慣性坐標(biāo)系的定義及其應(yīng)用

慣性坐標(biāo)系的定義及其應(yīng)用

纖維表述的簡化描述采用慣性坐標(biāo)系k可自然調(diào)整任何顆粒的速度。為了將l定義為世界l，可以將1階路徑l的任何顆粒表示為。ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2.(3-3-1)以p代表元段的起點(diǎn),則粒子在時(shí)刻p相對于慣性系K的速率自然定義為u≡√dx2+dy2+dz2dt.(3-3-2)于是式(3-3-1)可改寫為ds2=-dt2(1-dx2+dy2+dz2dt2)=-(1-u2)dt2.(3-3-3)以符號“?”代表“等價(jià)于”,則上式表明:u=1?ds2=0?線元為類光,(3-3-4a)u<1?ds2<0?線元為類時(shí).(3-3-4b)利用上兩式可把狹義相對論的兩個(gè)基本“信條”用4維語言重新表述.這兩個(gè)信條的3維表述是大家熟知的兩句話:(A)光子相對于任何慣性系的速率u=1(此即光速不變原理的核心內(nèi)容);(B)質(zhì)點(diǎn)相對于任何慣性系的速率u<1(此即“質(zhì)點(diǎn)必須亞光速”).現(xiàn)在,借助于等價(jià)關(guān)系式(3-3-4)又可以把兩個(gè)信條用4維語言重新表述如下:(a)光子的世界線是(閔氏時(shí)空的)類光曲線;(b)質(zhì)點(diǎn)的世界線是(閔氏時(shí)空的)類時(shí)曲線.由式(3-3-4)可知4維表述(a)、(b)等價(jià)于3維表述(A)、(B).然而,3維表述總要借助于坐標(biāo)系,而且還涉及粒子速率u的定義,不但不如4維表述簡練自足,而且有時(shí)還會招致誤解.特別是,人們往往把3維表述(A)、(B)簡單地記憶為(A′)光子的速率u=1;(B′)質(zhì)點(diǎn)的速率u<1,(或者更簡單地記憶為“相對論不許超光速”),則更是容易引起誤解和不必要的困惑.關(guān)鍵在于,“速率”一詞可以有各種(無限多種)不同定義,其中有些在物理上還很合理,很有資格被稱為速率,但只要與質(zhì)點(diǎn)相對于慣性系的速率定義式(3-3-2)不等價(jià),這樣的“速率”超過光速c就未必違背兩個(gè)信條,就未必與4維表述(a)、(b)相矛盾(“超光速”質(zhì)點(diǎn)的世界線仍然可以是類時(shí)曲線),因而是完全允許的,不在被禁止之列.然而,如果只記住“相對論不許超光速”,就會誤以為連這種“超光速”也有悖于相對論,也必須被禁止.這種誤解的例子很多,下面僅舉三例.例1設(shè){t,x,y,z}是慣性坐標(biāo)系,用下式定義新坐標(biāo)系{T,X,Y,Z}:T≡t/2,X≡x,Y≡y,Z≡z,(3-3-5)則U≡√dX2+dY2+dΖ2dΤ(3-3-6)自然就是質(zhì)點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的速率.由上式易得U=√dx2+dy2+dz2dt/2=2√dx2+dy2+dz2dt=2u.[末步用到式(3-3-2)]設(shè)u=2/3(即2c/3),便有U=4/3>1,即質(zhì)點(diǎn)超光速.注6本例是一位美籍華人在北京做報(bào)告時(shí)對狹義相對論提出的一個(gè)質(zhì)疑,本書第一作者當(dāng)時(shí)在聽眾席.述評本例的U>1的確違背(B′),但并不違背準(zhǔn)確提法(B),因?yàn)?B)要求u是質(zhì)點(diǎn)相對于慣性系的速率,而新系{T,X,Y,Z}不是慣性系.如果聽完例1后跟著去大驚小怪,那完全是庸人自擾.例2設(shè)K≡{t,x,y,z}是慣性坐標(biāo)系,質(zhì)點(diǎn)甲、乙沿x軸相背而行,如圖3-14.以x甲和x乙代表甲、乙的x坐標(biāo),則R≡x甲-x乙是兩者的距離.有人喜歡用下式定義“甲乙之間的、由K系測得的相對速率”u:u≡dRdt,(3-3-7)于是u=dx甲dt-dx乙dt.而dx甲/dt和dx乙/dt分別是甲和乙相對于K系的速率(記作u甲和u乙),故u=u甲-u乙.只要取u甲=-u乙=2/3(即2c/3),便有u=4/3>1,即超光速.述評由式(3-3-7)定義的u并非哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對于哪個(gè)慣性系的速率,它大于光速c并不違背信條(B).事實(shí)上,例1的u=2/3和例2的u甲=-u乙=2/3都不會改變兩例所涉及的質(zhì)點(diǎn)的世界線是類時(shí)曲線這一事實(shí),根本不違背基本信條的4維表述(b),什么問題也沒有.