2024屆福建省廈門市重點中學數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題含解析

2024屆福建省廈門市重點中學數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知p、q是兩個命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題2．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預防該疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計服用藥104555未服藥203050總計3075105下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認為藥物有效B.有95%的把握認為藥物無效C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物無效D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效3．設(shè)、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．曲線y＝lnx在點M處的切線過原點，則該切線的斜率為（）A.1 B.eC.－1 D.5．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.86．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.7．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點，P為EF的中點，則＝（）A. B.C. D.8．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個完全相同的面包分給5個人，使每個人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）A.30 B.40C.50 D.609．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.310．已知點B是A（3，4，5）在坐標平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.511．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.412．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠的某種型號的機器的使用年限和所支出的維修費用（萬元）有下表的統(tǒng)計資料：23456223.85.56.57.0根據(jù)上表可得回歸直線方程，則=_____.14．已知直線與雙曲線交于兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______15．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線l與C交于A，B兩點（點A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項公式；（2）求的最大項19．（12分）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的長.20．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.21．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標準方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由22．（10分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，問在線段上是否存在點E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長度，若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.2、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計算，對照臨界值即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計算，由臨界值表可知，有95%的把握認為藥物有效，A正確故選：A3、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關(guān)系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.4、D【解析】設(shè)出點坐標，結(jié)合導數(shù)列方程，由此求得切點坐標并求得切線的斜率.【詳解】設(shè)切點為，，故在點的切線的斜率為，所以，所以切點為，切線的斜率為.故選：D5、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B6、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B7、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因為P為EF中點，，F(xiàn)為BC的中點，則，故選：A8、C【解析】根據(jù)題意得到遞增等差數(shù)列中，，，從而化成基本量，進行計算，再計算出，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)遞增等差數(shù)列，首項為，公差，則所以解得所以最大項.故選：C9、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B10、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點B是點A（3，4，5）在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C11、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).12、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、08##【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出，將點代入回歸直線求出即可.【詳解】由表格可得，，由于回歸直線過點，故，解得，故答案為：0.08.14、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.16、【解析】設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，且，由，消去并化簡得，設(shè)，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標以及平面的一個法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是邊長為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因為面面，面面，，面，所以平面，因為面，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因為，所以，因為面，所以平面.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以有，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，當時，有最大項，最大項為：.19、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運算求得向量的模（線段長度）【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，即，因為，所以，，∵，故；（2）由，得，所以，所以.20、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.21、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達定理法可得，再結(jié)合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標分別為，當直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標為或，當直線AB和CD的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設(shè)點，則，所以，化簡得，當直線或的斜率不存在時，點M的坐標為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達定理法及題設(shè)條件求出點M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題得到解決.22、（1）證明見解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解.【小問1詳解】∵