2023-2024學年安徽省合肥市七中、合肥十中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2023-2024學年安徽省合肥市七中、合肥十中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)，則此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為（）A. B.C. D.以上全不對2．下列結論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.33．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－134．若橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6．若，則與的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定7．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.188．已知空間四邊形中，，，，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.9．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.10．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.11．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或12．已知條件，條件表示焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數(shù)之和是______.14．已知橢圓：的左右焦點分別為，為橢圓上的一點，與橢圓交于.若△的內切圓與線段在其中點處相切，與切于，則橢圓的離心率為_______15．設等差數(shù)列，前項和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.16．給出下列命題：①若兩條不同的直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個不同的平面同時垂直于同一條直線，則這兩個平面互相平行；③若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相垂直.其中所有正確命題的序號為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值18．（12分）已知拋物線上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為，．求的值19．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.20．（12分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；21．（12分）如下圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點互不重合（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值22．（10分）已知數(shù)列{}的前n項和為，且2=3-3（n∈）（1）求數(shù)列{}的通項公式（2）若=（n+1），求數(shù)列{}的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【詳解】從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)共有900種取法，以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的三位數(shù)有，共3個，所以以此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為，故選：B2、C【解析】構造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C3、A【解析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得.故選：A.4、B【解析】求出拋物線的焦點坐標，可得出的值，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點坐標為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.5、D【解析】利用不等式的性質分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D6、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B7、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.8、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B9、A【解析】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.【詳解】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質應用是解題的關鍵，屬于中檔題.10、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.11、B【解析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標準方程為：，則圓心為，半徑為，因為圓與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B12、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為條件表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、58【解析】分別將甲、乙兩名運動員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數(shù)，再相加即可【詳解】因為甲、乙兩名籃球運動員各參賽11場，故中位數(shù)是第6個數(shù)甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數(shù)為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數(shù)為24所以，中位數(shù)之和為34+24＝58，故答案為：5814、【解析】利用橢圓及三角形內切圓的性質可得、，結合等邊三角形的性質得的大小，在△中應用余弦定理得到a、c的齊次式，即可求離心率.【詳解】由題意知：由內切圓的性質得：,由橢圓的性質,而,∴,∴由內切圓的性質得：再由橢圓的性質,得：,由此，△為等邊三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，則,故答案為：.15、【解析】由等差數(shù)列的性質可得：．再利用已知即可得出【詳解】由等差數(shù)列的性質可得：對于任意的都有，則故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16、②③【解析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關系判斷①；由直線與平面垂直的性質判斷②③；由空間中平面與平面的位置關系判斷④【詳解】①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關系：平行、相交或異面，故錯誤；②根據(jù)線面垂直的性質知，若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行，故正確；③由線面垂直的性質知：若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行，故正確④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面相交或平行，故錯誤.其中所有正確命題的序號為②③故答案為：②③三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進而計算出相關向量的坐標；（1）計算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結果為零，證明線線垂直，進而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因為，則以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小問2詳解】解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設平面PCD的法向量，因為，所以，即，不妨設，得，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為18、（1）（2）0【解析】（1）由焦半徑公式求C的方程；（2）設直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理表示出，，代入中化簡求值即可.小問1詳解】設點，則，所以，解得因為，所以．所以拋物線C的方程為【小問2詳解】由題知，，，直線AB的斜率必存在，且不為零設，，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為，由，得所以，，且，即所以所以的值為019、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故20、（1）（2）【解析】(1)利用等差數(shù)列的性質可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進一步可得,然后結合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當時，為等差數(shù)列，滿足要求【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質、通項公式、前項和公式的綜合運用,屬于中檔題.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率為可得，把代入方程可得，又，解方程組即可求得方程；（2）設直線的方程為，整理方程組，求得，及參數(shù)的范圍，由斜率公式表示出，結合直線方程和韋達定理整理即可得到定值.試題解析：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）證明：設直線的方程為，又，，三點不重合，∴，設，，由得，所以，解得，，①，②設直線，的斜率分別為，，則（），分別將①②式代入（），得，所以，即直線，的斜率之和為定值考點：橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關系.【方法點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關系，考查了方程的思想和考試與運算能力，屬于中檔題.求橢圓方程通