二次函數(shù)全面復(fù)習(xí)蘇科版

二次函數(shù)

復(fù)習(xí)課2023/10/30一、二次函數(shù)概念及應(yīng)用

1、二次函數(shù)的概念：函數(shù)y=

(a、b、c為常數(shù)，______)叫做二次函數(shù)。ax2+bx+ca

≠０

2、二次函數(shù)的圖象是一條

。

拋物線3、二次函數(shù)y=x2-2x-3的a=_____,b=_____,c=____

1-2-3即二次函數(shù)的標準式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)2023/10/301、下列函數(shù)哪些是二次函數(shù)？哪些不是為什么？復(fù)習(xí)訓(xùn)練√√××××2、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)是二次函數(shù)的有（2）、（4）2023/10/30二、函數(shù)的圖象及性質(zhì)拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標最值增減性y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+ka＞0向上a＜0向下a＞0向上a＞0向上a＞0向上a＜0向下a＜0向下a＜0向下y軸直線x=h直線x=hy軸(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)2023/10/30y=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移結(jié)論:一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同,位置不同。（a值決定拋物線的形狀）各種形式的二次函數(shù)的關(guān)系2023/10/30二次函數(shù)y=a(x－h(huán))2+ky=ax2+bx+c開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜0二次函數(shù)的y=ax2+bx+c的性質(zhì)a＞0開口向上a＜

0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=ky最小=y最大=在對稱軸左邊，x↗y↘；在對稱軸右邊，x↗y↗

在對稱軸左邊，x↗y↗

；在對稱軸右邊，x↗y↘2023/10/30形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0

）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）二次函數(shù)頂點式：y=a（x-h)2+k（a≠0）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)二次函數(shù)的幾種關(guān)系式2023/10/301、二次函數(shù)y=2(x-3)2+7的圖象頂點坐標是

，對稱軸是

；3、二次函數(shù)

圖象的頂點坐標和對稱軸方程為（）A、（1，-2），x＝1

B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-1DA2、拋物線

的對稱軸及頂點坐標分別是（

）A、y軸，（０，-4）

B、x＝３，（０，４）C、x軸，（０，０）D、y軸，（０，３）復(fù)習(xí)訓(xùn)練（3,7）x=32023/10/304、函數(shù)的開口方向

，頂點坐標是

，對稱軸是

.當(dāng)x

時.y隨x的增大而減小。當(dāng)x

時.y有最

為

.

向上＜－１＝－１小頂點坐標公式2023/10/305.將函數(shù)y=x2+6x+7進行配方正確的結(jié)果應(yīng)為（）C2023/10/30練習(xí)1.拋物線y=x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位可得到拋物線

。拋物線的平移規(guī)律：上加下減左加右減拋物線的平移一般都要寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k2023/10/302、將拋物線y=-3x2-1向上平移2個單位,再向右平移3個單位,所得的拋物線的表達式為

，

若把拋物線y=x2+bx+c向左平移3個單位,再向上平移2個單位,得拋物線y=x2-2x+2,則b=

，c=,-815思考題2023/10/30思考拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式是解題思路:①將原拋物線寫成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k②寫出頂點(h,k)③寫出頂點(h,k)關(guān)于x軸的點的坐標(h,-k)則關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式是y=-a(x-h)2-k關(guān)于x軸對稱:關(guān)于y軸對稱:①將原拋物線寫成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k②寫出頂點(h,k)③寫出頂點(h,k)關(guān)于y軸的點的坐標(-h,k)則關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式是y=a(x+h)2+k2023/10/30已知拋物線y＝－x2－2x＋m.(2)若拋物線與y軸交于正半軸，則m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(1)若拋物線經(jīng)過坐標系原點，則m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(4)若拋物線與x軸有兩個交點，則m______。(3)若拋物線與x軸有一個交點，則m_______.＞＝＞－1＝－12023/10/30三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象特征與a、b、c的關(guān)系。項目字母符號圖象的特征a開口向上開口向下b對稱軸是y軸對稱軸在y軸左側(cè)對稱軸在y軸右側(cè)c經(jīng)過原點與y軸正半軸相交與y軸負半軸相交ab<0c=0c>0c<0b=0ab>0a>0a<02023/10/30

