2023高一數(shù)學暑假精講精練3.2.1第2課時函數(shù)的最大小值新人教A版

第2課時函數(shù)的最大(小)值知識點一函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義最值條件幾何意義最大值①對于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標最小值①對于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標知識點二求函數(shù)最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數(shù)的最大(小)值．2．運用已學函數(shù)的值域．3．運用函數(shù)的單調性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．題型一、圖像法求函數(shù)的最值1．畫出下列函數(shù)的圖象，指出函數(shù)的單調區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值或最小值：（1）；（2），；（3）；（4）；（5）；（6）.【詳解】（1）圖象如題所示：，單調遞減區(qū)間為，遞減區(qū)間為最大值為，無最小值；（2）圖象如圖所示：，單調遞減區(qū)間為，最小值為，最大值為；（3）圖象如圖所示：，單調遞增區(qū)間為，無最大值和最小值；（4）圖象如圖所示：，單調遞減區(qū)間為，最大值為；（5）圖象如圖所示：，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，最小值為，無最大值；（6）圖象如圖所示：，單調遞增區(qū)間為，無最大值和最小值.2．已知函數(shù).完成下面兩個問題：(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出其單調增區(qū)間：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】(1)，圖象如下：單調增區(qū)間為和.(2)由（1）中的圖象可知，函數(shù)在上單調增，在上單調減，在上單調增，，故在區(qū)間上的最大值為.3．已知函數(shù)，的圖象如圖所示，請回答：（1）當，時，求此函數(shù)的值域；（2）當，時，求此函數(shù)的值域.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象可得在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的值域為.（2）根據(jù)函數(shù)的圖象可得在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，，故函數(shù)的值域為.題型二、利用函數(shù)的單調性求最值1．已知，，求函數(shù)的最大值和最小值．【詳解】在上單調遞減，在上的最大值；最小值.2．求的最小值．【詳解】由題意得：的定義域為，任取，則，；，，，在上為增函數(shù)，.3．已知函數(shù)，且(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調性，并用定義證明；(3)求函數(shù)在上的值域．【詳解】(1)，，解得.(2)由（1）得函數(shù)在上的單調遞增，證明如下：設，且，則有，，，，，即，∴函數(shù)在上的單調遞增.(3)由（2）得函數(shù)在上的單調遞增，，在上單調遞增，又，在上的值域是.1．檢驗下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和對應的最大（?。┲迭c．(1)；(2)；(3)；(4)．【詳解】(1)因為，所以函數(shù)在上單調遞增，區(qū)間為開區(qū)間，所以該函數(shù)沒有最大值和最小值；(2)因為，所以一次函數(shù)在上單調遞減，所以，因此該函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最大值；(3)因為的對稱軸為：，所以當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，因為，所以當時，函數(shù)有最大值；(4)，因為，所以當時，函數(shù)單調遞增，故當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)有最大值.2．已知函數(shù)（1）畫出函數(shù)圖象（2）結合圖象寫出函數(shù)的單調增區(qū)間和的單調減區(qū)間.（3）若，寫出函數(shù)f(x)的值域.【詳解】（1）由函數(shù)解析式可得，圖象如下：（2）由（1）函數(shù)圖象知：在和上單調遞增；在上單調遞減；（3）由（2）知：上單調增，，，上單調減，上單調增，則有極小值，，∴，的值域為；3．已知函數(shù)；(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；(2)寫出該函數(shù)的單調區(qū)間及值域（不要求證明）．【詳解】(1)∵，即.(2)由可得函數(shù)圖象，由圖象可知函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，函數(shù)值域為.4．已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖像并寫出它的值域；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】(1)圖象如不圖所示：當時，，結合圖象知函數(shù)值域為.(2)由圖象可知，函數(shù)的單調增區(qū)間是，，單調減區(qū)間是.5．已知函數(shù).（1）用分段函數(shù)的形式表示；（2）畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間、值域.【詳解】（1）當時，，當時，.故；（2）函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間，函數(shù)的值域為.6．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（不用列表，直接畫出草圖．（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若關于的方程有四個解，求的取值范圍．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，所以的圖象如右圖所示：（2）由（1）中的函數(shù)圖象，可得函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為和．（3）由方程有四個解等價于函數(shù)與的圖象有四個交點，又由函數(shù)的最小值為，結合圖象可得，即實數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)（1）請在給定的坐標系中畫出此函數(shù)的圖象.（2）寫出此函數(shù)的單調區(qū)間，并寫出值域.【詳解】（1）圖象如圖所示（2）定義域為R，增區(qū)間為[1，3]，減區(qū)間為、、，值域為.8．已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】(1)函數(shù)在上的為增函數(shù)，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函數(shù)在區(qū)間上單調遞增(2)由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，∴，又∵時，，∴∴∴函數(shù)的值域為.9．已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明；(2)求在區(qū)間上的值域．【詳解】(1)在區(qū)間上單調遞增，證明如下：，且，有．因為，且，所以，．于是，即．故在區(qū)間上單調遞增．(2)由第（1）問結論可知，因為在區(qū)間上單調遞增,，．所以在區(qū)間上的值域為．1．函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，，則，則，根據(jù)雙勾函數(shù)性質：函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，，故函數(shù)值域為.故選：C.2．（多選）已知，，設，則關于的說法正確的是（

