人教版九年級數(shù)學上冊02 教學設計-菱形的性質(zhì)與判定（old）

《菱形的性質(zhì)與判定》教學設計1.理解菱形的概念，了解它與平行四邊形之間的關系．2.經(jīng)歷菱形概念的抽象過程，以及它的性質(zhì)的探索、猜測與證明的過程，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，進一步發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力．3.經(jīng)歷菱形判定定理的探索過程，進一步發(fā)展合情推理能力.4.能夠用綜合法證明菱形的判定定理，進一步發(fā)展演繹推理能力.5.理解菱形的定義，掌握菱形的性質(zhì)和判定6.能運用菱形的性質(zhì)和判定進行簡單的計算與證明．1.菱形的性質(zhì)定理的證明2.菱形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.3.菱形判定定理的應用.4.菱形的性質(zhì)、判定的理解和掌握5.菱形的性質(zhì)、判定的綜合應用.多媒體課件一、情境導入導語：在我們現(xiàn)實生活中，平行四邊形的形象無處不在，請同學們觀察下列圖片中的平行四邊形.這些平行四邊形的鄰邊相等，像這樣的平行四邊形叫菱形.二、探究新知1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形在生活中隨處可見，你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流.（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？（菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分.中心對稱圖形）你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.2.活動內(nèi)容1：請同學們用你手中的菱形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？（2）結合手中的折紙得到的菱形ABCD，找出圖中相等的角和線段.由折紙過程和對稱軸的性質(zhì)可得相等的角有：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8；相等的線段有：AB=BC=CD=DA.處理方式：讓學生利用課前準備的菱形紙片進行折疊，折疊的過程中，讓學生回顧軸對稱圖形的意義及軸對稱圖形的性質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)菱形的“特殊”性質(zhì)，感受折紙過程對性質(zhì)的初步驗證.設計意圖：通過折紙這一過程，引導學生發(fā)現(xiàn)菱形的對稱性，即菱形不只是中心對稱圖形，還是軸對稱圖形，在操作過程中驗證菱形的特殊性質(zhì)，鼓勵學生通過多種方法驗證發(fā)現(xiàn)的結論.活動內(nèi)容2：菱形性質(zhì)定理的證明如何推理證明“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直”這兩個性質(zhì)呢？已知：如圖，在菱形ABCD中，AB＝AD，對角線AC與BD相交于點O.求證：（1）AB＝BC＝ACDBOCD＝AD；（2）ACDBO處理方式：讓學生從平行四邊形的性質(zhì)出發(fā)，獨立思考、分析證明思路.第（2）題多數(shù)學生可能會應用全等三角形的性質(zhì)，想不到利用“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)，教師引導學生互相交流、確定證明思路，最后找一名學生板書證明過程，教師規(guī)范解題過程的書寫.證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的對邊相等）．又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD．（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD．即AC⊥BD．設計意圖：通過對性質(zhì)的分析與證明，一方面讓學生養(yǎng)成獨立思考問題的習慣，對于不能獨立解決的問題，引導學生發(fā)揮小組合作的作用，提高學生的交流能力；另一方面通過解題過程的板書提高學生的書寫能力，養(yǎng)成規(guī)范書寫的習慣.教師強調(diào)：菱形的性質(zhì)定理1、對角線互相垂直且平分,并且每條對角線平分一組對角；2、四條邊都相等,對邊平行且相等；3、對角相等,鄰角互補；4、菱形既是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在直線,也是中心對稱圖形,5、菱形是特殊的平行四邊形,它具備平行四邊形的一切性質(zhì).例1．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是(B)A．AB//DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC解析：根據(jù)菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直且平分得到C，D是正確的，再根據(jù)菱形的對邊平行得到A是正確的，故選B.已知如圖，菱形ABCD的兩條對角線BD，AC分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是（C）A.10cmB.7cmC.5cmD.4cm解析：∵ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=4,BO=3∴在Rt△AOB中，∴菱形的邊長為5cm,故選C.例3.在菱形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長.處理方式：教師引導學生根據(jù)已知條件說出菱形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)本題線段和角的有關結論，再獨立組織本題的解題過程.