2023-2024學(xué)年陜西漢中市漢臺區(qū)縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年陜西漢中市漢臺區(qū)縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.3．從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數(shù)，則這三個數(shù)能成為一個三角形三邊長的概率為（）A. B.C. D.4．在中，內(nèi)角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.5．已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條6．已知雙曲線的實軸長為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B.C. D.7．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.8．在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點，與軸交于點，，則的離心率為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若共線，m+n＝__.14．點到直線的距離為_______.15．已知拋物線的焦點與的右焦點重合，則__________.16．達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品中，布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的邊長為1，則點到直線的距離是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）若等比數(shù)列的各項為正，前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點20．（12分）如圖，五邊形為東京奧運會公路自行車比賽賽道平面設(shè)計圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計時需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長（2）在上述條件下，如何設(shè)計才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值21．（12分）如圖，多面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長短不一、質(zhì)地均勻的細直金屬棒，其長度均不小于拋物線通徑的長度（通徑是過拋物線焦點，且與拋物線的對稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細棒重心最低時，達到靜止狀態(tài)，此時細棒交匯于一點.（1）請結(jié)合你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，猜想細棒交匯點的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點為原點，建立如圖所示直角坐標系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長度為，以細直金屬棒的中點為其重心，請從數(shù)學(xué)角度解釋上述實驗現(xiàn)象.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意得當(dāng)時，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當(dāng)時，，又，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個單位，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，作出其大致圖象得，當(dāng)時，由得，或，由圖可知，若對任意，都有，則，故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題2、B【解析】取中點為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計算.【詳解】設(shè)中點為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因為平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B3、C【解析】列舉出所有情況，然后根據(jù)兩邊之和大于第三邊數(shù)出能構(gòu)成三角形的情況，進而得到答案.【詳解】5個數(shù)取3個數(shù)的所有情況如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10種情況，而能構(gòu)成三角形的情況有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3種情況，故所求概率.故選：C.4、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.5、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點為.①直線與雙曲線只有一個公共點；②過點平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.6、B【解析】利用雙曲線的實軸長為，求出，即可求出該雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設(shè)過點的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式，解得8、B【解析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得為等腰三角形，且，所以，求出的長，結(jié)合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點，則為的中點，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B9、A【解析】對函數(shù)進行求導(dǎo)得，進而得時，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當(dāng)時，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.10、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標.【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點，由得：，以為直徑的圓恒過定點.故選：D.11、A【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.12、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標運算求出m,n，進而求得答案.【詳解】由于，因為，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.14、【解析】應(yīng)用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設(shè)，點到距離為.故答案為：15、【解析】求出拋物線的焦點坐標即為的右焦點可得答案.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點坐標為，由題意知表示焦點在軸的橢圓，在橢圓中：，所以，因為，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長交于點，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點到直線的距離是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標原點，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點睛】用空間向量求解立體幾何問題的注意點（1）建立坐標系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準確求得所需點的坐標（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結(jié)果【小問1詳解】設(shè)各項為正的等比數(shù)列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項和.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時，，不妨令，則，此時；當(dāng)時，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點；綜上，直線DE過定點20、（1）服務(wù)通道的長為千米（2）時，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負值舍去）所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因為，所以，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）即當(dāng)時，折線賽道的長度最大，最大值為千米21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面平面得到，再結(jié)合，可得平面，進而可得結(jié)論；（2）取的中點，的中點，連接，，以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，求這兩個法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為平面平面，交線為，又，所以平面，，又，，則平面，平面，所以，；（2）取的中點，的中點，連接，，則平面，平面；以點坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量，由得令，則，，即；平面的一個法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學(xué)生計算能力以及空間想象能力，是中檔題.22、（1）拋物線的焦點或拋物面的焦點（2）答案見解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點可猜想得到結(jié)果；（2