）A．最大值為3，最小值為B．最大值為，無最小值C．單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和D．單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和【答案】BC【詳解】在同一坐標系中先畫出與的圖象，當時，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，當時，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，然后根據(jù)定義畫出，就容易看出有最大值，無最小值，故A錯誤，當時，由，得舍或，此時的最大值為：，無最小值，故B正確，時，由，解得：（舍去），故F在，遞增，在和遞減故C正確，D錯誤，故選：BC．3．（多選）已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的值可以是（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】AC【詳解】當時，，則在上單調遞減，所以，當時，，在上單調遞增，所以，得，故選：AC4．已知，則函數(shù)的最大值為___________，最小值為___________.【答案】

【詳解】因函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，即有當時，，而當時，，當時，，則，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.故答案為：；5．函數(shù)的值域為_______________．【答案】【詳解】因為，所以此函數(shù)的定義域為，又因為是減函數(shù)，當當所以值域為故答案為：．6．已知在上的最大值為M，最小值為m，若，則______．【答案】?2或?4【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為：，當時，即，函數(shù)在上單調遞增，所以，由，得，不滿足，舍去；當時，即時，函數(shù)在上單調遞減，所以，由，得，不滿足，舍去，當時，則，此時，若時，即時，，由，得，或舍去，若時，即，，由，得，或舍去，綜上所述：或，故答案為：?2或?47．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式(2)當時，判斷函數(shù)的單調性，并求其值域.【詳解】(1)令，則，，即，(2)，時，由是減函數(shù)知，是減函數(shù)，故，，所以函數(shù)的值域為.8．已知函數(shù)f(x)=.(1)求函數(shù)的定義域；(2)試判斷函數(shù)在(-1，+∞)上的單調性，并用定義證明；(3)試判斷函數(shù)在x∈[3，5]的最大值和最小值.【詳解】(1)∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠-1}.(2)∵f(x)==2-，∴函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上是增函數(shù).證明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=(2-)–(2-)=-+=，∵-1<x1<x2，∴x2-x1>0，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-1，+∞)上是增函數(shù).(3)∵函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在x∈[3，5]上單調遞增，∴函數(shù)f(x)在x∈[3，5]上的最大值為f(5)=2-=，最小值為f（3）=2-=.9．已知函數(shù)，(1)證明：在上單調遞減，并求出其最大值與最小值：(2)若在上的最大值為，且，求的最小值.【詳解】(1)設是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則，因為且，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，.(2)由（1）知在上的最大值為，所以，即所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.10．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的