高中數(shù)學(xué)選修2-1-第三章第一節(jié)《3.1空間向量及其運算》全套教案

空間向量及其運算課時分配:第一課空間向量及其加減運算1個課時第二課空間向量的數(shù)乘運算1個課時第三課空間向量的數(shù)量積運算1個課時第四課空間向量運算的坐標(biāo)表示1個課時3.空間向量及其加減運算）【教學(xué)目標(biāo)】 1．了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法； 2．理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內(nèi)的充要條件； 3．會用上述知識解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題?！窘虒W(xué)重點】 點在已知平面內(nèi)的充要條件。共線、共面定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點】 對點在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運用。|【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題教學(xué)課程第一課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案師生互動|義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下（如圖） ；；3．平行六面體： 平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD－它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱。 4．平面向量共線定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量。} 向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ。 這個定理稱為平面向量共線定理，要注意其中對向量的非零要求?！ⅲ海?）空間的一個平移就是一個向量；（2）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量；（3）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。思考：運算律：（1）加法交換律： （2）加法結(jié)合律： （3）數(shù)乘分配律：—二..探究新知（25分鐘）1．共線向量 與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。和上節(jié)我們學(xué)習(xí)的空間向量的定義、表示方法、空間向量的相等以及空間向量的加減與數(shù)乘運算和運算律都是平面向量的推廣一樣，空間向量共線（平行）的定義也是平面向量相關(guān)知識的推廣。) 當(dāng)我們說向量、共線（或固練習(xí)（20分鐘）1已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件：，試判斷：點與是否一定共面)解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點與共面。2．已知，從平面外一點引向量， （1）求證：四點共面； （2）平面平面?！?解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵， ∴共面； （2）∵，又∵，∴ 所以，平面平面。四．小結(jié)談收獲|向量平行于平面和直線平行于平面是不同的，要注意其共同點與不同點；共面向量定理中，條件的必要性實際上就是平面向量基本定理，該定理說的是三個向量共面的性質(zhì)，它在空間中也成立。五.布置作業(yè)完成課后習(xí)題1．已知兩個非零向量不共線，如果，，，求證：共面。 證明：∵，，， ∴ ∴共面。$ 2．已知，，若，求實數(shù)的值。 解：∵∴ ∴ ∴。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點，求證：（1）四點共面；（2）平面平面。 4．已知分別是空間四邊形邊的中點， （1）用向量法證明：四點共面；^ （2）用向量法證明：平面。;;六．教學(xué)反思《．2TC"§充要條件"空間向量的數(shù)乘運算【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題【教學(xué)目標(biāo)】 1．了解空間向量基本定理及其推論； 2．理解空間向量的基底、基向量的概念。理解空間任一向量可用空間不共面的三個已知向量唯一線性表出。 3．學(xué)會用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識到事物都是在不斷的發(fā)展、變化的，會用聯(lián)系的觀點看待事物。@【教學(xué)重點】 向量的分解（空間向量基本定理及其推論）【教學(xué)難點】 空間作圖教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)~導(dǎo)案/學(xué)案師生互動探究新知、（25分鐘）1．空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。 證明：（存在性）設(shè)不共面，過點作；過點作直線平行于，交平面于點；在平面內(nèi)，過點作直線，分別與直線相交于點，于是，存在三個實數(shù)，使，，，∴ 所以 （唯一性）假設(shè)還存在使 ∴ ∴ 不妨設(shè)即∴《 ∴共面此與已知矛盾∴該表達(dá)式唯一 綜上兩方面，原命題成立。 由此定理，若三向量不共面，則所有空間向量所組成的集合是，這個集合可以看作由向量生成的，所以我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，可以知道，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。 推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使@三.鞏固練習(xí)（20分鐘）1.已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量 解： ∴]2如圖，在平行六面體中，分別是的中點，請選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明： （1） （2）平面 證明：取基底：， （1）∵， ，∴ （2）∵， ∴，由（1），∴平面(四．小結(jié)談收獲空間向量基本定理的推論意在用分解定理確定點的位置，它對于今后用向量方法解幾何問題很有用。五.布置作業(yè)完成課后習(xí)題—六．教學(xué)反思空間向量的數(shù)量積運算【教學(xué)目標(biāo)】%1．掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運算律2．掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題?！窘虒W(xué)難點】空間向量的數(shù)量積運算教學(xué)難點：空間向量的數(shù)量積運算在解決立體幾何中的應(yīng)用【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題（教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案師生互動【探究新知（25分鐘）1．空間向量的夾角：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；規(guī)定，顯然有；"（3），那么與同向；，那么與反向（4），則稱與互相垂直，記作：；2、空間向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．思考：面直線及所成的角的范圍注:①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.`②規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零兩個向量的數(shù)量積的幾何意義空間兩個向量的數(shù)量積性質(zhì)5、空間向量的數(shù)量積滿足的運算律|；；思考：1、若，是否有成立2、若，是否有，或成立3、向量數(shù)量積是否有結(jié)合律成立{三.