山西省大同市2024屆高三上學(xué)期第二次摸底（10月）數(shù)學(xué)試題含答案

山西省大同市2024屆高三上學(xué)期第二次摸底（10月）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.命題所有偶數(shù)都不是素?cái)?shù)，則是（）A.所有的偶數(shù)都是素?cái)?shù) B.所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)C.有一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù) D.有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)4.下列函數(shù)中最小值為6的是（）A. B.C. D.5.已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件能否正常工作相互獨(dú)立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個(gè)正常工作.則聽不到聲音的概率為（）A.0.19738 B.0.00018 C.0.01092 D.0.098286.已知數(shù)列滿足，則（）A.2023 B.2024 C.2027 D.40467.設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B.C D.8.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，過斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且，若Q是拋物線上任意一點(diǎn)，且，則的最小值是（）A.0 B. C. D.1二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.向量在向量方向上的投影向量互為相反向量10.下列選項(xiàng)中，滿足的有（）A. B.C. D.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）A.B.是函數(shù)的一個(gè)遞減區(qū)間C.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是12.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A.B.若，則為的極值點(diǎn)C.若，則為的極值點(diǎn)D.若，則在上單調(diào)遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________.14.曲線的一條切線的斜率為1，則該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為__________.15.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為，且，若P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則__________.16.已知函數(shù)滿足，則__________，若，則m的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，函數(shù).（1）求使成立的x的集合；（2）若先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.18.在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，從條件①、條件②中選一個(gè)作為已知條件①：；條件②：.（1）求角；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分19.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，為線段的中點(diǎn)，與平面所成的角為.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20.已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知函數(shù)定義域?yàn)镈，如果存在，使得，則稱為的一階不動(dòng)點(diǎn)；如果存在，使得，且，則稱為的二階周期點(diǎn).（1）函數(shù)否存在一階不動(dòng)點(diǎn)與二階周期點(diǎn)？（2）若函數(shù)存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在極值點(diǎn)，其極大值點(diǎn)為，最大的零點(diǎn)為，判斷與的大小關(guān)系，并證明.山西省大同市2024屆高三上學(xué)期第二次摸底（10月）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意集合，則，故選：D2.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，進(jìn)而結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.命題所有的偶數(shù)都不是素?cái)?shù)，則是（）A.所有的偶數(shù)都是素?cái)?shù) B.所有的奇數(shù)都是素?cái)?shù)C.有一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù) D.有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】因?yàn)槊}所有的偶數(shù)都不是素?cái)?shù)，所以是：有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)故選：D.4.下列函數(shù)中最小值為6的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】A.由時(shí)判斷；B.令，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；C.令，利用基本不等式求解判斷；D.由時(shí)判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；B.令，又在上遞減，所以當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值10，故錯(cuò)誤；C.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；D.當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故錯(cuò)誤；故選：C5.已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件能否正常工作相互獨(dú)立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個(gè)正常工作.則聽不到聲音的概率為（）A.0.19738 B.0.00018 C.0.01092 D.0.09828【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求能聽到聲音的概率，再利用對(duì)立事件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)能聽到聲音為事件，則,所以聽不到聲音的概率.故選：A6.已知數(shù)列滿足，則（）A.2023 B.2024 C.2027 D.4046【答案】C【解析】【分析】由可得，進(jìn)而可得，則有數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】由①，得，②，由②①得，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故選：C.7.設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式.【詳解】，因?yàn)?，故的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，解?故選：B8.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，過斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且，若Q是拋物線上任意一點(diǎn)，且，則的最小值是（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立可得韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程得，設(shè),所以，，化簡(jiǎn)得，即,解得,故設(shè),則，因此且，因此可得，故，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故的最小值為0，故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.向量在向量方向上的投影向量互為相反向量【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、平行、投影向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以，所以A選項(xiàng)正確.BC選項(xiàng)，，，所以，所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，在上的投影向量為，在上的投影向量為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.下列選項(xiàng)中，滿足的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)比較大小即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，A不滿足；對(duì)于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即有，因此，即，B滿足；對(duì)于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，C滿足；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，D滿足.故選：BCD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）A.B.