人教版高中物理新教材同步講義 必修第一冊(cè)第2章　專題強(qiáng)化　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式　v－t圖像看位移（含解析）

專題強(qiáng)化勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式v－t圖像看位移[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解決相關(guān)問(wèn)題(難點(diǎn))。2.會(huì)用v－t圖像求位移并判定直線運(yùn)動(dòng)位移的大小(重點(diǎn))。一、平均速度公式1．如圖所示，一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為v0，末速度為v，這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度為SKIPIF1<0，試推導(dǎo)eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝SKIPIF1<0。答案方法一解析法中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度SKIPIF1<0＝v0＋eq\f(1,2)at，該段時(shí)間的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定義式和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式可得eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq\f(1,2)at＝SKIPIF1<0，又eq\x\to(v)＝v0＋eq\f(1,2)at＝eq\f(2v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v,2)，即eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝SKIPIF1<0。方法二圖像法0～t時(shí)間內(nèi)的位移x＝eq\f(v0＋v,2)t平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度的大小對(duì)應(yīng)梯形中位線與圖像交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故SKIPIF1<0＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\x\to(v).2.eq\x\to(v)＝eq\f(v＋v0,2)＝SKIPIF1<0適合于所有的變速直線運(yùn)動(dòng)嗎？答案不適用。推導(dǎo)中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋eq\f(1,2)at2均來(lái)自勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的公式，故eq\x\to(v)＝eq\f(v＋v0,2)＝SKIPIF1<0只適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)。1．勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式：eq\x\to(v)＝SKIPIF1<0＝eq\f(v0＋v,2)(1)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中任意一段時(shí)間t內(nèi)的平均速度等于該段時(shí)間的中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，還等于該段時(shí)間初、末速度矢量和的一半。(2)若同時(shí)涉及位移與時(shí)間而不涉及加速度，選用中間時(shí)刻瞬時(shí)速度公式及平均速度公式，即SKIPIF1<0＝eq\f(v0＋v,2)，eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)。2．三個(gè)平均速度公式的比較eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)適用于任何運(yùn)動(dòng)；eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)及eq\x\to(v)＝SKIPIF1<0僅適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)。例1測(cè)試中，我國(guó)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)C919的初速度v0＝2m/s,4s內(nèi)位移為20m，求：(1)飛機(jī)4s內(nèi)的平均速度大??；(2)飛機(jī)4s末的速度大小；(3)飛機(jī)2s末的速度大小。答案(1)5m/s(2)8m/s(3)5m/s解析(1)利用平均速度公式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(20,4)m/s＝5m/s(2)因?yàn)閑q\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)v＝2eq\x\to(v)－v0＝8m/s(3)2s末為0～4s的中間時(shí)刻SKIPIF1<0＝eq\x\to(v)＝5m/s。例2若一物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為v0，末速度為v，位移為x，這段位移中間位置的瞬時(shí)速度為SKIPIF1<0。試用不同方法比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小。