例3本例是宇宙論中經(jīng)常被問及的一個(gè)有趣而且實(shí)際的問題,詳見選讀3-2.[選讀3-2]宇宙是個(gè)“無所不包”的最大時(shí)空.由于存在大量物質(zhì),這個(gè)時(shí)空是彎曲的,不存在什么慣性系.不過,宇宙存在一個(gè)特殊的、各向同性的參考系,稱為宇宙靜系,其中的時(shí)間坐標(biāo)t稱為宇宙時(shí),它的每一同時(shí)面∑t代表宇宙在時(shí)刻t的全空間(也就是3維語言中的宇宙).在宇宙這個(gè)浩瀚的“大海”中,一個(gè)星系(例如我們的銀河系)就如同“滄海之一粟”,可以被處理為宇宙時(shí)空中的一條世界線,它與每一同時(shí)面∑t的交點(diǎn)就代表“t時(shí)刻的該星系”.觀測表明宇宙自創(chuàng)生開始至今一直在膨脹之中,表現(xiàn)為每一星系都覺得其他星系不斷離自己退行而去.作為比喻,考慮一個(gè)布滿螞蟻的氣球.當(dāng)氣球膨脹時(shí),每一螞蟻都看到其他螞蟻在退行.沒有一個(gè)螞蟻是特殊的.同氣球膨脹一樣,宇宙的膨脹也沒有中心.任意兩個(gè)星系的距離D都是宇宙時(shí)t的函數(shù),可記作D(t),兩星系之間的退行速率u自然定義為D(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù):u≡dD(t)/dt.(3-3-8)宇宙論有一個(gè)哈勃定律,斷言當(dāng)今任意兩個(gè)星系之間的退行速率u與它們的距離D成正比:u=HD,(3-39)其中H是比例常數(shù)(哈勃常數(shù)).由上式可知,當(dāng)D足夠大時(shí)u可以大于光速.許多人對此感到疑惑:這是否違背相對論的基本信條?答案是并不違背.關(guān)鍵在于,雖然用式(3-3-8)給退行速率下定義非常合理,但它并不等價(jià)于式(3-3-2)的速率定義【注文1】,這樣的u大于光速未必違背相對論.判斷是否違背相對論的最佳辦法是用基本信條的4維表述(b),也就是看看每個(gè)星系的世界線是否為類時(shí)曲線.事實(shí)上,用4維語言討論宇宙論時(shí)自始至終都默認(rèn)每一星系的世界線是類時(shí)線[詳見文獻(xiàn)第10章],因此由式(3-3-8)定義的u超過光速并不帶來任何問題.讀者由此應(yīng)該再次悟出(我們提倡一個(gè)“悟”字)4維語言的優(yōu)越性.試想:只記住“相對論不許超光速”而不知道對速率的定義有所要求就容易上當(dāng),而4維表述(b)(即“質(zhì)點(diǎn)的世界線是類時(shí)線”)則簡練自足,毫無誤導(dǎo)之虞.惟一缺點(diǎn)是不懂世界線和類時(shí)線的讀者無從理解,如讀天書.不過,只要按照本書第2、3章的講法對有關(guān)概念很快就能學(xué)會(就像用傻瓜照相機(jī)前稍微學(xué)一學(xué)簡單用法),又何樂而不為呢?[選讀3-2完]固有時(shí)空點(diǎn)的確定慣性坐標(biāo)系{t,x,y,z}中的坐標(biāo)t也稱為慣性坐標(biāo)時(shí),簡稱坐標(biāo)時(shí),與固有時(shí)τ既有區(qū)別又有聯(lián)系.坐標(biāo)時(shí)與固有時(shí)有如下兩點(diǎn)重要區(qū)別:(1)固有時(shí)只對世界線上的點(diǎn)而言,脫離世界線就沒有固有時(shí)可言.如果兩條不同的世界線L1和L2交于p點(diǎn),則p點(diǎn)作為L1的一點(diǎn)的固有時(shí)可以不同于它作為L2的一點(diǎn)的固有時(shí).因此,“固有時(shí)”前面應(yīng)該加一個(gè)定語,即明確說成“某世界線的固有時(shí)”.當(dāng)然,每次都加定語會過于啰嗦,但至少要在心中明確,做到心照不宣.(遺憾的是,有太多的人在談及固有時(shí)的時(shí)候心中對此定語若明若暗.你如果問他:“誰的固有時(shí)?”他可能答不出來.)反之,坐標(biāo)時(shí)與世界線無關(guān),對任一時(shí)空點(diǎn)p的都可談及它的慣性坐標(biāo)時(shí).(2)同一時(shí)空點(diǎn)p在不同慣性坐標(biāo)系中可以有不同的慣性坐標(biāo)時(shí).因此,“坐標(biāo)時(shí)”前面應(yīng)該加一個(gè)定語(至少做到心照不宣),即明確說成“某某慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)時(shí)”.而固有時(shí)則與坐標(biāo)系毫無關(guān)系.應(yīng)該防止另一極端,那就是亂加定語,例如,如果說“p點(diǎn)在某坐標(biāo)系的固有時(shí)”或者“p點(diǎn)作為某世界線的一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)”,都會貽笑大方.