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文檔簡介
第第頁蘇教版(2023)選擇性必修第一冊4.3.1等比數列的概念與通項公式課件(共43張PPT)(共43張PPT)
4.3.1等比數列的概念
高二數學備課組
學習目標
1.通過實例,理解等比數列的概念.
2.掌握等比中項的概念并會應用.
3.掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程.
4.靈活應用等比數列通項公式的推廣形式及變形.
情境1:兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥板上記錄了下面的數列:
;①
;②
.③
請看下面幾個問題中的數列
情境導入
情境2:“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”
一尺長的木棒,每日取其一半,永遠也取不完。如果將“一尺之捶”視為1份,那么每日剩下的部分依次為
…④
情境3:細胞分類
某種細胞,如果每個細胞每分鐘分裂為2個,那么每過1分鐘,1個細胞分裂的個數依次為
1,2,4,8,16,···⑤
情境導入
情境4:銀行存款
某人存入銀行a元,存期為5年,年利率為r,那么按照復利,他5年內每年末得到的本利和分別是:
⑥
課堂探究
觀察,并說出它們的運算特點.
(1)…
(2)…
(3)…
(4)
(5)1,2,4,8,16,32,…
(6)
共同特點:
從第二項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數.
新課引入
如果一個數列從第____項起,每一項與它的前一項的___都等于___一個常數,那么這個數列就叫做___________常數叫做等數列的_____,公比通常用字母q表示
二
比
同
等比數列
公比
比
等比數列的概念
即
或
1.若一個數列從第二項起每一項與前一項的比為常數,則該數列一定是等比數列嗎
提示:不一定,根據等比數列的定義,只有比值為同一個常數時,該數列才是等比數列.
2.等比數列的首項不為零,公比可以為零嗎其它項是否可以為零
提示:不能.
3.常數列一定是等比數列嗎
提示:不一定,如0,0,0,….
1.下列數列為等比數列的是()
A.2,22,3×22,…B.,,,…
C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…
解析:BA、C、D不是等比數列,A中不滿足定義,C項可為0,
不符合定義.
2.若-1,b,-9成等比數列,則b=.
解析:由等比數列定義知=,即b2=9,故b=±3.
答案:±3
對等比數列的定義的理解
(1)“從第2項起”,也就是說等比數列中至少含有三項;
(2)“每一項與它的前一項的比”不可理解為“每相鄰兩項的比”;
(3)任意一項
(4)“同一常數q”,q是等比數列的公比,即
或.
特別注意,q不可以為零,當q=1時,等比數列為非零常數列,
非零常數列是特殊的等比數列.
【例1】已知數列{an}的前n項和為Sn,Sn=(an-1)(n∈N*)
(1)求a1,a2;
解(1)由S1=(a1-1),
得a1=(a1-1),所以a1=-.
又S2=(a2-1),
即a1+a2=(a2-1),
得a2=.
例題解析
題型一等比數列的判定
(2)求證:數列{an}是等比數列.
(2)證明:
當n≥2時,an=Sn-Sn-1
=(an-1)-(an-1-1),
得=-.
又a1=-,
所以{an}是首項為-,公比為-的
等比數列.
可利用等比數列的定義來判斷一個數列是否為等比數列
{an}是等比數列
或{an}是等比數列
類比等差數列,在如下的兩個數之間,插入一個什么數后這三個數就會成為一個等比數列:
(1)2,(),8(2)-12,(),-3
4或-4
6或-6
由三個數a,G,b組成的等比數列可以看成是最簡單的等比數列.
這時,G叫做a與b的等比中項且G2=ab.
課堂探究
注:
G是a與b的等比中項,則a與b的符號相同,
符號相反的兩個實數不存在等比中項
,即等比中項有兩個,且互為相反數.
(2)反過來,當時,G不一定是a與b的等比中項.
例如,但0,0,5不是等比數列.
(三維P95)
例題解析
例2
增加什么條件可以使得該數列為等比數列?
課堂練習
在數列中,若,且.證明:數列是等比數列.
證明:
(法一定義法)
因為,所以.
又因為
所以
所以數列是首項為,公比為2的等比數列.
例題解析
等比數列的判定與證明
課堂練習
證明:
(法二等比中項法)
因為,所以.
又因為
所以
所以
即成等比數列,
所以,數列是等比數列.
例題解析
等比數列的判定與證明
在數列中,若,且.證明:數列是等比數列.
注:證明數列是等比數列常用的方法
合作探究
定義法:
或
為等比數列
等比中項法:
小結
4.3.2等比數列的通項公式(1)
高二數學備課組
思考1:前面我們已經學習了等差數列,你還記得我們從哪幾個方面研究的嗎?
1.等差數列定義:
如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數就叫做等差數列的公差(常用字母d表示).
數學表達式為:
an-an-1=d(n≥2)
或an+1-an=d
復習回顧
2.等差數列的通項公式:
an=a1+(n-1)d
=am+(n-m)d
方法:歸納法、累加法
3.等差數列通項公式的基本性質:
復習回顧
等比數列定義:
如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,這個數列就叫做等比數列,這個常數就叫做等比數列的公比(常用字母q表示).
數學表達式為:
復習回顧
思考:你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎?
設一個等比數列的公比為q,根據等比數列的定義,可得
.
課堂探究
探究1:等比數列的通項公式
等差數列
歸納
等比數列
.