答案SKIPIF1<0<SKIPIF1<0解析方法一定性分析法實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程以勻加速直線運(yùn)動(dòng)為例，速度先慢后快，前eq\f(t,2)時(shí)間內(nèi)的位移x1<eq\f(x,2)，故SKIPIF1<0<SKIPIF1<0。方法二公式法如圖，SKIPIF1<02－v02＝2aeq\f(x,2)v2－SKIPIF1<02＝2aeq\f(x,2)得SKIPIF1<0＝eq\r(\f(v02＋v2,2))SKIPIF1<0－SKIPIF1<0>0故SKIPIF1<0>SKIPIF1<0方法三圖像法由圖知SKIPIF1<0>SKIPIF1<0。中點(diǎn)位置的瞬時(shí)速度公式：SKIPIF1<0＝eq\r(\f(v02＋v2,2))。(1)推導(dǎo)：如圖所示，前一段位移SKIPIF1<02－v02＝2a·eq\f(x,2)，后一段位移v2－SKIPIF1<02＝2a·eq\f(x,2)，所以有SKIPIF1<02＝eq\f(1,2)·(v02＋v2)，即有SKIPIF1<0＝eq\r(\f(1,2)v02＋v2)。(2)適用條件：勻變速直線運(yùn)動(dòng)。(3)對(duì)于任意一段勻變速直線運(yùn)動(dòng)，無(wú)論是勻加速直線運(yùn)動(dòng)還是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，中點(diǎn)位置的瞬時(shí)速度大于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即SKIPIF1<0>SKIPIF1<0。二、v－t圖像看位移某一做直線運(yùn)動(dòng)物體的v－t圖像如圖所示：(1)物體在0～2t0時(shí)間內(nèi)的位移為多少？(2)物體在0～2t0時(shí)間內(nèi)的路程為多少？答案(1)0(2)v0t0解析(1)方法一0～t0時(shí)間內(nèi)的位移x1＝eq\f(1,2)v0t0t0～2t0時(shí)間內(nèi)的位移x2＝－eq\f(1,2)v0t0x總＝x1＋x2＝0方法二x＝eq\f(v0＋－v0,2)·2t0＝0(2)s＝|x1|＋|x2|＝v0t0。1．對(duì)于任意形狀的v－t圖像，其與時(shí)間軸圍成的“面積”表示物體的位移。2．“面積”在時(shí)間軸上方表示位移為正，“面積”在時(shí)間軸下方表示位移為負(fù)(選填“正”或“負(fù)”)。(1)v－t圖像的斜率表示加速度。(√)(2)v－t圖像的交點(diǎn)表示速度相等。(√)(3)v－t圖像為曲線說(shuō)明物體做曲線運(yùn)動(dòng)。(×)(4)v－t圖像與時(shí)間軸所圍成的面積為位移。(√)例3某一做直線運(yùn)動(dòng)的物體的v－t圖像如圖所示，根據(jù)圖像求：(1)物體距出發(fā)點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離；(2)前4s內(nèi)物體的位移大小；(3)前4s內(nèi)物體通過(guò)的路程。答案(1)6m(2)5m(3)7m解析(1)當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)了3s時(shí)，物體距出發(fā)點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，xm＝eq\f(1,2)v1t1＝eq\f(1,2)×4×3m＝6m；(2)前4s內(nèi)物體的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|eq\f(1,2)v1t1|－|eq\f(1,2)v2t2|＝eq\f(1,2)×4×3m－eq\f(1,2)×2×1m＝5m；(3)前4s內(nèi)物體通過(guò)的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq\f(1,2)×4×3m＋eq\f(1,2)×2×1m＝7m。例4有四個(gè)物體A、B、C、D，物體A、B運(yùn)動(dòng)的x－t圖像如圖甲所示；物體C、D從同一地點(diǎn)沿同一方向運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖乙所示。以下根據(jù)圖像做出的判斷中正確的是()A．物體A和B均做勻變速直線運(yùn)動(dòng)B．在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體A、B的間距逐漸減小C．t＝3s時(shí)，物體C、D的位移相同D．在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體C與D的間距逐漸增大答案D解析由題圖甲看出：物體A和B的位移—時(shí)間圖像都是傾斜的直線，斜率都不變，速度都不變，說(shuō)明兩物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題圖甲看出，在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體A的位移都大于B的位移，且從圖像上可以看出兩者之間的距離一直在增大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題圖乙可以看出C、D兩物體的v－t圖線在t＝3s交于一點(diǎn)，所以此時(shí)刻C、D的速度一定相同，根據(jù)v－t圖線與t軸所圍面積表示位移以及物體C、D從同一地點(diǎn)沿同一方向運(yùn)動(dòng)可知，t＝3s時(shí)物體C、D的位移不相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題圖乙看出：在0～3s的時(shí)間內(nèi)，D的速度較大，C、D間距離逐漸增大，故選項(xiàng)D正確。v－t圖像與x－t圖像的比較種類內(nèi)容v－t圖像x－t圖像圖線斜率表示加速度表示速度圖線與時(shí)間軸所圍面積表示位移無(wú)意義兩圖線交點(diǎn)坐標(biāo)表示速度相同，不一定相遇表示相遇相同點(diǎn)表示物體做直線運(yùn)動(dòng)專題強(qiáng)化練1．如圖所示是我國(guó)航母戰(zhàn)斗機(jī)在航母上的起飛過(guò)程。