2023-2024學(xué)年吉林省長春市雙陽區(qū)長春一五一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省長春市雙陽區(qū)長春一五一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.2．復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.3．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，漸近線上的一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對(duì)，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.9．是數(shù)列，，，－17，中的第幾項(xiàng)()A第項(xiàng) B.第項(xiàng)C.第項(xiàng) D.第項(xiàng)10．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.11．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過點(diǎn)，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________14．隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若，，則_________15．中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生，對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個(gè)小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學(xué)生中視力在范圍內(nèi)的學(xué)生有______人.16．已知拋物線：，若直線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，則_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式：.18．（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）設(shè)，若不等式，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.20．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年級(jí)全面實(shí)施新課程改革，為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中600名學(xué)生化學(xué)成績（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．已知圖中前三個(gè)組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人數(shù)；（3）估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）21．（12分）已知圓C：（1）若過點(diǎn)的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值22．（10分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知，即，因?yàn)樗械幕臼录灿蟹N，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D2、D【解析】直接根據(jù).復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3、B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，又，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B4、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選5、A【解析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A6、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以有，因此，故選：C7、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點(diǎn)的距離公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設(shè)在漸近線上，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，由，解得，即點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.8、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個(gè).故選：C.9、C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為，公差d＝－4的等差數(shù)列{}，，令，得故選：C10、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C11、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A12、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓方程為，代入原點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點(diǎn)，代入圓方程則圓方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程的計(jì)算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.14、##0.4【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而利用求方差公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，則，從而，解得：，所以故答案為：15、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機(jī)抽取400名學(xué)生視力在范圍內(nèi)的學(xué)生約有人.故答案為：50.16、8【解析】直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理根據(jù)弦長公式求弦長【詳解】設(shè)，由得，所以，，故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而可知在恒成立，即可求參數(shù)范圍.（2）題設(shè)不等式等價(jià)于，討論的大小并根據(jù)一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)﹐不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為﹔當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.18、（1），；（2）.【解析】（1）分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值；（2）由（1）可得，利用參變量分離法可得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：的對(duì)稱軸是，又，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得.【小問2詳解】解：由（1）知：，所以，，又，，令，則在上是增函數(shù)．所以，，要使在上恒成立，只需，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內(nèi)積為零，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算向量內(nèi)積；(2)利用一元二次函數(shù)，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問1詳解】如下圖所示，以原點(diǎn)，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，?【小問2詳解】因?yàn)椋怨实淖畲笾禐椤拘?詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榇藭r(shí)，，所以由得取，得，，又可取平面的一個(gè)法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.20、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位數(shù)69.4【解析】（1）由各矩形面積和為1列式即可；（2）由高分頻率乘以600即可；（3）由平均數(shù)與中位數(shù)的估算方法列式即可.【小問1詳解】由題意可知：解得小問2詳解】高分的頻率約為：故高分人數(shù)為：【小問3詳解】平均值為，設(shè)中位數(shù)為x，則故中位數(shù)為69.421、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當(dāng)斜率不存在時(shí),不滿足條件；再判斷當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.判斷出當(dāng)時(shí),最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當(dāng)斜率不存在時(shí),x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程