2023-2024學(xué)年山東省泰安第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省泰安第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）.A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.C.D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)2．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.3．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.4．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.5．已知函數(shù)，在上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.6．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件7．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.8．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為9．正數(shù)a,b滿足,若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.10．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.12．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為圓心的圓過原點(diǎn)，且與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.14．已知空間向量，，且，則值為______15．某校共有學(xué)生480人；現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進(jìn)行體能測試；若這80人中有30人是男生，則該校女生共有___________.16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則取得最大值時n的值為__________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的圓心在軸上，點(diǎn)、均在圓上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩個不同的點(diǎn)、，點(diǎn)在圓上，求面積的最大值.19．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點(diǎn)，則圓O的過點(diǎn)的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點(diǎn)，過作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時，求線段AB的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，求線段AB長度的最小值.20．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)（1）求的最小值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線l的方程22．（10分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義逐一判斷各個選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，可得或時，，當(dāng)或時，，所以函數(shù)在和上遞減，在和上遞增，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故D錯誤.故選：B.2、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點(diǎn)，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學(xué)生對于雙曲線基本知識的掌握情況.3、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D4、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解5、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)滿足不等式的概率為故選：B6、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.7、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，時，為負(fù)數(shù)，A錯誤.對于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C8、D【解析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D9、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對任意實(shí)數(shù)x恒成立，，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.11、D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．故選：D12、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)椋?，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.14、【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即求.【詳解】由題意，空間向量，可得，所以，解得.故答案為：.15、人##300【解析】根據(jù)人數(shù)占比直接計算即可.【詳解】該校女生共有人.故答案為：人.16、①.13②.##3.4【解析】由題可得利用函數(shù)的單調(diào)性可得取得最大值時n的值，然后利用，即求.【詳解】∵，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減且，當(dāng)時，單調(diào)遞減且，∴時，取得最大值，∴.故答案為：13；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)隱零點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是18、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標(biāo)，可求得圓的半徑，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求得點(diǎn)到直線的距離，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得的表達(dá)式，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：由題知，線段的中點(diǎn)為，直線的斜率，所以線段的中垂線為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題知：圓心到直線的距離，因?yàn)椋詧A心到直線的距離，所以到直線的距離，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值19、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點(diǎn)Q，當(dāng)CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點(diǎn)Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.21、（1）4；（2）或.【解析】(1)過定點(diǎn)D(4，2)，當(dāng)CD⊥l時，|PQ|最??；(2)，當(dāng)時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.【小問1詳解】由，得，由，∴直線l過定點(diǎn)D(4，2)，∵，∴在圓C內(nèi)部，∴直線和l與圓C相交，當(dāng)CD⊥l時，|PQ|最小，；【小問2詳解】∵，∴當(dāng)時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，∴，解得，∴此時l的方程為：或.22、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項(xiàng)公式.當(dāng)①②時，設(shè)數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求和即可；選②③時，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求和即可；選①③時，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因?yàn)?，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時，設(shè)數(shù)列公差