2022-2023學(xué)年北京海淀區(qū)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷及答案

2022北京海淀高三（上）期中數(shù)學(xué)150120分鐘考生務(wù)必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.U=xxAx2x3=1.已知全集，集合，則（）(0,2(2)A.C.B.(+)()(+),2,2D.2.在同一個坐標系中，函數(shù)y=ax與y=ax(aa1)且的圖象可能是（0）A.B.C.D.3.已知向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則ab=（）?4D.?42A.4B.42C.和等比數(shù)列滿足=，==，=，則公比為（）anb1b122248b4.若等差數(shù)列A.2nn?24D.B.C.4a,bab，則下列不等式中正確的是（5.已知實數(shù)滿足）ababB.A.C.a2abD.abb235與角均以終邊關(guān)于直線y=xsin=，6.在平面直角坐標系cos=則（）45433A.?B.C.D.555()．甲同學(xué)將()的圖象向上平移個單位長度，得到圖象；乙同學(xué)將()的圖象上fxfx1fx恰好重合，則下列給出的fx7.已知函數(shù)所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼姆项}意的是（112()中C．若C與C221）()=fx1x()=fxlog2xA.C.B.2x1f(x)=2x()=D.fx2()=fxaexbe?xab0+()，則“a+b=0”是“()為奇函數(shù)”的（）fx8.已知函數(shù)A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件xy9.若P是內(nèi)部或邊上的一個動點，且=xAB+yAC，則的最大值是（）112A.B.C.1D.2410.112nn的最小值為（（參考數(shù)據(jù)：）20.301，30.477）A.9B.10C.11D.12第二部分（非選擇題二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.共分）=?，則z=若復(fù)數(shù)z1i．__________1x?1()=12.fx+x的定義域是____________.()，=(+)．若存在實數(shù)，使得a與的方向相同，則的一個取值為xtbabx,tx213.已知向量__________．πg(shù)xx()=fxsin+)和()=2(+)?2(+)的圖象的對稱中心完全重合，sinxx014.若函數(shù)6π6則==g__________；__________．?2+ax+x1x()=fx15.已知函數(shù)．a(chǎn)x,x1f(x)①當a1時，=極值點個數(shù)為__________；②若()恰有兩個極值點，則的取值范圍是__________．fxa三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.的前項和為(==，Sn)，且a2=ann3S525．16.已知等差數(shù)列n（1）求的通項公式；an（2）等比數(shù)列的首項為1，公比為，在下列三個條件中選擇一個，使得q的每一項都是中bnbann()，求的式子表示）的項．若bak,m=Nmkkmq；條件③：q=3．條件①：注：如果選擇條件不符合要求，第（2）問得0分．fx2sinxx2cosx1q=?1；條件②：()=+2?．17已知函數(shù)πf?（1的值；4（2()的最小正周期；fxπ（3()在區(qū)間fx上的最大值和最小值．213()=18.已知函數(shù)fxx3?x2．（1()的單調(diào)區(qū)間；fx43()在區(qū)間(?mfx上的取值范圍是?,0m（2，求的取值范圍．19.某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個相距12km的觀測站A和，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得BAC=30，ABC=60，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得BAD=75，ABD=45，D在同一平面內(nèi)）（1）求△ABD的面積；（2）求點，D之間的距離．fxexasinx()=?20.已知函數(shù)．=()在點f(0))fx（1a2時，求曲線=y處的切線方程；（2a1時，證明：函數(shù)=y=f(x)?2在區(qū)間(π)上有且僅有一個零點；xπ，不等式fx2x()?（3）若對任意21.對于一個m行n列的數(shù)表（i=，恒成立，求的取值范圍．a(chǎn)(m≥n≥3)a表示數(shù)表中第i行第j列的數(shù)，i,jAai,j，用mnj=AA滿足以下兩個條件，則稱數(shù)表n；，若數(shù)表具n有性質(zhì)()：pta=10j,n=(=)am,j①②，；ji?i+i,2?i1,2++i,n?i1,n=ti=,m?)．（1）以下給出數(shù)表1和數(shù)表2．數(shù)表1100110010數(shù)表210011101101010110000（）數(shù)表1是否具有性質(zhì)()？說明理由；p2（）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)表2具有性質(zhì)()？若存在，直接寫出t的值，若不存在，說明理由；pt()？