是函數(shù)的一個(gè)遞減區(qū)間C.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像依次分析出，然后再判斷對(duì)稱軸，單調(diào)區(qū)間，最值等問題【詳解】由圖可知最大值為1，最小值為，所以；由圖可知，所以，又，所以；函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以.對(duì)于A：由上面結(jié)論知道A正確；對(duì)于B：時(shí)，在該區(qū)間不是單調(diào)遞減函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：時(shí)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，C正確；對(duì)于D：時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，最大值取不到，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A.B.若，則為的極值點(diǎn)C.若，則為的極值點(diǎn)D.若，則在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】令且，結(jié)合已知可得，即可判斷A；將已知條件化為且，再令并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得，進(jìn)而判斷B、C、D.【詳解】令且，則，所以在上遞增，則，A對(duì)；由題設(shè)且，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞減；當(dāng)時(shí)，即遞增；所以，若，則，所以上，遞減；上，遞增；故為的極值點(diǎn)，B對(duì)；若，則，即，故在上遞增，故不是的極值點(diǎn)，C錯(cuò)；若，則，即，故在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于B、C、D，由且，并構(gòu)造且應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和極值為關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由，其中二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，可得，所以.故答案為：.14.曲線的一條切線的斜率為1，則該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為__________.【答案】##【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再求出面積即得.【詳解】設(shè)斜率為1的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，因此切線斜率為，解得，切點(diǎn)為，切線方程為，該切線與x、y軸分別交于，所以該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.故答案為：15.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為，且，若P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合為橢圓和雙曲線的公共點(diǎn)，分別根據(jù)定義在橢圓和雙曲線里列和的關(guān)系，表示出和，然后結(jié)合，在用余弦定理表示即可.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)雙曲線的方程為，，設(shè)P是兩條曲線第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則有，，所以，，在中，又因?yàn)?，則，即，即，所以，即.故答案為：.16.已知函數(shù)滿足，則__________，若，則m的取值范圍是__________.【答案】①.1②..【解析】【分析】利用列方程求參數(shù)a，進(jìn)而寫出解析式和定義域，定義判斷奇偶性，并得到，即有上值域均相同，再將問題化為研究上，結(jié)合基本不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由，則，故，且，而，即為奇函數(shù)，所以，易知和上值域相同，綜上，上值域均相同，只需研究上的最小值，即，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，.故答案為：1，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求參數(shù)范圍時(shí)注意判斷的奇偶性并確定在四個(gè)區(qū)間上的值域相同，簡(jiǎn)化為上為關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，函數(shù).（1）求使成立的x的集合；（2）若先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利于向量的數(shù)量積、三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；（2）利用三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知可得，所以【小問2詳解】結(jié)合（1）可知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，所以，如下圖所示，函數(shù)與在上有4個(gè)交點(diǎn)，記該四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，則由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知.18.在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，從條件①、條件②中選一個(gè)作為已知條件①：；條件②：.（1）求角；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選條件①，由正弦定理邊化角得到，于是，而，于是，進(jìn)而求出角；選條件②，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)后利用余弦定理得到，進(jìn)而求出角.（2）通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的值域求解．【小問1詳解】選條件①，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，?選條件②，因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又因?yàn)?，?【小問2詳解】由正弦定理，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，故，所以的取值范圍為.19.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，為線段的中點(diǎn)，與平面所成的角為.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為,連接,則，利用線面平行的判斷定理證明即可；（2）連接,交于,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，然后進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為,連接,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),則為的中位線，則,又平面,平面,所以平面.【小問2詳解】因?yàn)樗倪呅螢檫呴L(zhǎng)為2的菱形，故可求得,又平面,則平面,則為與平面所成的角，故又，則,連接,交于,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故.設(shè)平面法向量為，則，令，得，故,設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角余弦值為20.已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及基本量計(jì)算和與的關(guān)系即可；（2）先求出的通項(xiàng)，再用錯(cuò)位相減法求得的值，再由化簡(jiǎn)及分類討論、分析函數(shù)的最值求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可得，又因?yàn)?，所以，解得，所以可得所以；由①，可?當(dāng)時(shí)，，得:，當(dāng)時(shí)，②，①-②得:，故數(shù)列為以首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，，所以，③④，由③-④可得.化簡(jiǎn)可得:要使得對(duì)任意恒成立，即，即，①當(dāng)時(shí),有成立②當(dāng)時(shí)，有，對(duì)于函數(shù)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知是在單調(diào)遞增的；所以要使其恒成立，只要，，③當(dāng)，有，對(duì)于函數(shù)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知在[1,4]上單調(diào)遞增，只要；綜上:的取值范圍為.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在，使得，則稱為的一階不動(dòng)點(diǎn)；如果存在，使得，且，則稱為的二階周期點(diǎn).（1）函數(shù)是否存在一階不動(dòng)點(diǎn)與二階周期點(diǎn)？（2）若函數(shù)存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）存在一階不動(dòng)點(diǎn)，不存在二階周期點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一階不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的定義判斷；（2）將存在一階不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方