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數(shù)是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤開口方向:向上a>0;向下a<0對稱軸:在y軸右側(cè)a、b異號;在y軸左側(cè)a、b同號與y軸的交點:在y軸正半軸c>0;在y軸負半軸c<0與x軸的交點:兩個不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;沒有b2-4ac<0a+b+c由當(dāng)x=1時的點的位置決定;a-b+c由當(dāng)x=-1時的點的位置決定例2023/10/30中考鏈接1.（北京）如果b＞0，c＞0，那么二次函數(shù)的圖象大致是（

）

A.

B.

C.

D.D2023/10/302.如圖，拋物線的頂點P的坐標是（1，－3），則此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)有（）（A）最大值1（B）最小值－3（C）最大值－3（D）最小值1B中考鏈接2023/10/303.拋物線的圖像如下，則滿足條件a＞0,b＜0,c＜0的是（）

ADCBD中考鏈接2023/10/304.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①abc>0；②b2-4ac<0；③b+2a<0；④a+b+c>0.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③a<0，b>0，c>0A中考鏈接2023/10/30

5.如圖，在同一坐標系中，函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx(ab≠0)的圖象只可能是（）xyoABxyoCxyoDxyoD2023/10/30四、求二次函數(shù)解析式的方法已知頂點坐標、對稱軸或最值已知任意三點坐標已知拋物線與x軸的交點坐標(x1,0)，(x2,0)2023/10/301.已知二次函數(shù)的頂點是（-1，2)且經(jīng)過點（3，9）,求函數(shù)的解析式;2.已知二次函數(shù)經(jīng)過點（0，-3）（1，-2）和點（3，0),求解析式;3.拋物線y＝x2－4x＋c的頂點在x軸，則c的值是（）

A、0 B、4 C、－4 D、24.已知二次函數(shù)的經(jīng)過（0，1）、（2，1）和（3，4），求該二次函數(shù)的解析式。求函數(shù)的解析式解析式為y=2x2-7x-3B設(shè)二次函數(shù)解析式為y=kx2+bx+c;求得二次函數(shù)解析式為y=x2-2x+1;2023/10/30求函數(shù)的解析式

5.（2008云南）已知在同意個直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y=的圖像交于點A(-1,m)（1）求m,c的值；（2）求二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標。m=-5c=-22023/10/30二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，求此函數(shù)解析式。-632-2（1）方法一

（一般式）方法二

（頂點式）方法三

（交點式）（2）知識拓展練習(xí)2023/10/30一般式：解：依題意把點（2，0）（-6，0）（0，3）可得：

4a+2b+c=0c=336a-6b+c=0

解得：a=b=-1c=3所以二次函數(shù)的解析式為：2023/10/30頂點式：解：因為二次函數(shù)的對稱軸為x=-2,所以可設(shè)函數(shù)的解析式為：y=a(x+2)2+k，把點（2，0）（0，3）代入可得：

16a+k=04a+k=3解得a=k=4所以二次函數(shù)的解析式為：2023/10/30交點式：解：因為拋物線與x軸相交的兩個點的坐標為（2，0）（-6，0），可設(shè)該函數(shù)的解析式為：y=a(x+6)(x-2),把點（0，3）代入得：

3=-12a

解得：a=所以二次函數(shù)的解析式為：2023/10/3023-2-6拓展：若拋物線y1=a1x2+b1x+c1與以上拋物線關(guān)于x軸對稱，試求y1=a1x2+b1x+c1的解析式。6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，求此函數(shù)解析式。練習(xí)2023/10/30中考鏈接：1.已知拋物線的部分圖象如圖,則拋物線的對稱軸為直線x=