若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由；p6Am2023（2）是否存在數(shù)表具有性質(zhì)（3）給定偶數(shù)n(n3)，對每一個t,n?n具有性質(zhì)mApt，將集合中的最小元素記為()．求()的最大值．ftft參考答案一、選擇題：共10小題，每小題4分，共分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【解析】【分析】由補集定義可直接求得結(jié)果.+)，A=2,32)【詳解】.故選：B.2.【答案】A【解析】y=x【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于對稱可確定結(jié)果.y=axy=x與ya圖象關(guān)于=x對稱，【詳解】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：由選項中圖象對稱關(guān)系可知A正確.故選：A.3.【答案】C【解析】a,b,a,b【分析】由圖形可求得【詳解】由圖形可知：，由向量數(shù)量積定義可求得結(jié)果.=22，b2，a,b=+=a222，2442ababab42?=?4.2故選：C.4.【答案】B【解析】a=b=?1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.11【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，anbna=8=a+2d=2+2d則，42所以d=3，a=b=2=a+3a=b=?1，∴，221112b1q==2.所以故選：B.5.【答案】A【解析】aa【分析】由A正確；通過反例可知BCD錯誤.（當且僅當a0ab【詳解】對于A，，A正確；=?1，b=2aabB對于Ba對于Ca時，時，，錯誤；=?1，b=22=1，ab=2a2ab，則C錯誤；對于Da=1，b=2時，ab=2，b2=4，則abb2D.故選：A.6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱關(guān)系可得+=+2k(kZ)，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.2y=x+2k(kZ)，+=2+2k=【詳解】的傾斜角為，與滿足4422235=+2k?=?=sin=.故選：D.7.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換原則，依次驗證選項中的函數(shù)變換后的解析式是否相同即可.()+=+()==+=?C:fx1x1C:f2x2xx2x1【詳解】對于A，，A錯112212121212誤；C:fx+1=x+1C:f2x2xx2x+1，正確；B()()==+=對于B，對于C，，1222222C:fx+1=2()x+1C:f2x22x=4x，錯誤；C()=，12x2xx121214()+=+()==對于D，C:fx11，C:f2xD錯誤.12故選：B.8.【答案】C【解析】a+b=0可得()由此可構(gòu)造方程求得a+b=0，知必要性成立，由此可得結(jié)論.()為奇函數(shù)可知(?)=?()，fxfxfxfx【詳解】當a+b=0時，()fxae=x?ae?xf(?x)=ae?x?ae=?f(x)，xfx為奇函數(shù)，充分性成立；當()為奇函數(shù)時，由(?)=?()得：fxfxfxae?xbex+=?aex?be?x，a=?b，即a+b=0，必要性成立；()為奇函數(shù)”的充分必要條件.“a+b=0”是“fx故選：C.9.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)及向量的線性關(guān)系知x+y1，且0x,y1，再應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件.【詳解】由P是內(nèi)部或邊上的一個動點，且=xAB+yAC，所以x+y1，且0x,y1，(x+y)2141由x=y=，當且僅當時等號成立.42故選：A10.D【解析】n2n32n993100的線段長度總和為1，由?1?，結(jié)合對數(shù)運算可解不等式求得，由此可得結(jié)果.n11.412【詳解】第1次操作，去掉的線段長度為；第2次操作，去掉的線段長度為；第3次操作，去掉的線39n1412n段長度為，依次類推，可知第次操作去掉的線段長度為33，即每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，n13231?n2第n次后，去掉的線段長度總和為，=1?321?32n9931002n1由1?得：，31001lg10022n=?=??11.42323??1002lg30.3010.477，n的最小值為12.故選：D.第二部分（非選擇題二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.【答案】5共分）【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)概念寫出z=1+，再求其模長.z=1+4=5【詳解】由題設(shè)z=1+，則.故答案為：512.【答案】()+).【解析】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.x?10【詳解】由題意得，x0()0,1故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13.【答案】0（答案不唯一，小于1的實數(shù)均可）【解析】21?t=a()x==，由0可求得滿足題【分析】由兩向量同向可知b，由此可構(gòu)造方程組求得t意的的范圍，進而得到結(jié)果.x=21?t=()ba0x==，【詳解】與b方向相同，，，tx+2=21?t0得：t1，由==存在實數(shù)t0，x2，使得a與b方向相同.