然后讓一名學生板演解題過程，師生共同評價．學生還有可能會應用“菱形的每條對角線平分一組對角”結合直角三角形的其它知識解決此題，教師都應給與肯定.ACDBACDBO∴AB=AD（菱形的四條邊相等），AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理得,∴.∴AC=2OA=（菱形的對角線互相平分）.設計意圖：讓學生通過此例題的思考與分析，初步應用菱形的性質(zhì)定理解決有關問題，在應用的過程中明確菱形與平行四邊形的關系，同時鼓勵學生一題多解，理解菱形的性質(zhì)定理.3.菱形的判定1：定義法（有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）數(shù)學語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD∴四邊形ABCD是菱形4.菱形的判定2的探究：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形活動內(nèi)容1：根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形，先想一想，再與同伴交流.處理方式：先由學生獨立思考，嘗試解答，再采取小組合作的方式，交流討論，進而得到結論:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.活動內(nèi)容2：通過思考、交流，我們可以發(fā)現(xiàn)，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，你能證明這個命題嗎？處理方式：鼓勵學生積極探索，大膽猜想，在此基礎上再進行嚴格地證明.證明過程中，學生可能會有一定的困難，教師要及時予以指導和規(guī)范.此處可安排學生板演證明過程.但是要幫助引導學生寫出已知、求證，并以本題為例，規(guī)范證明命題的一般步驟，即：先將命題改寫為“如果···，那么···.”的形式，分析命題的條件和結論，再根據(jù)條件和結論畫出圖形，寫出已知、求證，最后再規(guī)范證明.同時，本題可能會有學生用證明△AOB≌△COB的方法證明BA=BC，對此，教師可引導學生思考，AC和BD的關系，即互相垂直平分,因而可以利用線段垂直平分線定理來證明BA=BC.并對兩種方法進行比較.ABDCO已知:ABCD中,對角線AC與BDABDCO求證:ABCD是菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO又∵AC⊥BD∴BD是線段AC的垂直平分線.∴BA=BC（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.設計意圖：由于要判定的是一個平行四邊形，因此，若要考慮邊，則容易想到定義，若要考慮對角線，則可能受到性質(zhì)的啟發(fā)，想到對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，進而對這一命題進行嚴格證明，得到結論.5.菱形的判定3的探究：四邊相等的四邊形是菱形活動內(nèi)容1：已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？你是怎么做的？思考并獨立完成后，與同伴交流.處理方式：學生獨立完成作圖后可與課本作法進行對比，通過思考作法的正確性，探索得到菱形的另一種判定方法：四條邊都相等的四邊形是菱形.并對這一判定方法加以證明.這里可能會有一個問題：對于作圖要求，學生可能會不太明確，教師要及時點撥，作圖要求是要使已知線段為對角線，因而可以借助菱形的對角線互相垂直且平分這一性質(zhì)，通過作線段AC的垂直平分線來完成作圖.如還是無法完成，可借鑒課本作法.活動內(nèi)容2：你所做的四邊形是菱形嗎？你能得到怎樣的結論？你能證明這個結論嗎？處理方式：根據(jù)作圖過程，學生能猜想出所在在四邊形為菱形，進而猜想出菱形的另一種判定方法：四條邊都相等的四邊形是菱形.對于學生作法的正確性的證明，可以先證明所做四邊形為平行四邊形，再利用定義，證明是菱形.由此得出結論：四條邊都相等的四邊形是菱形.BCAD已知:在四邊形BCAD求證:四邊形ABCD是菱形證明：∵AB=CD，BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵AB=BC ∴四邊形ABCD是菱形歸納：菱形的三個判定：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.有四條邊相等的四邊形是菱形.例4.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（C）Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DAＣ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDＤ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD解析：根據(jù)菱形的三個判定可得C是錯誤的.例5、如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AC=8，DB=6，求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=4OB=OD=3又∵AB=5∴∴∠AOB=90°∴AC⊥BD又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是菱形.6.菱形的周長的計算公式（1）菱形被它的一條對角線分成兩個什么三角形？它們之間有什么關系？（兩個全等的等腰三角形）（2）菱形被它的兩條對角線分成四個什么三角形？它們有什么關系？（四個全等的直角三角形）菱形的周長菱形的周長=4×邊長7.活動內(nèi)容：菱形面積的計算（1）嘗試:已知菱形的周長是12cm,一邊上的高是6cm，它的邊長是____cm,面積是_______cm2（2）.如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm.求(1)對角線AC的長度；(2)菱形ABCD的面積.