2024屆甘肅省臨夏州臨夏中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆甘肅省臨夏州臨夏中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.2．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．如圖，在長(zhǎng)方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.6．設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.9．設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.10．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.11．已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或2112．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為_(kāi)_____.類別老年教師中年教師青年教師合計(jì)人數(shù)90018001600430014．已知，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則__________15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______.16．命題“”的否定為_(kāi)____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍19．（12分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.20．（12分）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交與兩點(diǎn)，截得的弦長(zhǎng)為，求的方程.21．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.22．（10分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.2、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，則，，設(shè)異面直線與所成角為（），則.故選：A3、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.4、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問(wèn)題，再解三角形.【詳解】取BC中點(diǎn)H，BH中點(diǎn)I，連接AI、FI、，因?yàn)镋為中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補(bǔ)角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.5、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.6、C【解析】求出圓心到直線距離，再借助圓的性質(zhì)求出d的最大值與最小值即可.【詳解】圓的方程化為，圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離，即直線和圓相離，因此，圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，有，，即，即的取值范圍是：.故選：C7、B【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B.8、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長(zhǎng).【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因?yàn)槭堑妊切?，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長(zhǎng)故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.9、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D11、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.12、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點(diǎn)：分層抽樣.14、①.4②.【解析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.15、【解析】根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，∴，則，故答案為：.16、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)所以解得所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設(shè)，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因?yàn)?，所以，即化?jiǎn)得，且，O到直線l的距離所以，又，此時(shí)，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因?yàn)楫?dāng)k≠0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)又因?yàn)?，所以，所以?dāng)k＝0時(shí)，②斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)或兩點(diǎn)易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問(wèn)題，需要先設(shè)出變量，表達(dá)出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.18、（1）（2）【解析】（1）先求出，由得到，得到不等式組，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，分與兩種情況進(jìn)行求解，求得m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，解得：，故，因?yàn)?，所以，故，解得：，所以m的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，需要滿足：或，解得：綜上：m取值范圍是19、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，進(jìn)而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋煽傻茫?，因?yàn)椤?，”為真命題，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋煽傻茫?，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，所以（等號(hào)不同時(shí)?。?，解得：，即的取值范圍是.20、或【解析】直線截圓得的弦長(zhǎng)為，結(jié)合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)閳A的半徑為5，截得的弦長(zhǎng)為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)的求法，求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法：一是利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理求解；二是利用半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內(nèi)積為零，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算向量?jī)?nèi)積；(2)利用一元二次函數(shù)，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示，以原點(diǎn)，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以故的最大值為【小?wèn)3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榇藭r(shí)，，所以由得取，得，，又可取平面的一個(gè)法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.22、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方