幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用許生虎（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州730070）摘要：在對數(shù)學(xué)命題的觀察和分析基礎(chǔ)上給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，舉例說明了尋求輔助函數(shù)的幾種方法及在解題中的作用。關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)弧弦差法原函數(shù)法幾何直觀法微分方程法引言在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點，通過逆向分析、綜合運用數(shù)學(xué)的基本概念和原理，經(jīng)過深入思考、縝密的觀察和廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造出一個與問題有關(guān)的輔助函數(shù)，通過對函數(shù)特征的考查達到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構(gòu)造輔助函數(shù)法。構(gòu)造函數(shù)方法在許多命題證明中的應(yīng)用，使問題得以解決，如在微分中值定理、泰勒公式、中值點存在性、不等式等證明。但構(gòu)造輔助函數(shù)方法的內(nèi)涵十分豐富沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸思想。但如何通過構(gòu)造，構(gòu)造怎樣的輔助函數(shù)給出命題的證明，是很難理解的問題之一，本文通過一些典型例題歸納、分析和總結(jié)常見的構(gòu)造輔助函數(shù)方法及應(yīng)用。構(gòu)造輔助函數(shù)的七中方法2.1“逆向思維法”例1：設(shè)在上可微，且滿足，證明在內(nèi)至少有一點，使.證明:由所證明的結(jié)論出發(fā),結(jié)合已知條件,探尋恰當?shù)妮o助函數(shù).將變?yōu)?聯(lián)想到,可考慮輔助函數(shù)因為,而對于,有,所以,,由羅爾定理知,至少存在一點,使得即:.證畢原函數(shù)法在微分中值定理(尤其是羅爾定理)求解介值(或零點)問題時要證明的結(jié)論往往是某一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點,因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù),用此法構(gòu)造輔助函數(shù)的具體步驟如下:將要證的結(jié)論中的通過恒等變換,將結(jié)論化為易積分(或易消除導(dǎo)數(shù)符號)的形式;用觀察法或湊微分法求出原函數(shù)(必要時可在等式兩端同乘以非零的積分因子),為簡便起見,可將積分常數(shù)取為零;移項,將等式一邊為零,則等式的另一邊為所求的輔助函數(shù).例2:分析:可令證明:作輔助函數(shù)在由Rolle定理知，至少存在一點使得即：2.6常數(shù)k值法此法適用于從結(jié)論中可分離出常數(shù)部分的命題，構(gòu)造出輔助函數(shù)的具體步驟如下：從結(jié)論中分離出常數(shù)部分，將它令為k；做恒等變化，是等式（或不等式）一端為a及f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b和f(b)構(gòu)成的代數(shù)式；分析端點a,b的表達式是否為對稱式或輪換式。若是將端點改為x，相應(yīng)的函數(shù)值f(a)(或f(b))改為f(x)，則關(guān)于x,f(x)的表達式即為索求的輔助函數(shù)F(x).例6：分析：分離a,b與，則待證式則上式的左端顯然是關(guān)于a,b的對稱式.令其為k,得于是，可令證明：作輔助函數(shù)（其中）由題設(shè)條件可知并且可見,于是,即.亦即2.7弧弦差法利用弧弦差來構(gòu)造輔助函數(shù)，稱為弧弦差構(gòu)造函數(shù)法。微分中值定理的相關(guān)證明就采用種方法，現(xiàn)以拉格朗日中值定理為例：(原定理敘述略)題7：有向線段的函數(shù)，設(shè)直線AB的方程為則由于點的縱坐標分別為有向線段的重數(shù)于是就有拉格朗日中值定理的結(jié)論參考文獻：[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]楊根學(xué).待證結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)法[J].天水師院學(xué)報，2001，（5）：55-56[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，1986.[4]王德利.證題中引進輔助函數(shù)的幾種方法[J].江漢大學(xué)學(xué)報，1995，（3）：56[5]尹必華.運用中值定理證題時構(gòu)造輔助函數(shù)的三種方法[J].自然科學(xué)報.2002：（6）29—31SeveralMethodsforConstructingtheAuxiliaryFunctionandtheirApplicationsXuShenghu(NorthwestNormalUniversity,GansuLanzhou730070)Abstract:Onthebasisofstudyingandanalyzingmathematical,somemethodsaboutconstructionofauxiliaryareproposed.Bythepropertyofthefunction’sgraphandmean-valuetheoremofintegrals,combinedwiththeexample,somemethodsforconstructingtheauxiliaryfunctionandtheirapplicationareill