2023-2024學(xué)年安徽省六安市第二中學(xué)河西校區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省六安市第二中學(xué)河西校區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線(xiàn)與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或42．已知二次函數(shù)交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).若圓過(guò)，，三點(diǎn)，則圓的方程是（）A. B.C. D.3．直線(xiàn)的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.4．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.1C. D.5．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.7．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.8．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B.5C. D.109．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線(xiàn)是（）A. B.C. D.10．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線(xiàn)，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________14．命題“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等”的否命題是________.15．已知長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與圓相切的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則雙曲線(xiàn)的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競(jìng)賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點(diǎn)，.請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）若為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數(shù)列；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)20．（12分）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)是圓與軸的一個(gè)交點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程;（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.21．（12分）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2.（1）求拋物線(xiàn)方程；（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由兩條直線(xiàn)平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得，故選：A.2、C【解析】由已知求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因?yàn)閳A過(guò)，，三點(diǎn)，所以AB的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C3、B【解析】由直線(xiàn)方程,可知直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以，故選4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為故選：B5、C【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，，令，解得當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程.【詳解】易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，且，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，則，因此，該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為.故選：B.7、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.8、C【解析】首先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)9、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線(xiàn)是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線(xiàn)AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線(xiàn)方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線(xiàn)的斜率為1，故折痕所在直線(xiàn)是，即.故選：D10、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因?yàn)?，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，屬于中檔題.雙曲線(xiàn)離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿(mǎn)足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.11、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，故選：B12、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，14、“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線(xiàn)不相等”【解析】否命題是條件否定，結(jié)論否定，即可得解.【詳解】否命題是條件否定，結(jié)論否定，所以命題“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等”的否命題是“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線(xiàn)不相等”故答案為：“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線(xiàn)不相等”15、##2.4【解析】過(guò)作于，可證即為點(diǎn)到平面的距離.【詳解】過(guò)作于，∵是長(zhǎng)方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵∥平面，∴根據(jù)等面積法得，故答案為：.16、2【解析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，∴，∵為中點(diǎn)，則為中位線(xiàn)，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多這個(gè)事件是，然后由相互獨(dú)立的事件和互斥事件的概率公式計(jì)算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗(yàn)的樣本空間，.共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對(duì)的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以..因此，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】解：平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問(wèn)2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個(gè)法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：，，又，，故的周長(zhǎng)為.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由圓與軸的交點(diǎn)分別為，可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，從而即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理及，求出即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點(diǎn)分別為，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題：拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程：【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立直線(xiàn)和得，解得，，22、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的極大值和極小值.（2）由不等