2024屆北京市高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的焦點坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，2．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)3．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.6．經(jīng)過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.7．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.8．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°9．如果橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.111．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.12．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量，則______.14．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，滿足，，則___________.16．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.19．（12分）已知項數(shù)為的數(shù)列是各項均為非負(fù)實數(shù)的遞增數(shù)列.若對任意的，（），與至少有一個是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項數(shù)的所有可能取值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點M的直角坐標(biāo)為，直線l與曲線C的交點為A，B，求的值21．（12分）已知命題p：實數(shù)x滿足（其中）；命題q：實數(shù)x滿足（1）若，為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.2、C【解析】求導(dǎo)得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C3、D【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因為，所以.故選：D.4、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負(fù)項，，即，或，即，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C5、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進(jìn)行求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題6、C【解析】當(dāng)是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵7、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A8、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.9、B【解析】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則，利用點差法可得答案.【詳解】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則因為，兩式相減可得，，即由中點公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B10、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A11、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問題的能力，屬于中檔題．常見的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，?dāng)是形如時構(gòu)造；當(dāng)是時構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集12、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項分布的期望公式直接計算作答.【詳解】因為隨機變量，所以.故答案：214、【解析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，再由，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，由，得，即實數(shù)的取值范圍為故答案為：15、【解析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：16、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因為命題：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問2詳解】解：對于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因為直線在軸、軸上截距之和等于，即，解得.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明，然后證明，進(jìn)而通過線面垂直的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個平面的法向量，然后通過空間向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小問2詳解】以點為坐標(biāo)原點，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，可得平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，由，，有取，可得平面的一個法向量為，所以，故平面與平面的夾角的正弦值為.19、（1）數(shù)列，，，不具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）可能取值只有.【解析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項即可.（2）由性質(zhì)知：、，結(jié)合非負(fù)遞增性有，再由時，必有，進(jìn)而可得，，，，，應(yīng)用累加法即可證結(jié)論.（3）討論、、，結(jié)合性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷是否存在符合題設(shè)性質(zhì)，進(jìn)而確定的可能取值.【小問1詳解】數(shù)列，，，不具有性質(zhì).因為，，和均不是數(shù)列，，，中的項，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).【小問2詳解】記數(shù)列的各項組成的集合為，又，由數(shù)列具有性質(zhì)，，所以，即，所以.設(shè)，因為，所以.又，則，，，，.將上面的式子相加得：.所以.【小問3詳解】（i）當(dāng)時，由（2）知，，，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.（ii）當(dāng)時，存在數(shù)列，，，，符合題意，故可取.（iii）當(dāng)時，由（2）知，.①當(dāng)時，，所以，.又，，∴，，，，即.由，，得：，，∴.②由①②兩式相減得：，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.綜上，滿足題設(shè)的的可能取值只有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，由可知，并應(yīng)用累加法求證結(jié)論；第三問，討論k的取值，結(jié)合的性質(zhì)，由性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷不同k的取值情況下數(shù)列的存在性即可.20、（1）（2）【解析】【小問1詳解】由,得.兩邊同乘,即.由,得曲線的直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】將代入,得,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為則所以.由參數(shù)的幾何意義得21、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據(jù)是的充分條件求解.小問1詳解】當(dāng)時，，解得：，由為真命題，，解得；【小問2