假設(shè)該戰(zhàn)機(jī)起飛前從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到起飛速度v所通過(guò)的位移為x，則該戰(zhàn)機(jī)起飛前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A.eq\f(2x,v)B.eq\f(x,v)C.eq\f(x,2v)D.eq\f(x,4v)答案A解析由平均速度公式eq\f(v,2)t＝x可知t＝eq\f(2x,v)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。2．(2022·聊城市陽(yáng)谷縣高一學(xué)情檢測(cè))一輛沿筆直公路勻加速行駛的汽車，經(jīng)過(guò)路旁兩根相距50m的電線桿共用5s時(shí)間，它經(jīng)過(guò)第二根電線桿時(shí)的速度為15m/s，則經(jīng)過(guò)第一根電線桿時(shí)的速度為()A．2.5m/s B．5m/sC．7.5m/s D．10m/s答案B解析汽車經(jīng)過(guò)兩根電線桿的平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)，由于汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以有eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)，聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)得v1＝5m/s，即經(jīng)過(guò)第一根電線桿時(shí)的速度為5m/s，故選B。3．(2023·呼和浩特市高一質(zhì)量檢測(cè))小物塊以一定初速度滑上光滑固定斜面，沿斜面向上依次有A、B、C三點(diǎn)，物塊在AB間的平均速度為BC間平均速度的4倍，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為0，則AC∶BC為()A．3∶1 B．7∶1C．5∶1 D．9∶1答案D解析設(shè)小物塊在A點(diǎn)的速度為vA，B點(diǎn)的速度為vB，可得eq\f(vA＋vB,2)∶eq\f(vB,2)＝4∶1解得vA∶vB＝3∶1根據(jù)v2＝2ax可得x＝eq\f(v2,2a)則xAC∶xBC＝9∶1。故選D。4．(多選)一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā)，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，接著做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，開到乙地剛好停止，其速度—時(shí)間圖像如圖所示，那么0～t0和t0～3t0兩段時(shí)間內(nèi)()A．加速度大小之比為3∶1B．位移大小之比為1∶2C．平均速度大小之比為2∶1D．平均速度大小之比為1∶1答案BD解析加速度a＝eq\f(Δv,Δt)，由題圖知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，則eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,1)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；位移大小之比等于v－t圖線與t軸所圍圖形的面積之比，即eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，B項(xiàng)正確；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，eq\f(\x\to(v)1,\x\to(v)2)＝1，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。5．一物體從固定斜面上某點(diǎn)由靜止開始沿斜面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3s后到達(dá)斜面底端，并在水平地面上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)9s停止，已知物體經(jīng)過(guò)斜面和水平地面交接處時(shí)速度大小不變，則物體在斜面上的位移與在水平地面上的位移之比是()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1答案C解析設(shè)物體到達(dá)斜面底端時(shí)的速度為v，則物體在斜面上的平均速度eq\x\to(v)1＝eq\f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq\x\to(v)1t1＝eq\f(v,2)t1；在水平地面上的平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq\x\to(v)2t2＝eq\f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故選C。6.(多選)(2022·渦陽(yáng)第一中學(xué)高一階段練習(xí))某物體做直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示，下列說(shuō)法正確的是()A．物體在前2s內(nèi)的位移大小為4mB．物體在前3s內(nèi)通過(guò)的路程為5mC．物體在前3s內(nèi)的平均速度大小為eq\f(5,3)m/sD．物體在前3s內(nèi)做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)答案AB解析v－t圖像和時(shí)間軸所圍成圖形的面積表示位移，則前2s內(nèi)的位移大小x1＝eq\f(1,2)×4×2m＝4m，A正確；物體在第3s內(nèi)位移大小x2＝eq\f(1,2)×2×1m＝1m，物體在前3s內(nèi)通過(guò)的路程為s＝x1＋x2＝5m，B正確；物體在前3s內(nèi)的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(4－2,2)m/s＝1m/s，C錯(cuò)誤；v－t圖像的斜率表示物體的加速度，圖像在前3s內(nèi)是一條傾斜直線，斜率不變，物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。