后繼函數(shù)與極限環(huán)的穩(wěn)定性

后繼函數(shù)與極限環(huán)的穩(wěn)定性1Poineare映射與后繼函數(shù)設(shè)平面系統(tǒng)（1）為足夠大的正數(shù)，并設(shè)是系統(tǒng)(1)的一條閉軌線，其方程為與是周期為的函數(shù).在上任意一點(diǎn)作的外法向量，在的足夠小的鄰域內(nèi)的法線短設(shè)為，選取上任意一點(diǎn),B并設(shè)從到的有限距離為，由解對(duì)初值的連續(xù)依賴性可知，從出發(fā)的軌線環(huán)繞閉軌一周后，必將再次與法線短相交于點(diǎn)。記與的有向距離為，于是將是的函數(shù)，并記為，如圖(1)所示。定義1稱為的后繼點(diǎn);為后繼函數(shù)，有時(shí)也稱為后繼函數(shù)。當(dāng)后繼函數(shù)時(shí)，即表示過(guò)點(diǎn)的軌線是一條閉軌線。通過(guò)對(duì)后繼函數(shù)的幾何理解，很容易得出下列有關(guān)極限環(huán)穩(wěn)定性的重要結(jié)論若對(duì)法線段上任意一點(diǎn)均有或，則為不穩(wěn)定的極限環(huán)；若或，則為穩(wěn)定的極限環(huán)；若，則為外穩(wěn)定而內(nèi)不穩(wěn)定的半穩(wěn)定極限環(huán)；若，則為外不穩(wěn)定而內(nèi)穩(wěn)定的半穩(wěn)定極限環(huán)；若，則為周期環(huán)。根據(jù)后繼函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以定義極限環(huán)的重?cái)?shù)定義2若則稱為重極限環(huán)。特別地，稱為單重極限環(huán)或簡(jiǎn)單極限環(huán)。顯然這里的重極限環(huán)對(duì)應(yīng)于后繼函數(shù)的重根。通過(guò)后繼函數(shù)在零點(diǎn)泰勒展開(kāi)很容易的到這個(gè)結(jié)論。2曲線坐標(biāo)與極限環(huán)的穩(wěn)定性設(shè)有系統(tǒng)(1)的閉軌線，逆時(shí)針?lè)较?，其房程為與均為周期為的周期函數(shù).在的足夠小的鄰域內(nèi)，建立曲線坐標(biāo)如下圖2，，過(guò)點(diǎn)作的法線與相交于點(diǎn)。取法線方向向外為正。在任意固定一點(diǎn)作為度量弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎⒂浕￠L(zhǎng)，法線上的有向距離。于是內(nèi)的點(diǎn)與數(shù)組構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，稱為點(diǎn)的曲線坐標(biāo)。（6）證顯然此系統(tǒng)有唯一的奇點(diǎn)，并且是不穩(wěn)定的焦點(diǎn).取Liapunov函數(shù)，則其全導(dǎo)數(shù)為當(dāng)時(shí)，，因此由Poincare切性曲線法定理知系統(tǒng)在內(nèi)無(wú)閉軌線，并且任何閉軌與單位圓周不相交。若不然，假設(shè)存在一個(gè)閉軌與單位圓周相交，如圖（3）所示由于選取的函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)在單位圓周上的全導(dǎo)數(shù)大于零，所以系統(tǒng)軌線通過(guò)圓周的方向都應(yīng)該是指向圓周外側(cè)的，所以從上圖可以看出，其閉軌的軌線方向與圓周上軌線的方向矛盾，所以軌線與園周邊不想交.另一方面，引入極坐標(biāo)，則這里是因?yàn)?。所以?dāng)時(shí)，，其中。由環(huán)域定理知，系統(tǒng)在環(huán)域至少存在一個(gè)閉軌線，顯然它是環(huán)繞單位圓周的。下面來(lái)說(shuō)明它也是系統(tǒng)唯一的閉軌，并且是雙曲穩(wěn)定的極限環(huán)。事實(shí)上，由這里是因?yàn)樵谏?，有。有上述的定義（3）可知特征值數(shù)，顯然閉軌線是雙曲的穩(wěn)定極限環(huán).有注意到系統(tǒng)有唯一的不穩(wěn)定奇點(diǎn)，如果系統(tǒng)還存在另外的閉軌線，這條閉軌也圍繞單位圓周，又由于其特征值數(shù)小于零，可知這條閉軌線也是穩(wěn)定的，從而與我們上述分析的矛盾，所以此系統(tǒng)僅存在唯一的閉軌線.所以說(shuō)，雖然求解一個(gè)閉軌的特征指數(shù)需要知道其閉軌的方程，但有些時(shí)候，我們僅僅利用原系統(tǒng)的性質(zhì)就可判斷出特征值數(shù)在某一區(qū)域的符號(hào)，這對(duì)我們來(lái)判斷極限環(huán)的唯一性，存在性，穩(wěn)定性帶來(lái)了很大的便捷。而且有些時(shí)候，還可以判斷奇點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.就像例1，我們首先判斷出了系統(tǒng)僅有唯一的一個(gè)奇點(diǎn)，而且是不穩(wěn)定的，所以才有下述的結(jié)論，倘若我們計(jì)算出來(lái)的是系統(tǒng)僅有唯一的一個(gè)奇點(diǎn)，而且這個(gè)奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，還可以證明其特