故答案為：0（答案不唯一，小于1的實數(shù)均可）.14.【答案】【解析】①.2②.1或1g(x)=cos2(x+)，由對稱中心完全重合知兩函數(shù)最小正周期相同即可確定π【分析】由題設(shè)，進而求f(x)的對稱中心代入g(x)求，注意討論參數(shù)，最后求出對應(yīng).g6g(x)=cos2(x+)?sin2(x+)=cos2(x+)，與()的對稱中心完全重合，fx【詳解】由π6所以兩函數(shù)的最小正周期相同，故=2，則f(x)=sin2x+，πππππ2x+=πkZx=?kZ(?,0)且kZ，令且，故且，則對稱中心為6212212πππππ?++)=cos(π?+)=0π?+=kπ+k1Zcos2(所以=，故且，則1212662(1?k)ππk?kZ，，123πππ6k?k=0，此時=g(x)=2(x+)g=π=?1；令令，所以，故133π5ππ6k?k=1，此時=1g(x)=cos2(x+πg(shù)=cos2π=1；)，故，所以66g=1.由余弦函數(shù)的周期性、對稱性知：6故答案為：2，－1或1①.2②.(0,2)15.【答案】【解析】1()和x=1是fx()fxx=2此可得極值點個數(shù)；a②驗證分段處函數(shù)值可知()為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可確定x=1和x=必為fx2a()1()在(+)上單調(diào)遞fxfx2增，即a0；由此可得的范圍.a?++2xxx1【詳解】①當a=1時，fx()=；x,x11x，連續(xù)函數(shù)；1212?,,+)上單調(diào)遞增，在(在,1上單調(diào)遞減，12f(x)()fx的極值點個數(shù)為2；x==和x1是的極值點，即為連續(xù)函數(shù)，ax②，()為單調(diào)函數(shù)，axx1在(+)上無極值點；fx又f(x)=?x2+ax+1在(?)上至多有一個極值點，,1aax=1和x=必為f(x)的兩個極值點，1，解得：，a222a2又()在(+)上單調(diào)遞增，a0；fx,1上單調(diào)遞減，x在綜上所述：實數(shù)的取值范圍為()0,2.a故答案：(2).【點睛】易錯點睛：本題考查函數(shù)極值點的定義、根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；本題易錯的點在a于根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍時，確定x=1和函數(shù)單調(diào)性需發(fā)生改變，導(dǎo)致丟失a0的范圍.x=為()的兩個極值點后，忽略在極值點左右兩側(cè)fx2三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.a=2n?1n16.）（2）見解析【解析】a）利用等差數(shù)列求和公式和通項公式可求得公差d，進而得到；n（2）利用等比數(shù)列通項公式可得b，由b=a可得kmm與k之間關(guān)系；若選條件①，可知當k為偶數(shù)時，n3k?1+1m=0mNm=mN，2由此可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，an(+)51a5=d3a2?=2=53=25a=53，解得：，，2=+(?)=+(?)=ana2n2d32n22n1?.【小問2詳解】若選條件①，n=(n1，k=(?)1，又am=2m?1，k(?k11+1b=akk1m=2m?1=(?)由得：m；2?1+1m==0當k為偶數(shù)時，，不符合mN，則不能選擇條件①；2若選條件②，n=2n1k=2k1，又，a=2m?1m，2k?1+1；b=ak?=k1m=得：2m12m由2當k1且kN時，2k1+1為奇數(shù)，則mN，不合題意，則不能選擇條件②；若選條件③，n=n13k=k1，a=2m?1，又，m3k?1+1b=ak?=k1m=得：2m13m由；2N時，k1+1為偶數(shù)，mN，滿足題意；當k3k?1+1綜上所述：m=.2π（2）；17.）-；（3）最大值為2，最小值為1．【解析】）自變量直接代入求值；（2）應(yīng)用倍角正余弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)式，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期；（3）利用正弦型函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可【小問1詳解】πf?π4π4π42222+2?1=?1．=2sin??+2cos2??1=2?4222【小問2詳解】πfx=sin2x+2x=2sin2x+由題設(shè)()．42π所以()的最小正周期為T=fx=π．2【小問3詳解】πππ5π因為0x，所以2x+，2444πππf(x)時，取得最大值，2x+=x=當，即428ππ所以()在區(qū)間=2；fxf上的最大值為2x=π8π5ππ2x+=時，()取得最小值，fx當，即442π所以()在區(qū)間=?1．fxf上的最小值為2218.）單調(diào)遞增區(qū)間為(,0)，(2,+)；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（2）2,3【解析】）求導(dǎo)后，根據(jù)()的正負即可確定()的單調(diào)區(qū)間；fxfx4()=?fx()=fxm(?1,2)m2,3m+)、和的0x（）分別令，可求得的臨界值，分別在3情況下，根據(jù)值域確定滿足題意的范圍.