7.(2022·鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué)月考)汽車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛，某時(shí)刻駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方15m處的斑馬線上有行人，經(jīng)過(guò)0.5s反應(yīng)時(shí)間后，剎車禮讓行人，汽車恰好停在斑馬線前。汽車運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示，則汽車剎車時(shí)的加速度大小為()A．20m/s2B．6m/s2C．5m/s2D．4m/s2答案C解析剎車過(guò)程的位移x′＝(15－10×0.5)m＝10m，剎車時(shí)間設(shè)為t′，x′＝eq\f(v0,2)t′，得t′＝2s，a＝eq\f(v0,t′)＝5m/s2，C正確。8．(2022·西北大學(xué)附中高一期中)如圖的平潭海峽公鐵兩用大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海公鐵兩用大橋，其中元洪航道橋的A、B、C三根橋墩間距分別為AB＝132m、BC＝196m。一列高速列車勻加速通過(guò)元洪航道橋，車頭經(jīng)過(guò)AB和BC的時(shí)間分別為3s和4s，則這列高速列車經(jīng)過(guò)元洪航道橋的加速度大小約為()A．0.7m/s2 B．1.4m/s2C．2.8m/s2 D．6.3m/s2答案B解析高速列車在AB段的平均速度為v1＝eq\f(AB,t1)＝44m/sBC段的平均速度v2＝eq\f(BC,t2)＝49m/s，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，可知a＝eq\f(v2－v1,\f(t1,2)＋\f(t2,2))≈1.4m/s2，B正確。的速度距收費(fèi)島中心線70m處開始勻減速，行駛60m后速度降至18km/h，接著勻速行駛20m，再勻加速行駛60m，使汽車速度增至36km/h。該過(guò)程汽車的v－t圖像正確的是()答案A解析設(shè)汽車勻減速時(shí)間為t1，可得x1＝eq\f(v0＋v1,2)t1，解得t1＝8s，然后以5m/s勻速運(yùn)動(dòng)20m，歷時(shí)t2＝eq\f(x2,v1)＝4s，再?gòu)?m/s恢復(fù)到10m/s，運(yùn)動(dòng)60m，可知所用時(shí)間與勻減速過(guò)程相同，為8s，對(duì)比圖像可知，A選項(xiàng)的圖像符合題意，故選A。10.我國(guó)“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器進(jìn)行下潛試驗(yàn)，從水面開始豎直下潛，最后返回水面，其v－t圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．0～4min和6～10min兩時(shí)間段平均速度大小相等B．全過(guò)程中的最大加速度大小為0.025m/s2C．3～4min和6～8min加速度方向相反D．本次下潛的最大深度為6m答案A解析根據(jù)v－t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，則0～4min內(nèi)的位移大小為x＝eq\f(1,2)×(120＋240)×2.0m＝360m,6～10min內(nèi)位移大小為x′＝eq\f(1,2)×3.0×240m＝360m，可知0～4min和6～10min兩時(shí)間段位移大小相等，所用時(shí)間相等，則平均速度大小相等，故A正確；v－t圖像的斜率表示加速度的大小，0～1min和3～4min加速度最大，大小為a＝eq\f(v,t)＝eq\f(2.0,60)m/s2≈0.033m/s2，故B錯(cuò)誤；v－t圖像的斜率的正負(fù)反映加速度的方向，可知3～4min和6～8min加速度方向相同，故C錯(cuò)誤；由題圖可知t＝4min時(shí)“蛟龍?zhí)枴毕聺摰阶钌钐?，最大深度為：x＝360m，故D錯(cuò)誤。11．(多選)(2023·濟(jì)寧市高一期中)如圖所示是高層建筑配備的救生緩降器材，由調(diào)速器、安全帶、安全鉤、緩降繩索等組成。發(fā)生火災(zāi)時(shí)，使用者先將安全鉤掛在室內(nèi)窗戶，管道等可以承重的物體上，然后將安全帶系在人體腰部，使用緩降器材安全著陸。如圖乙所示是某學(xué)校的信息樓，在火災(zāi)逃生演練現(xiàn)場(chǎng)，某同學(xué)從25m高處，利用緩降器材由靜止開始以2m/s2勻加速下滑3s，當(dāng)速度達(dá)到最大值時(shí)先做勻速運(yùn)動(dòng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)地面時(shí)速度恰好為2m/s。整個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6s，則該同學(xué)()A．勻速下降的距離為12mB．下滑過(guò)程中的最大速度為6m/sC．減速下滑過(guò)程中的加速度大小為3m/s2D．勻減速下降的位移大小為6m答案AB解析下滑過(guò)程中，勻加速結(jié)束時(shí)的速度最大，則有vm＝at1＝2×3m/s＝6m/s，故B正確；勻加速階段的位移為x1＝eq\f(1,2)at12＝eq\f(1,2)×2×32m＝9m設(shè)勻速階段的時(shí)間為t2，則有x2＝vmt2勻減速階段的時(shí)間為t3，則勻減速階段的位移x3＝eq\f(vm＋v地,2)t3又x1＋x2＋x3＝25m，t1＋t2＋t3＝6s聯(lián)立解得t2＝2s，t3＝1s，x2＝12m，x3＝4m故A正確，D錯(cuò)誤；減速下滑過(guò)程中的加速度大小a＝eq