處理方式：先留給學生5分鐘的時間自行思考，然后小組之間交流，最后找學生代表發(fā)言.在處理這道例題時，教師可引導學生從以下三個方面來分析：①審清題意，如何求平行四邊形的面積，菱形是不是平行四邊形？需要求那些量；②菱形對角線有哪些性質(zhì)？③注意板書的規(guī)范性.在講解時教師可設置問題串來引導學生分解難點：（1）如何求平行四邊形的面積？（2）菱形的對角線有什么性質(zhì)？如應用勾股定理？（3）菱形面積如何分割成直角三角形計算？三角形面積如何計算？（4）誰能規(guī)范的寫出求解過程？學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后找出題目中的關鍵問題：一般菱形求出底邊和高的前提下，直接，S菱形=底×高知道對角線長度可以利用菱形對角線的性質(zhì),在直角三角形中應用勾股定理,分割成兩個或者四個直角三角形求整個菱形的面積,并讓學生展示解答過程.學生分析后展示解答過程：解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,AC與BD相較于點E∴BO＝BD＝×10＝5cm(菱形的對角線互相平分)∴AE===12cm∴AC=2AE=2×12=24(cm)(2)菱形ABCD的面積＝△ABD的面積+△CBD的面積＝2×△ABD的面積＝2××BD×AE＝2××10×12＝120(cm2)設計意圖：讓學生通過比較，總結菱形的面積計算方法，一是按平行四邊形的面積計算方法，二是分割法.讓學生通過分析總結歸納，能夠輕松的求菱形的面積.例6.如圖所示，已知菱形ABCD的周長為40cm,兩條對角線AC、BD之比為3：4，求（1）兩條對角線的長；（2）菱形ABCD的面積.分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的長，就求出了AC和BD的長；（2）對角線乘積的一半即為菱形的面積.解：（1）∵菱形的周長為40cm,∴AB=10cm，∵AC:BD=3:4∴OA：OB=3:4∵AC⊥BD∴在Rt△AOB中，有設OA=3x，OB=4x即∴x=2,∴OA=6cm,OB=8cm,∴AC=12cm,BD=16cm(2)三、鞏固練習：1.已知菱形的周長是12cm，那么它的邊長是____3___.2.如下圖：菱形ABCD中∠BAD＝60°，則∠ABD＝___60°.3.如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PE⊥AB于點E，PE＝4cm，則點P到BC的距離是___4__cm.4．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF，則∠CDF等于多少？解：連接FB，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝AB，又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝40°，又∵EF為AB的垂直平分線，∴AF＝FB，∴∠ABF＝40°，易證△ADF≌△ABF，∴∠ADF＝∠ABF＝40°，∴∠CDF＝∠CDA－∠ADF＝100°－40°＝60°5.已知菱形ABCD的兩條對角線的長分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值為___5___.解析：當P點為AC與BD的交點時，PM+PN的值最小，為菱形的邊長∵兩條對角線分別為6和8,∴此菱形的邊長為5，故PM+PN的最小值為5.6.判斷下列說法是否正確？為什么？(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；（×）(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；（√）(3)對角線互相垂直,且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；（×）(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形（×）7.對角線互相垂直且平分的四邊形是（C）A.矩形B.一般的平行四邊形C.菱形D.以上都不對8.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，邊BC，CA，AB的中點分別是點D，E，F(xiàn)，則四邊形AFDE是(A)菱形B．正方形C．平行四邊形D．梯形9.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ABCD為菱形的是(A)A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°9.已知菱形的周長是12，那么它的邊長是(3)；10.已知如圖，菱形ABCD的邊長和一條對角線AC的長均為2cm，則菱形的面積為（）.11.菱形ABCD的周長為40cm，它的一條對角線長10cm,（1）求這個菱形的每一個內(nèi)角的度數(shù)；（2）求這個菱形另一條對角線的長.解：由題意知AC=10cm，（1）菱形周長為40cm，則AB=BC=10cm，∵AC=10cm，∴△ABC為等邊三角形，∠ABC=60°，∠BAD=180°-60°=120°，（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,則另一條對角線長菱形的對角線長分別為10cm,；則菱形的面積.12.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分線分別交BC和AB于點D、E，點F在DE的延長線上，且AF=CE,求證：四邊形ACEF是菱形.證明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，∴DF∥AC，BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∴∠BAC=∠ACE，∴AE=CE=AE，∵∠BAC=60°，∴ΔACE是等邊三角形，∴∠AEF=∠CAE=60°，∵AF=CE=AE，∴ΔAEF是等邊三角形，∴EF=AE=AF=AC=CE，∴四邊形ACEF是菱形四、拓展提高1.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