【小問1詳解】由題意知：()定義域為R，fxfxx22x=x(x?2)()=?，x(?,0)x(2)(x)當時，f；當時，f0；的單調(diào)遞增區(qū)間為(,0)，(2,+)；單調(diào)遞減區(qū)間為(2).【小問2詳解】143()=fxx3x2?=??+=(+)(?)=0，233x24x1x2由得；x3解得：x=?1或x=2；112()=fxx3?x2===()=?=?0x0x3f11由得：或；；33343m(?1,2)()()=?fxf2①當時，，不合題意；4?,0f(2)≤f(x)≤f(0)f(x)，即m2,3時，②當③當值域為，滿足題意；3m()時，fm()()=0，不合題意；f3m綜上所述：實數(shù)的取值范圍為3.();36+123km219.）（2）215km．【解析】）由正弦定理求得AD的長，利用三角形面積公式，即可求得答案；（2）求出AC和，由余弦定理即可求得答案.【小問1詳解】在△ABDBAD=75，ABD=45，所以60．=sin60==由正弦定理：，得，sin452sin45sin6023AD=AB=12=46(km),所以223126+2sinsin75sin45==(+)=+=，2241216+2所以△ABD的面積為S【小問2詳解】()36+123km2．=ABADsinBAD=1246=24由BAC=30，ABC=60，得CAD=45，且ACB=90,AC=12cos30=63．在中由余弦定理，得2CD2=AC2+AD2?2ACADCAD=363+166?26346=60,2=()CD215km．所以即點CD之間的距離為215km．x+y?1=020.）；（2）證明見解析；3）(?.【解析】()f0()=1可得切線方程；f0）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合gx=fx?2（2）令()()gx0，由此確定gx()()(π)，求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得結(jié)論；hx=fx?2+xh(x)a0時，h(x)（）()()0a1()在(x)h(x)h(0)=0hx0h(x)h(0)0=，知單調(diào)遞增，滿足題意；當a()hx題意；當a1時，可得=1時，采用放縮法得hxexsinxcosx?2，結(jié)合a=1時的結(jié)論可知其滿足題意；綜合三種情況可得結(jié)果.()?+【小問1詳解】fxex2sinx()=?，則f(x)=ex2cosx，?當a2時，=f0121，又()=?=?f(0)=1，(())f0=?x+1x+y?1=0.，即fxy在點處的切線方程為：【小問2詳解】gx=fx?=a=1時，令()()2esinx?x?2gxex?cosx()=，則；當當xπ()時，exe0=1，x1，即gx()0，()gx(π)上單調(diào)遞增，又()=?=?，()=?g01210gπe20，()gx在(π)上有唯一零點，即()?在(π)上有且僅有一個零點.fx2【小問3詳解】hx=fx?2+cosx=e?asinx+cosx?2，令()()xxπ，()恒成立；又()=hxhxexacosxsinx，0??則對任意tx=hx令()()，則t(x)=exasinxcosx；+?當a0時，若xπ，則exe0()π上單調(diào)遞增；=1，cosx1，sinx0，tx()在π0hx在上恒成立，則()=?()=+，①當a1時，h01a0hπeπa0，(π)xh(0)=0，且當x(x)h(x)0時，，，使得00()(x)hx()()=hxh00，不合題意；在上單調(diào)遞減，此時0h(x)=e?sinx+cosx?2；x②當a1時，=xπ()時，()()=hxh00，則()πhx當在上單調(diào)遞增，()()=hxh00恒成立，滿足題意；hxexasinxx?2esinxx?2，()=?+x?+1時，③當axπ，h(x)exsinxx?20，滿足題意；?+由②知：對任意a綜上所述：實數(shù)的取值范圍為(?,1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切線方程、函數(shù)零點個數(shù)問題、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論問題，進而由單調(diào)性和函數(shù)最值確定滿足題意的參數(shù)范圍.()）存在．t=3p221.1）數(shù)表1不具有性質(zhì).（2）不存在，理由見解析（3）n+1．【解析】1t=3時滿足條件，即得答案；具有性質(zhì)()不具有性質(zhì)()（p21Aptn（2）假設(shè)存在m使得數(shù)表具有性質(zhì)()，根據(jù)題意可推出任意兩行中，1的個數(shù)的奇偶性相同，p6Am2023Am2023與數(shù)表第一行有2023個，最后一行有0個1矛盾，可得結(jié)論；（3m?1行n列的數(shù)表Bij列為b=a?aiji=，(mni,ji,jj=，,ft≤n1），在其條件下先證明()+，再證t=n?1時，()+，綜合可得，ft≥n1（(?)=+，從而得()的最大值的為n+1．fn1n1ft【小問1詳解】（）數(shù)表1不具有性質(zhì)()．p2a?a+2,2?3,2+a2,3?3,3=12．理由：（ⅱ）存在．由圖表可知i?i+i,2?i1,2++i,4?i1,4=3i=2,3,4)，故t=3時，數(shù)表2具有性質(zhì)()．pt【小問2詳解】不存在數(shù)表具有性質(zhì)()．p6Am2023假設(shè)存在m使得數(shù)表具有性質(zhì)()，p6Am2023i?i+i,2?i1,2++?=(=?)．則ii,即在這兩行中