2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市田陽(yáng)縣田陽(yáng)高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市田陽(yáng)縣田陽(yáng)高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線2．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（）A. B.C. D.3．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.4．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=5．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.6．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.277．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.508．函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C D.9．在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.110．焦點(diǎn)為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.11．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，若，且前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國(guó)的西氣東輸工程把西部地區(qū)的資源優(yōu)勢(shì)變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了天然氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過(guò)一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動(dòng)輸氣管經(jīng)過(guò)此拐角，從寬為的峽谷拐入寬為的峽谷，如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點(diǎn)，的連線恰好經(jīng)過(guò)拐角內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)(點(diǎn)，，在同一水平面內(nèi))，設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成的角為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____(用表示).要使輸氣管順利通過(guò)拐角，其長(zhǎng)度不能低于______.14．某班有位同學(xué)，將他們從至編號(hào)，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號(hào)從小到大依次排列，若排在第一位的編號(hào)是，那么第四位的編號(hào)是______15．據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，部分省市的政府工作報(bào)告將“推進(jìn)5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點(diǎn)工作，2020年一月份全國(guó)共建基站3萬(wàn)個(gè)如果從2月份起，以后的每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)0.2萬(wàn)個(gè)，那么2020年這一年全國(guó)共有基站________萬(wàn)個(gè)16．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，再?gòu)蘑?；②；③這三個(gè)條件中選擇___________，___________兩個(gè)作為已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題在中，內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足______________（1）求；（2）若的面積為，在邊上，且，求的最小值注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分19．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：.22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.2、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.3、A【解析】利用基本不等式可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，，∴.故選：A.4、C【解析】因?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問(wèn)題的能力.5、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.7、A【解析】根據(jù)框圖逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】第一次循環(huán)前，；第二次循環(huán)前，；第三次循環(huán)前，；第四次循環(huán)前，；第五次循環(huán)前，此時(shí)滿(mǎn)足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是18故選：A8、D【解析】函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椋耘懦x項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)故選：D.9、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.10、D【解析】設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.11、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.12、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項(xiàng)和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】(1)利用三角關(guān)系分別利用表示、即可求解；(2)利用導(dǎo)數(shù)求最小值的方法即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，，則，在中，，則，同理可得，所以.令，則，令，，得，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，則，故輸氣管的長(zhǎng)度不能低于m.故答案為：；.14、29【解析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計(jì)算作答.【詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個(gè)編號(hào)相距，所以第四位的編號(hào)是.故答案為：2915、2##【解析】由題意可知一月份到十二月份基站個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】一月份全國(guó)共建基站3萬(wàn)個(gè)，2月全國(guó)共建基站萬(wàn)個(gè)，3月全國(guó)共建基站萬(wàn)個(gè)，，12月全國(guó)共建基站萬(wàn)個(gè)，基站個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，2020年這一年全國(guó)共有基站萬(wàn)個(gè).故答案為：49.2.16、3【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組，求解后可得的通項(xiàng)公式.（2）利用公式法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴解得，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴.選擇條件①和條件③：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴.（2），設(shè)等比數(shù)列的公比為，.∴，解得，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴.選擇條件②和條件③：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴，解得，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，又，故.∴.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由（1）可知.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類(lèi)基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運(yùn)用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過(guò)觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題18、選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）【解析】（1）選條件①．利用正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可得答案；選條件②．邊角互化、切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而得答案；選條件③．邊角互化，利用余弦定理可得，從而可得答案；（2）由三角形面積公式可得得，再利用余弦定理與基本不等式可得答案.【詳解】（1）方案一：選條件①由可得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，故，又，于是，即，因?yàn)?，所以方案二：選條件②因?yàn)?，所以由正弦定理及同角三角函?shù)的基本關(guān)系式，得，即，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以方案三：選條件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由題意知，得由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為19、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋士傻茫譃閱握{(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.則，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)取得最小值和最大值，故，即，也即時(shí)恒成立.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，所以，所以，檢驗(yàn)時(shí)也滿(mǎn)足上式，所以,所以，令，所以，故當(dāng)即時(shí)，取得最小值，所以.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進(jìn)而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再代入裂項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得到，整理得，又因?yàn)閍n＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)n＝1時(shí)，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因?yàn)閍1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從