,滿足y＜0的x的取值范圍是

,將拋物線向

平移

個單位,則得到拋物線

31＜X＜5下12023/10/30中考鏈接：2.根據(jù)圖1中的拋物線，當(dāng)x

時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x

時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x

時，y有最大值。圖1＜2＞2＝22023/10/303.如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點O，其直徑CD、EF均和x軸垂直，以O(shè)為頂點的兩條拋物線分別經(jīng)過點C、E和點D、F，則圖中陰影部分的面積是

。中考鏈接：2023/10/30中考鏈接：4.張大伯準備用40m長的木欄圍一個矩形的羊圈，為了節(jié)約材料同時要使矩形的面積最大，他利用了自家房屋一面長25m的墻，設(shè)計了如圖一個矩形的羊圈。請你求出張大伯矩形羊圈的面積；請你判斷他的設(shè)計方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又該如何設(shè)計？并說明理由。2023/10/30練習(xí)：5.如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD組成，矩形的長BC為8米，寬AB為2米，以BC所在的直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系。y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點的距離為6米。（1）求拋物線的解析式；（2）現(xiàn)有一貨車卡高4.2米，寬2.4米，這輛車能否通過該隧道？請說明理由。（3）若該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，該輛車還能通過隧道嗎？請說明理由。能通過能通過2023/10/30（2）現(xiàn)有一貨車卡高4.2米，寬2.4米，這輛車能否通過該隧道？請說明理由。

解：把x=1.2代入中，解得y=5.64?！?.2＜5.64∴這輛車能通過該隧道貨車2023/10/30(3)若該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一貨車卡高4.2米，寬2.4米，這輛車能否通過該隧道？請說明理由。

貨車解：把x=2.4代入中，解得y=4.56?！?.2＜4.56∴這輛車能通過該隧道2023/10/30二次函數(shù)y=2x2、的圖象與二次函數(shù)y=x2

的圖象有什么相同和不同？

a＞0二次函數(shù)的一個特性2023/10/30Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1a＜02023/10/30課堂小結(jié)：1、二次函數(shù)的概念：二次函數(shù)的概念：函數(shù)y=(a、b、c為常數(shù)，其中)叫做二次函數(shù)。2、二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。3、二次函數(shù)的性質(zhì)：包括拋物線的三要素，最值，增減性。4、二次函數(shù)的實踐應(yīng)用（數(shù)形結(jié)合）具體體現(xiàn)在解決一些實際應(yīng)用題中。ax2+bx+ca

≠０2023/10/30二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象頂點坐標是__________對稱軸是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12一般式

y=ax2+bx+c頂點式

y=a(x-h)2+k二次函數(shù)的解析式:y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸:直線x=h頂點:(h,k)二次函數(shù)的圖象:是一條拋物線二次函數(shù)的圖象的性質(zhì):開口方向;對稱軸;頂點坐標;

增減性;最值2023/10/30二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象頂點坐標是__________對稱軸是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12畫二次函數(shù)的大致圖象:①畫對稱軸②確定頂點③確定與y軸的交點④確定與x軸的交點⑤確定與y軸交點關(guān)于對稱軸對稱的點⑥連線x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)2023/10/30二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象頂點坐標是__________對稱軸是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)增減性:當(dāng)時,y隨x的增大而減小當(dāng)時,y隨x的增大而增大最值:當(dāng)時,y有最值,是小函數(shù)值y的正負性:當(dāng)

時,y>0當(dāng)

時,y=0當(dāng)

時,y<0x<-2或x>3x=-2或x=3-2<x<32023/10/30例6:施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O(shè)點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,yxoPBCADM(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD,使A、D兩點在拋物線上,B、C兩點在地面OM上,為了籌備材料,需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少?請你幫忙計算一下.解:(1)點M的坐標是(12,0),點P的坐標是(6,6)(2)設(shè)此拋物線解析式為y=a(x-6)2+6又因為它經(jīng)過(0,0),則0=a(0-6)2+62023/10/30例6:施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O(shè)點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,yxoPBCADM(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD,使A、D兩點在拋物線上,B、C兩點在地面OM上,為了籌備材料,需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少?請你幫忙計算一下.(3)設(shè)點A的橫坐標為m,則點A的縱坐標是∴AD=BC=12-2m,AB=CD=∴AB+AD+DC=當(dāng)m=3時,即OB=3米時,3根木桿長度之和的最大值為15米.2023/10/30例6:施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O(shè)點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,yxoPBCADM如果現(xiàn)有一輛寬4米,高4米的卡車準備要通過這個隧道,問它能順利通過嗎?解:當(dāng)x=4時,即當(dāng)這個隧道在中心兩旁4米寬時的頂?shù)母叨冗_到了5米多,而車的高度只有4米,所以這兩卡車能順利通過.2023/10/304、二次函數(shù)