如果p點(diǎn)在某條世界線L上,當(dāng)然可以談及它作為L線的一點(diǎn)的固有時(shí)τ.如果又選定了一個(gè)慣性坐標(biāo)系{t,x,y,z},當(dāng)然也可談及p點(diǎn)在這個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)時(shí)t.我們想找出τ與t的關(guān)系.設(shè)dL是L的一個(gè)元段,起點(diǎn)為p(仍見圖3-13).注意到L是類時(shí)曲線,由式(3-2-1)可知元段dL的固有時(shí)間dτ=√-ds2(3-4-1)故dτ2=-ds2,(3-4-2)設(shè)u是以L為世界線的質(zhì)點(diǎn)相對于所論坐標(biāo)系的速率,則上式與式(3-3-3)結(jié)合便得dτ2=(1-u2)dt2(3-4-3).再利用符號γu≡1/√1-u2就可把上式改寫為dtdτ=γu.(3-4-4)上式就是慣性坐標(biāo)時(shí)t與固有時(shí)τ的微分關(guān)系式.當(dāng)L是所選慣性系內(nèi)的一個(gè)慣性觀者時(shí),由式(3-3-2)可知其u=0,故γu=1,注意到τ=0時(shí)t=0,對式(3-4-4)積分便得t=τ.這是很自然的,因?yàn)?根據(jù)圖3-11所涉及的一段,任一時(shí)空點(diǎn)p(當(dāng)時(shí)記作a)的坐標(biāo)時(shí)tp本來就定義為tp≡τp,其中τp是該系過p點(diǎn)的那條慣性觀者世界線在p點(diǎn)的固有時(shí).時(shí)空圖的“欺騙性”前已講過,畫時(shí)空圖前應(yīng)選定基準(zhǔn)坐標(biāo)系,并把該系的x軸和t軸畫成橫平豎直.仍以地面系{t,x,y,z}和火車系{t′,x′,y′,z′}為例,假定兩系有最簡關(guān)聯(lián).選定地面系為基準(zhǔn),則其x軸和t軸如圖3-15所示.我們希望再畫出t′軸和x′軸.由于t′軸上有x′=y′=z′=0,t′軸就是火車系的空間坐標(biāo)原點(diǎn)O′的世界線.O′點(diǎn)顯然相對于地面沿x正向勻速運(yùn)動,故其世界線應(yīng)是圖中標(biāo)有t′的斜直線.至于x′軸,許多初學(xué)者會不假思索地畫成圖中的虛直線.然而這是錯(cuò)的!理由如下.既然已知t,x軸而待求t′,x′軸,應(yīng)該從兩系坐標(biāo)之間的關(guān)系出發(fā),這關(guān)系由洛倫茲變換t′=γ(t-vx),x′=γ(x-vt)(3-5-1)給出.先檢查t′軸.既然t′軸上各點(diǎn)有x′=0,代入式(3-5-1)得x-vt=0,即t=1vx+0,(3-5-2)根據(jù)解析幾何,在以x和t為橫平豎直的坐標(biāo)軸的情況下,上式所代表的曲線是一條過原點(diǎn)的直線(“過原點(diǎn)”是因?yàn)榻鼐酁榱?,而且斜率為v-1(>1).可見圖3-15的t′軸是正確的.另一方面,x′軸上各點(diǎn)有t′=0,代入式(3-5-1)得t=vx,可見x′軸是過原點(diǎn)的直線,斜率為v(>0).然而圖3-15的“x′軸”的斜率卻為負(fù),所以必定是錯(cuò)的.正確的x′軸示于圖3-16中.由于t′軸和x′軸的斜率互為倒數(shù),它們對稱地分居于圖中的點(diǎn)劃線(光子世界線)的兩側(cè).常常有人提出這樣的問題:t軸與x軸是正交的,而t′軸與x′軸卻不正交,這豈非意味著兩個(gè)慣性系互不平權(quán)?其實(shí)這只是時(shí)空圖的“欺騙”,是人們習(xí)慣于用歐氏幾何想問題的結(jié)果.對時(shí)空圖應(yīng)當(dāng)用閔氏幾何想問題.根據(jù)閔氏幾何,圖3-16的t′軸正交于x′軸,就是說,兩軸互相閔氏正交而歐氏非正交.(本書并未給出閔氏正交的定義,讀者只能承認(rèn)此結(jié)論.)反之,圖3-15的t′軸與“x′軸”卻是歐氏正交而閔氏非正交的.如果愿意,你也可以選{t′,x′}系為基準(zhǔn),圖3-17就是所得的時(shí)空圖,它與圖3-16貌似不同,實(shí)質(zhì)等價(jià).時(shí)空圖的“欺騙性”不但體現(xiàn)在正交性上,還體現(xiàn)在曲線長度的判斷中.設(shè)p=(tp,xp)為任一時(shí)空點(diǎn),op是連接o與p的直線段(見圖3-18),其線長按閔氏幾何為lop=√|-t2p+x2p|,可見雙曲線-t2+x2=α(常數(shù))上各點(diǎn)與o點(diǎn)所連直線等長,例如op與oq等