鞏固練習(xí)（20分鐘）1：已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，如圖所示，點E、F分別是AB、AD的中點，求(1)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))；']如圖，在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求對角線A’C的長解：#練習(xí)3、如圖，線段AB，BD在平面內(nèi)，BDAB，線段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D間的距離。%四．小結(jié)談收獲@五.布置作業(yè)完成課后習(xí)題~六．教學(xué)反思學(xué)生已有了空間的線、面平行和面、面平行概念，這種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間一個向量已是空間的一個平移，要讓學(xué)生在空間上一步步地驗證向量的數(shù)量積運算?？臻g向量的正交分解及其坐標(biāo)表示：【教學(xué)目標(biāo)】 1．鞏固空間向量數(shù)量積的概念； 2．熟練應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題?！窘虒W(xué)重點】 應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題【教學(xué)難點】 應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題'教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案師生互動…探究新知（25分鐘）1．已知線段在平面內(nèi)，，線段，若，求間的距離。 解：（方法一）連結(jié)，》 ∵，∴，在中∵， ∴， 在中∵，所以，。 （方法二）： 又∵，∴， 又∵，∴， ∴，— ∴，所以。 例2．已知平行六面體中，，，求的長。 解： 所以，。 例3．已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，且，分別是，的中點，求異面直線與所成角的余弦值。! 分析：要求異面直線與所成角的余弦值，只要求與所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量夾角公式求解。 解：設(shè)，，，∴， ∵ ∴， 所以，異面直線與所成角的余弦值為。)設(shè)出空間的一個基底后，求數(shù)量積的時候目標(biāo)就更加明確了，只要將與都化為用基向量表示就可以了本題中與的夾角是異面直線與所成角的補(bǔ)角。4．如圖長方體中，，為與的交點，為與的交點，又，求長方體的高。 分析：本題的關(guān)鍵是如何利用這個條件，在這里可利用將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題。 解法一：∵， ∴ ∴《 ∴，∴， 所求高。 解法二： 設(shè)， 則， 則＝ ∵∴＝0| 即[][]＝0 ∴ ∴，即所求高。三.鞏固練習(xí)（20分鐘）1．設(shè)，，且，求向量的模。》 2．已知，，，，問實數(shù)取何值時與垂直。 3．若，且，求的值。 4．在棱長為1的正方體中，分別是中點，在棱上，，為的中點， （1）求證：； （2）求所成角的余弦； （3）求的長。 解：設(shè)，& 則， （1）∵， ∴ ∴ （2）∵， ，\ ∴ ∴，，， 所以所成角的余弦為 （3）∵ } ∴ ∴的長為四．小結(jié)談收獲利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計算問題。%五.布置作業(yè)完成課后習(xí)題六．教學(xué)反思·空間向量運算的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】 1．掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會確定一些簡單幾何體（正方體、長方體）的頂點坐標(biāo)；/ 2．掌握空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律； 3．會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個向量共線或垂直； 4．會用中點坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題?！窘虒W(xué)重點】 空間右手直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運算。【教學(xué)難點】 空間向量的坐標(biāo)的確定及運算。]教學(xué)課程第四課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案師生互動、探究新知（25分鐘）1．空間直角坐標(biāo)系： （1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示； （2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸。我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量都叫坐標(biāo)向量。通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；{ （3）作空間直角坐標(biāo)系時，一般使（或），； （4）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。 2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一&的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。 3．空間向量的直角坐標(biāo)運算律： （1）若，，則，，，，，。。 （2）若，，則。 一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。!1.已知，，求，，，，。 解：，，！，，。！ 例2．求點關(guān)于平面，平面及原點的對稱點 解：∵在平面上的射影，在平面上的射影為，∴點關(guān)于平面的對稱點為，關(guān)于平面及原點的對稱點分別為，。 例3.在正方體中，分別是的中點，求證平面。 證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度，設(shè)，，，分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，[則，，，∴，又，，∴，，所以，平面。：三.鞏固練習(xí)（20分鐘）1．已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中各點的坐標(biāo)分析：要求點E的坐標(biāo)，過點E與x軸、y軸垂直的平面已存在，只要過E作平面垂直于z軸交E‘點，此時|x|＝|y|＝|z|＝，當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸正向相同時，x＞0，反之x＜0，同理確定y、z的符號，這樣可求得點E的坐標(biāo)。 解：D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，，D1(0，0，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，1，0) 2．已知a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a?b。解：a＋b＝（2，－3，5）＋（－3，1，－4）＝（－1，－2，1），^a－b＝（2，－3，5）－（－3，1，－4）＝（5，－4，9），8a＝8（2，－3，5）＝（16，－24，40），a?b＝（2，－3，5）?（－3，1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 3．在正方體要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1．CD的中點，求證：D1F⊥平面ADE 證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則又∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，