達有源干擾的戰(zhàn)術(shù)效果進行分析,本文以一海戰(zhàn)實例分析。設(shè)艦載雷達有源干擾系統(tǒng)具有欺騙干擾、瞄準式噪聲干擾、阻塞式噪聲干擾和掃頻式噪聲干擾等四種干擾手段,分別用J1、J2、J3、J4表示。而敵方雷達有脈沖多普勒雷達、脈沖壓縮雷達、捷變頻雷達和常規(guī)脈沖雷達等四種體制,分別用R1、R2、R3、R4表示。從雷達有源干擾方的角度考慮,雷達有源干擾的成功概率能夠定量反映干擾方的干擾效果,因此以干擾成功概率作為博弈雙方的盈利函數(shù)。根據(jù)實戰(zhàn)統(tǒng)計和概率計算,可以得到各種干擾手段對不同的體制的雷達和各種反干擾措施對抗時的成功概率。假設(shè)博弈矩陣如表1所示(表中數(shù)據(jù)為虛構(gòu),實際應(yīng)用中應(yīng)由情報或試驗得到)?？梢娺@是一個混合策略,根據(jù)上述迭代法的基本思想,假設(shè)對抗雙方交替采用如下策略步驟:1)首先由雷達方任取一個策略,假設(shè)取第二個策略,則在表2中的1列中記下該列元素(0.90,0.73,0.22,0.19)T。2)干擾方根據(jù)雷達方的行動,選對自己最有利(干擾成功概率最大)的第一個策略。在0.90下畫線,將贏得矩陣的第一行(0.95,0.90,0.82,0.10)T記在表3中2列中。3)雷達方根據(jù)干擾方的行動,選表3中2列下對自己最有利(干擾成功概率最小)的策略,即策略4。我們在0.1下畫線,將贏得矩陣第四列和表2中雷達方所選策略元素對應(yīng)相加,將得到的(1.0,1.62,0.8,0.9)T記在表2中的3列下。4)干擾方根據(jù)雷達方前兩次的行動情況,即表2中3列元素,選對自己最有利(干擾成功率最大)的策略,即在1.62下畫線,將贏得矩陣的第二行元素和表3中2列元素相加,得到(1.6,1.63,0.98,0.99)T記在表3中4列下。5)雷達方再根據(jù)干擾方的兩次行動情況,選對自己最有利(干擾成功率最小)的策略,即在0.98下畫線,將贏得矩陣的第三列和表2中的3列相加,將所得(1.82,1.78,1.43,1.3)T記在表2中5列下。如此不斷迭代下去,當N足夠大時,可以認為迭代結(jié)果為博弈的解。取博弈次數(shù)N=1000,并將前20步的結(jié)果記錄在表2和表3中。經(jīng)過計算機演算,最后得到干擾方最優(yōu)混合策略X=(0.259,0.289,0.451,0.001),因此干擾方最優(yōu)策略是策略三,即在敵方雷達體制和抗干擾措施未知的情況下,應(yīng)優(yōu)先選用阻塞噪聲干擾來提升己方的防御能力。當然,如果已經(jīng)判定敵方使用了某種雷達體制,則應(yīng)果斷采用有效干擾手段進行對抗。4陣風博弈算法在雙方未知對方將采用何種策略情況下,干擾方和雷達方對抗的實質(zhì)就是二人零和博弈過程,這也正是矩陣博弈所要