2023-2024學(xué)年云南省彝良縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年云南省彝良縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓O的半徑為5，，過點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.83．已知橢圓=1的離心率為，則k的值為（）A.4 B.C.4或 D.4或4．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對(duì)這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.505．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.6．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，7．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.8．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A.2 B.6C.4 D.129．若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知，則（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問題時(shí)引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），與準(zhǔn)線交于點(diǎn)P.若，，則____________.15．某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為4，且，，，，的平均數(shù)為8，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套______萬只16．已知P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)，那么的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求證：18．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知圓，是圓上一點(diǎn)，過A作直線l交圓C于另一點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)D，且A為的中點(diǎn).（1）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求直線l的方程.21．（12分）已知四棱錐的底面是矩形，底面，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，H為EG的中點(diǎn)，如圖.（1）求證：平面；（2）求直線FH與平面所成角的大小.22．（10分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】可得過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.2、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗?，，?故選：D3、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論，由此求得的值.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，且.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，且.故選：C4、C【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C5、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B6、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.7、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.8、C【解析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長(zhǎng)半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長(zhǎng)半軸，A是橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，而點(diǎn)在BC邊上，點(diǎn)B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長(zhǎng)故選：C9、B【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.10、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線直線，可以看到當(dāng)移動(dòng)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線即過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B11、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結(jié)合由，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.12、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，由，，得，所以，得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以?故答案為：.14、【解析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椤祝?，即，所以，所以，因?yàn)榕c反向，所以.故答案為：15、2【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.【詳解】依題意設(shè)，則，.故答案為：16、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)椋?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡(jiǎn).18、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算基本量從而得出的通項(xiàng)公式；（2）由(1)可得，再由裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴19、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，可求解，，從而寫出；（2）化簡(jiǎn)數(shù)列，裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小問2詳解】∵，∴∴∴20、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點(diǎn)斜式去求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）以A為的中點(diǎn)為突破口，設(shè)點(diǎn)法去求直線l的方程簡(jiǎn)單快捷.【小問1詳解】圓可化為，圓心因?yàn)橹本€的斜率為，所以圓C在A點(diǎn)處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問2詳解】由題意設(shè)因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以將B代入圓C方程得解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為所以l方程為或21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接CH，延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)K，連接BK，根據(jù)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，易得，再利用線面平行的判定定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，平面PBC一個(gè)法向量，代入公式求解.【詳解】（1）如圖所示：連接CH，延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)K，連接BK，因?yàn)樵O(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，所以H為CK的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如圖所示直角坐標(biāo)系則，所以，設(shè)平面PBC一個(gè)法向量為：，則，有，令，，設(shè)直線FH與平面所成角為，所以，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判