高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪課時(shí)檢測(cè) 6.4 數(shù)列求和 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6.4數(shù)列求和一、選擇題(每小題5分，共25分)1。在等差數(shù)列中，,則的前5項(xiàng)和=（)A.7B。15C。20解析。答案B2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝（－1）n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(）．A．15 B．12 C．－12解析設(shè)bn＝3n－2，則數(shù)列｛bn｝是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9）＋b10＝(b2－b1）＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.答案A3．?dāng)?shù)列1eq\f（1,2)，3eq\f（1，4），5eq\f（1，8），7eq\f(1,16），…的前n項(xiàng)和Sn為（)．A．n2＋1－eq\f(1,2n－1) B．n2＋2－eq\f(1，2n）C．n2＋1－eq\f（1，2n） D．n2＋2－eq\f（1，2n－1)解析由題意知已知數(shù)列的通項(xiàng)為an＝2n－1＋eq\f（1，2n)，則Sn＝eq\f（n1＋2n－1，2）＋eq\f（\f（1，2）\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2n)）），1－\f（1,2））＝n2＋1－eq\f（1,2n).答案C4．已知數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f（1,\r(n)＋\r（n＋1))，若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n為()．A．11 B．99 C．120 D．121解析∵an＝eq\f（1,\r（n）＋\r（n＋1））＝eq\r（n＋1)－eq\r(n),∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（eq\r（2）－1）＋（eq\r(3）－eq\r（2))＋…＋（eq\r（n＋1）－eq\r（n））＝eq\r(n＋1)－1.令eq\r（n＋1)－1＝10，得n＝120.答案C5.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1,令bn＝eq\f（1，n）（a1＋a2＋…＋an),則數(shù)列｛bn}的前10項(xiàng)和T10＝(）A．70B．75C．80D．85解析由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n3＋2n＋1，2)＝n(n＋2)，則bn＝n＋2，T10＝eq\f(103＋12,2）＝75，故選B。答案B6．已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a、b∈R），且S25＝100，則a12＋a14等于()A．16 B．8C．4 D．不確定解析由數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a、b∈R）,可得數(shù)列｛an}是等差數(shù)列，S25＝eq\f(a1＋a25·25,2)＝100,解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8。答案B7．若數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，且a1＝1，q＝2,則Tn＝eq\f(1，a1a2)＋eq\f(1，a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1）的結(jié)果可化為()．A．1－eq\f（1,4n） B．1－eq\f(1,2n）C。eq\f（2，3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，4n））） D.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2n）））解析an＝2n－1，設(shè)bn＝eq\f（1，anan＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））2n－1,則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f（1，2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）2n－1＝eq\f（\f(1，2）\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，4n））),1－\f（1，4)）＝eq\f(2,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，4n））).答案C二、填空題8．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f（1,\r（n)＋\r(n＋1))，其前n項(xiàng)之和為10，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為________．解析由已知,得an＝eq\f(1，\r（n)＋\r(n＋1））＝eq\r（n＋1）－eq\r（n)，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)－eq\r(1)）＋（eq\r(3）－eq\r(2))＋…＋（eq\r（n＋1)－eq\r(n）)＝eq\r（n＋1)－1，∴eq\r（n＋1）－1＝10，解得n＝120，即直線方程化為121x＋y＋120＝0,故直線在y軸上的截距為－120.答案－1209．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al（2,2)＋…＋aeq\o\al（2,n）＝________.解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1,當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1適合上式．∴an＝2n－1，∴aeq\o\al（2，n)＝4n－1.∴數(shù)列{aeq\o\al(2，n）}是以aeq\o\al(2，1)＝1為首項(xiàng),以4為公比的等比數(shù)列．∴aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al（2,2）＋…＋aeq\o\al（2，n)＝eq\f（1·1－4n，1－4)＝eq\f（1，3)(4n－1）．答案eq\f(1，3）(4n－1)10．已知等比數(shù)列｛an｝中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an,則數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1，bnbn＋1）)）的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析設(shè)等比數(shù)列｛an}的公比為q，則eq\f(a4，a1）＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n,所以eq\f(1，bnbn＋1)＝eq\f(1，nn＋1）＝eq\f（1，n)－eq\f(1,n＋1）.