2024屆安徽省合肥一中、六中、八中高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆安徽省合肥一中、六中、八中高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.453．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B.C D.4．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關系是（）A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.37．我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.8．天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標系中，設定點為，，，點O為坐標原點，動點滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當，時，關于曲線E有下列四個命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個9．已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.10．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，則實數(shù)a的值為（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣212．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則曲線在點處的切線方程是______.14．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.15．已知，，若，則______16．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數(shù)900180016004300三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，直線：，直線m過點N且與垂直，直線m交圓于兩點A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長.18．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，△ABC的面積為（1）求a；（2）若D為BC邊上一點，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值19．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點20．（12分）已知拋物線的方程為，點，過點的直線交拋物線于兩點（1）求△OAB面積的最小值（為坐標原點）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由21．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點，為的中點，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.（1）求證：平面平面.（2）能否在邊上找到一點(端點除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.2、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，則.故選：B.3、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線的距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A4、D【解析】根據(jù)題意，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關系即可【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標準方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.5、D【解析】結(jié)合導數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當時，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因為是偶函數(shù)，所以當時，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D6、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】.故選：D.7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C8、D【解析】①：根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進行判斷即可；②：結(jié)合兩點間距離公式、曲線方程特征進行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進行判斷即可.【詳解】當，時，.①：因為以代方程不變，以代方程不變，同時代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當時成立，因此本命題正確；③：因為，所以，當且僅當時，取等號，因此本命題正確；④：，因為，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：利用方程特征進行求解判斷是解題的關鍵.9、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價于，解得或.故選：A.10、B【解析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.11、B【解析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時，一次項對應系數(shù)之積的和等于0，計算求得a的值【詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故選：B12、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導，得到，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程是，即，故答案為：14、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為命題“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因為，當且僅當即時取等號，所以，即故答案：15、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：16、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點：分層抽樣.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出斜率，用點斜式求直線方程；（2）利用垂徑定理求弦長.【小問1詳解】因為直線：，所以直線的斜率為.因為直線m過點N且與垂直，所以直線的斜率為，又過點，所以直線：，即【小問2詳解】直線與圓相交，則圓心到直線的距離為：，圓的半徑為，所以弦長18、（1）（2）【解析】（1）利用面積公式及余弦定理可求解；（2）由正弦定理得到，再運用同角函數(shù)的關系得到，最后運用正弦的兩角和公式求解即可.【小問1詳解】∵，，，∴由余弦定理：，∴【小問2詳解】在中，由正弦定理得，∴，易知B為銳角，∴，∴19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設直線BP的方程為，設，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關系，代入韋達定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設直線BP的方程為，設，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點20、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可；（2）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設直線的方程為：，所以有，設，則有，，原點到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當時，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.21、（1）證明見解析.（2）存在點，為線段中點【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）在直角梯形中，作于于，連接，則，，則，，則，在直角中，可得，則，所以，故，且折疊后與位置關系不變.又因為平面平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）在中，由，為的中點，可得.又因為平面平面，且平面平面，所以平面，則以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，則，，設平面的法向量為，則，令，可得平面的法向量為，假設存在點使平面與平面所成角的余弦值為，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，設平面的法向量為，可得，令得，∴，解得，因此存在點且為線段中點時使平面與平面所成角的余弦值為.本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解及應用，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關系判定的