圖象的頂點坐標和對稱軸方程為（）A、（1，-2），x＝1

B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-1DA3、拋物線

的對稱軸及頂點坐標分別是（

）A、y軸，（０，-4）

B、x＝３，（０，４）C、x軸，（０，０）

D、y軸，（０，３）2023/10/308、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C2023/10/30-29、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的幾個特例：1）、當(dāng)x=1時，2）、當(dāng)x=-1時，3）、當(dāng)x=2時，4）、當(dāng)x=-2時，y=

y=y=y=6）、2a+b

0.

xyo1-12＞０

＜０＞０

＜０＞5）、b2-4ac

0.

＞a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c2023/10/30

選擇合適的方法求二次函數(shù)解析式：

10、拋物線經(jīng)過（2，0）（0，-2）（-1，0）三點11、拋物線的頂點坐標是（6，-2），且與X軸的一個交點的橫坐標是8。2023/10/30三種思路:已知頂點坐標、對稱軸或最值已知任意三點坐標已知拋物線與x軸的交點坐標(x1,0).(x2,0)2023/10/3012.已知拋物線

y＝x2-mx+m-1.(1)若拋物線經(jīng)過坐標系原點，則m______；

=1(2)若拋物線與y軸交于正半軸，則m______；

(3)若拋物線的對稱軸為y軸，則m______。(4)若拋物線與x軸只有一個交點，則m_______.＞1=2=02023/10/3014、求拋物線①與y軸的交點坐標;②與x軸的兩個交點間的距離.③x取何值時，y＞0?13、不論x為何值時，函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的值永遠為正的條件是_

___a>0,b2-4ac<0

-316(-1,8)-12023/10/3015

、如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3

（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(4)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．2023/10/3015.如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3

（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=-x2-2x+3Q(-1,2)2023/10/30(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．以M為圓心，MC為半徑畫弧，與對稱軸有兩交點;以C為圓心，MC為半徑畫弧，與對稱軸有一個交點（MC為腰）。作MC的垂直平分線與對稱軸有一個交點（MC為底邊）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)2023/10/30(4)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．EF(1,0)(0,3)(-3,0)(m,-m2-2m+3

)2023/10/30函數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)2023/10/30一、本章知識結(jié)構(gòu)圖實際問題二次函數(shù)實際問題的答案利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解目標2023/10/30二、回顧與思考1.舉例說明，一些實際問題中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)表示，列出函數(shù)表達式并畫出圖象．例1如圖，矩形的長是4厘米、寬是3厘米，如果將其長與寬都增加x厘米，那么面積增加y平方厘米．試寫出y與x的關(guān)系式．4cm3cmx2023/10/30例2如圖，一塊矩形草地長100米、寬80米，要在中間修筑兩條互相垂直的寬為x米的小路，這時草地的面積為y平方米．試寫出y與x的關(guān)系式．小路小路2023/10/302.結(jié)合二次函數(shù)的圖象回顧二次函數(shù)的性質(zhì)，例如根據(jù)拋物線的開口方向、頂點坐標，說明二次函數(shù)在什么情況下取得最大（?。┲担馕鍪綀D象頂點坐標對稱軸開口方向a>0a<0經(jīng)過（0，c）的一條拋物線開口向上開口向下2023/10/303.結(jié)合拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的位置關(guān)系，說明方程ax2+bx+c=0)的根的各種情況．(1)如