2023屆陜西省商洛市第3中學高三3月統一聯合考試數學試題

2023屆陜西省商洛市第3中學高三3月統一聯合考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數t的值為（）A． B． C． D．2．設復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．4．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現三人走的線路均不同，且均沒有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據以上信息，可判斷下面說法正確的是（）A．甲走桃花峪登山線路 B．乙走紅門盤道徒步線路C．丙走桃花峪登山線路 D．甲走天燭峰登山線路5．設函數（，為自然對數的底數）,定義在上的函數滿足，且當時，．若存在，且為函數的一個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知拋物線y2=4x的焦點為F，拋物線上任意一點P，且PQ⊥y軸交y軸于點Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．17．設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．9．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．24010．已知函數，其中，記函數滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．11．設，則（）A． B． C． D．12．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種產品的質量指標值服從正態(tài)分布，且．某用戶購買了件這種產品，則這件產品中質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數為_________．14．已知集合，，則__________．15．在的展開式中，的系數為________．16．設函數，若在上的最大值為，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數，求函數的極值．（2）若函數在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．18．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數（為常數）（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.22．（10分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質，積極開展冰上體育鍛煉.現從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統計，請將下列列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設，求，作為的函數，其最小值是6，利用導數知識求的最小值．【詳解】設，則，記，，易知是增函數，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導數的應用，考查用導數求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．2、A【解析】

由復數的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數對應的點所在象限的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.3、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.4、D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選：D【點睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內容進行分類討論,屬于基礎題型.5、D【解析】

先構造函數，由題意判斷出函數的奇偶性，再對函數求導，判斷其單調性，進而可求出結果.【詳解】構造函數，因為，所以，所以為奇函數，當時，，所以在上單調遞減，所以在R上單調遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數在時單調遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數與方程的綜合問題，難度較大.6、A【解析】

設點，則點，，利用向量數量積的坐標運算可得，利用二次函數的性質可得最值.【詳解】解：設點，則點，，，，當時，取最小值，最小值為.故選：A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學生的計算能力，是基礎題.7、C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數判斷函數值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數在上單調遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，函數與方程的應用，屬于中檔題.8、C【解析】

根據拋物線方程求得點的坐標，根據軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，根據拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.9、A【解析】

利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【詳解】解：根據題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當“樂”排在第一節(jié)有（種），當“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：．【點睛】本題考查排列、組合的應用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題．10、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.11、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．12、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計算，可得結果.【詳解】由題可知：則質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數：故答案為：【點睛】本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計算，屬基礎題.14、【解析】

解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據二項展開式定理，求出含的系數和含的系數，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項為：，的系數為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用，屬于基礎題.16、【解析】

求出函數的導數，由在上，可得在上單調遞增，則函數最大值為，即可求出參數的值.【詳解】解：定義域為，在上單調遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與最值，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據導數和函數極值的關系即可求出；（2）先求導，再函數在區(qū)間上遞增，分離參數，構造函數，求出函數的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據對數的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數，則令，解得當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，函數取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當時，在區(qū)間上恒成立，當時，，設，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當時，函數在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點睛】此題考查了參數的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構造函數是關鍵，屬于較難題.18、（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結果.（2）利用等價轉化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據集合間的包含關系，可得結果.【詳解】（1）當時，原不等式可化為.①當時，則，所以；②當時，則，所以；⑧當時，則，所以.綜上所述：當時，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實數的取值范圍是.【點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應用，同時掌握等價轉化的思想，屬中檔題.19、（Ⅰ）單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性即可；（Ⅱ）對函數進行求導，由題意知,為增函數等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數法和基本不等式求最值即可求出實數的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區(qū)間、利用分離參數法和基本不等式求最值求參數的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯推理能力；利用導數把函數單調性問題轉化為不等式恒成立問題是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.20、（1）見解析；（2）【解析】

(1)取的中點，結合三角形中位線和長度關系，為平行四邊形，進而得到，根據線面平行判定定理可證得結論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點，連結，因為為中點，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因為，所以；（2）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標系,則，，，，，，易知面的法向量為設面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點睛