等差數列
等比數列
(累加)
(累乘)
(n-1)個
式子相加
(n≥2)
(n-1)個式子相乘
(n≥2)
則
由此可得
又即滿足上式
已知一個等比數列的首項和公比,可以確定這個數列的任何一項。
公式中共有四個量,只要知道其中的任意三個量的值,就可以利用方程思想求出第四個量的值,即知三求一。
新知講解
首項為,公比為q的等比數列的通項公式為
例題解析
角度一:等比數列的基本運算
【例1】在等比數列{an}中:
(1)a1=1,a4=8,求an;
解(1)因為a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)an=625,n=4,q=5,求a1;
解(2)a1===5,故a1=5.
(三維P94例2)
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解(3)因為
由,得q=,從而a1=32.
又an=1,
所以32×=1,
即26-n=20,故n=6.
例題解析
合作探究
練一練:若等比數列的第4項和第6項分別為48和12,
求的第5項.
分析:
等比數列由,q唯一確定,
可利用條件列出關于,q的方程(組),進行求解.
解法1:
由,得
②的兩邊分別除以①的兩邊,得
解得
把
代入①,得
此時
把
代入①,得
此時
因此,的第5項是24或-24.
解法2:
因為是與的等比中項,所以
所以
因此,的第5項是24或-24.
使用等比中項法計算時要特別注意該項的符號!
思考:若把題目中的條件改成第3和第7項呢?
等差數列
若等差數列{an}的公差為,
則任意兩項與滿足:
等比數列
類比
課堂探究
探究2:等比數列的基本性質
若等比數列{an}的公比為q,
則任意兩項與滿足:
例2:在等比數列{an}中,
(1)已知a3=20,a6=160,求an;
例題解析
(2)已知a5=8,a8=1,求a1和q;
(3)已知a4=12,a8=6,求a12.
在等比數列{an}中,
(1)已知a3=2,q=-1,求a15;
(3)已知a5=4,a7=6,求a9.
鞏固練習
(2)已知a2=18,a4=8,求a1和q;
例題解析
角度2:靈活設元求解等比數列問題
答案45
(1)解析設這四個數分別為a,aq,aq2,aq3,
則a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差數列.
即
整理得解得a=3,q=2.
因此這四個數分別是3,6,12,24,其和為45.
【例3】(1)有四個數成等比數列,將這四個數分別減去1,1,4,13成等差數列,則這四個數的和是.
(2)解法一:設前三個數為,a,aq,
則·a·aq=216,所以a3=216.所以a=6.
因此前三個數為,6,6q.
由題意知第4個數為12q-6.
所以6+6q+12q-6=12,解得q=.
故所求的四個數為9,6,4,2.
法二:設后三個數為4-d,4,4+d,則第一個數為(4-d)2,由題意知(4-d)2×(4-d)×4=216,解得4-d=6.所以d=-2.故所求得的四個數為9,6,4,2.
(2)有四個實數,前三個數成等比數列,且它們的乘積為216,后三個數成等差數列,且它們之和為12,求這四個數.
幾個數成等比數列的設法
(1)三個數成等比數列設為:,a,aq.
推廣到一般:奇數個數成等比數列設為:…,,,a,aq,aq2,…;
(2)四個符號相同的數成等比數列設為:,,aq,aq3.
推廣到一般:偶數個符號相同的數成等比數列設為:
…,,,,aq,aq3,aq5,…;
(3)四個數成等比數列,不能確定它們的符號相同時,
可設為:a,aq,aq2,aq3.
1.在2和20之間插入兩個數,使前三個數成等比數列,后三個數成等差數列,則插入的兩個數的和為()
A.-4或B.4或
解析:B設插入的第一個數為a,則插入的另一個數為.
由a,,20成等差數列得2×=a+20.
∴a2-a-20=0,解得a=-4或a=5.
當a=-4時,插入的兩個數的和為a+=4.
當a=5時,插入的兩個數的和為a+=.
C.4D.17
跟蹤訓練
2.在等比數列{an}中.
(1)若它的前三項分別為5,-15,45,求a5;
解:(1)因為a5=a1q4,而a1=5,q==-3,
所以a5=405.
(2)若a4=2,a7=8,求an.
解:(2)因為所以
由得q3=4,從而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=.
課堂探究
探究3:等比數列的運算性質
等差數列
等比數列
{an}
等比數列的運算性質
在等比數列中,若m+n=p+q(),
則,
①特別地,當m+n=2k()時,
②對有窮等比數列,與首末兩項“等距離”的兩項之積
等于首末兩項的積,
即
課堂探究
2.若等比數列{n}的各項均為正數,且1011+912=2e5,則ln1+ln2+…+ln20=________.
50
3.在等比數列{n}中,各項均為正值,且610+35=41,48=5,則4+8=________
1.在等比數列{n}中,若3,15是方程x2-6x+8=0的根,則9(117)=________
合作探究
等比數列與指數函數的關系
由可知,
當q>0且
時,
等比數列的第n項
是指數函數當x=n時的函數值,
即(右圖所示).
反之,任給指數函數
則
構成一個等比數列
其首項為,
公比為a.
課堂探究
探究4:函數角度理解等比數列
合作探究
等比數列的單調性
由等比數列的通項公式與指數型函數的關系可得等比數列的單調性
如下:
(1)當時,等比數列為
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