則Sn＝1－eq\f（1,2)＋eq\f(1，2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1，n＋1）＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f（n,n＋1)。答案eq\f(n,n＋1）11．定義運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（ab，cd))＝ad－bc，若數(shù)列｛an｝滿足eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1\f(1,2),21）)＝1且eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(33,anan＋1）)＝12(n∈N*），則a3＝________，數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝________.解析由題意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2,an＋1－an＝4?！啵鸻n}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10。答案104n－212．已知數(shù)列｛an｝：eq\f(1，2),eq\f（1，3）＋eq\f（2,3)，eq\f（1,4)＋eq\f(2，4）＋eq\f（3，4)，…,eq\f（1,10)＋eq\f(2，10）＋eq\f（3，10)＋…＋eq\f（9,10）,…，那么數(shù)列｛bn}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1）)）的前n項(xiàng)和Sn為________．解析由已知條件可得數(shù)列｛an}的通項(xiàng)為an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n，n＋1）＝eq\f(n，2)?！郻n＝eq\f（1,anan＋1)＝eq\f(4,nn＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,n）－\f（1，n＋1))）.Sn＝4eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,2）＋\f(1,2）－\f（1,3）＋…＋\f（1,n）－\f（1,n＋1）)）＝4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，n＋1）)）＝eq\f（4n,n＋1）.答案eq\f（4n,n＋1)三、解答題13．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S15＝225.（1）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝2an＋2n,求數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d,由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5,,15a1＋\f（15×14,2）d＝225，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝1，,d＝2，))∴an＝2n－1。(2）∵bn＝2an＋2n＝eq\f（1,2)·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2）（4＋42＋…＋4n)＋2（1＋2＋…＋n)＝eq\f(4n＋1－4，6）＋n2＋n＝eq\f（2,3）·4n＋n2＋n－eq\f（2，3)。14．設(shè)｛an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4.（1)求{an｝的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)｛bn｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛an＋bn｝的前n項(xiàng)和Sn.解析（1）設(shè)q為等比數(shù)列{an｝的公比，則由a1＝2,a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去）,因此q＝2。所以｛an｝的通項(xiàng)為an＝2·2n－1＝2n（n∈N＊)(2）Sn＝eq\f(21－2n，1－2)＋n×1＋eq\f（nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2.15．設(shè){an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13。（1)求｛an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f（an,bn）)）的前n項(xiàng)和Sn。解析(1)設(shè)｛an｝的公差為d，｛bn｝的公比為q，則依題意有q＞0且eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2d＋q4＝21,,1＋4d＋q2＝13,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（d＝2,，q＝2.））所以an＝1＋(n－1）d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.（2)eq\f(an,bn)＝eq\f(2n－1，2n－1），Sn＝1＋eq\f（3，21）＋eq\f（5,22)＋…＋eq\f(2n－3,2n－2)＋eq\f(2n－1，2n－1)，①2Sn＝2＋3＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f（2n－3,2n－3）＋eq\f(2n－1,2n－2）。②②－①,得Sn＝2＋2＋eq\f(2,2）＋eq\f（2,22)＋…＋eq\f(2,2n－2）－eq\f(2n－1，2n－1)＝2＋2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,2)＋\f（1,22）＋…＋\f(1,2n－2))）－eq\f（2n－1,2n－1）＝2＋2×eq\f(1－\f(1，2n－1），1－\f(1,2）)－eq\f（2n－1，2n－1)＝6－eq\f（2n＋3，2n－1）.16．等差數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1）求an與bn；(2）求eq\f(1,S1）＋eq\f（1,S2）＋…＋eq\f(1，Sn)。解析(1)設(shè)｛an｝的公差為d，｛bn｝的公比為q，則d為正數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2b2＝6＋dq＝64，，S3b3＝9＋3dq2＝960，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（d＝2，，q＝8））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－\f(6，5），,q＝\f(40,3）.)）（舍去)故an＝3＋2（n－1)＝2n＋1,bn＝8n－1。(2)Sn＝3＋5＋…＋（2n＋1)＝n（n＋2)，所以eq\f（1，S1）＋eq