2024屆北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.2．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，4．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為5．下列說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；③回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；④如果兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.6．某考點(diǎn)配備的信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機(jī)以每分鐘50米的速度從設(shè)備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘7．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°8．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.310．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.12．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____14．已知球的表面積為,則該球的體積為_(kāi)_____.15．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程是______16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①直線l：是拋物線C的準(zhǔn)線；②F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；③，對(duì)于C上的點(diǎn)A，的最小值為；在以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，填到下面問(wèn)題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，滿足_____（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線：與C交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求m的值18．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率之積.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程；（2）若是上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時(shí)，求直線l的方程.22．（10分）已知圓M過(guò)C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，所以，所以，故BC錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.2、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D3、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.4、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當(dāng)時(shí)，為鈍角，∴C錯(cuò)；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點(diǎn)：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【思路點(diǎn)睛】立體幾何問(wèn)題的求解策略是通過(guò)降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對(duì)于球的內(nèi)接外切問(wèn)題，作適當(dāng)?shù)慕孛?，既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過(guò)化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離5、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)的概念逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，①正確；對(duì)于②從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；故②正確；對(duì)于③，線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，回歸直線不一定就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線，也可能不過(guò)任何一個(gè)點(diǎn)；③不正確；對(duì)于④，如果兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于；綜上，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是；故選：C.6、C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求得直線和圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng).【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開(kāi)始被監(jiān)測(cè)，到處監(jiān)測(cè)結(jié)束，因?yàn)榈降木嚯x為米，所以米，故監(jiān)測(cè)時(shí)長(zhǎng)為分鐘故選：C.7、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.8、A【解析】按照斜率公式計(jì)算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線過(guò)，設(shè)直線斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.9、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時(shí)，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項(xiàng)知：D符合要求.故選：D.10、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.11、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤故選：B12、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求出a值計(jì)算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##2.4【解析】過(guò)作于，可證即為點(diǎn)到平面的距離.【詳解】過(guò)作于，∵是長(zhǎng)方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵∥平面，∴根據(jù)等面積法得，故答案為：.14、【解析】設(shè)球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果15、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.16、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，同時(shí)還得滿足極大值點(diǎn)是最大值，還需列不等式，不要忽略這個(gè)不等式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）選條件①，由準(zhǔn)線方程得參數(shù)，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，，再由兩點(diǎn)間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離，設(shè)，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，再計(jì)算出三角形的面積后可解得【小問(wèn)1詳解】選條件①：由準(zhǔn)線方程為知，所以拋物線C的方程為選條件②：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以由已知得橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為選條件③：由題意可知得，當(dāng)F，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，，由兩點(diǎn)間距離公式，解得，所以拋物線C的方程為.【小問(wèn)2詳解】把代入方程，可得，設(shè)，，聯(lián)立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線的距離為，所以，即，解得或經(jīng)檢驗(yàn)均滿足，所以m的值為或.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，求解方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.（2）對(duì)數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?，所以解得?【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，，所以所以；當(dāng)時(shí)，.所以.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問(wèn)2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知列式即可作答.(2)設(shè)上任意一點(diǎn)，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再求出以為直徑的圓的方程即可分析作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率分別為：，，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：，所以的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，令是上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，以MN為直徑的圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N都不重合時(shí)，，有，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N之一重合時(shí)，也成立，因此，以MN為直徑的圓的方程為：，化簡(jiǎn)整理得：，而，即，則以MN為直徑的圓的方程化為：，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，即圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)和，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為直徑兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程是：.21、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點(diǎn)A，B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C，D，M，N的坐標(biāo)，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，則，即，依題意，，設(shè)，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為