2024屆廣西崇左市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆廣西崇左市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若任取，則x與y差的絕對(duì)值不小于1的概率為（）A. B.C. D.2．設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.3．某校開(kāi)學(xué)“迎新”活動(dòng)中要把3名男生，2名女生安排在5個(gè)崗位，每人安排一個(gè)崗位，每個(gè)崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.364．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面5．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)有極大值和極小值B.函數(shù)有極大值和極小值C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值7．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.58．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.10．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>011．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.12．如圖，用隨機(jī)模擬方法近似估計(jì)在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)和，因此得到1000個(gè)點(diǎn)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)出落在該陰影部分內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為260個(gè)，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.92二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)，可得到四面體的概率為_(kāi)_______14．橢圓的兩焦點(diǎn)為，，P為C上的一點(diǎn)（P與，不共線），則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.15．萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.16．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點(diǎn)（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值18．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）奮發(fā)學(xué)習(xí)小組共有3名學(xué)生，在某次探究活動(dòng)中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨機(jī)地取出了一份作業(yè).（1）每個(gè)學(xué)生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個(gè)學(xué)生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個(gè)學(xué)生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？20．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.22．（10分）已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.（1）若，，相交于一點(diǎn)，求的值；（2）若，，不能?chē)梢粋€(gè)三角形，求的值：（3）若，，能?chē)梢粋€(gè)直角三角形，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中分析以及與差的絕對(duì)值不小于1所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫?，其面積，若與差的絕對(duì)值不小于1，即，即或，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對(duì)值不小于1的概率.故選：C2、B【解析】先設(shè)，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)?，所以整理可得：，消去得：所以，即所?故選：B3、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個(gè)崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A4、D【解析】以正方體為載體說(shuō)明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以?xún)芍本€與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D5、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.6、D【解析】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減7、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B8、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類(lèi)討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值9、B【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫(xiě)出其執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】由程序框圖的邏輯，執(zhí)行步驟如下：1、：執(zhí)行循環(huán)，，；2、：執(zhí)行循環(huán)，，；3、：執(zhí)行循環(huán)，，；4、：執(zhí)行循環(huán)，，；5、：執(zhí)行循環(huán)，，；6、：不成立，跳出循環(huán).∴輸出的值為.故選：B.10、B【解析】全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B11、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D12、D【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】計(jì)算出正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)的取法和分從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)、從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)、從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)可得到四面體的取法，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)有種；從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)有種，其中當(dāng)上底面和下底面取的四個(gè)點(diǎn)在同一平面時(shí)共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)有種；一個(gè)有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.14、【解析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】橢圓方程為，所以，所以三角形的周長(zhǎng)為.故答案為：15、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查16、（1）直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【小問(wèn)1詳解】直線方程可化為，則直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.，所以k=1時(shí)弦長(zhǎng)最短.弦長(zhǎng)為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問(wèn)2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋瑒t，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，，所以.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（1）計(jì)算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設(shè)平面PCD的法向量，因?yàn)椋?，即，不妨設(shè)，得，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為19、（1）（2）（3）【解析】(1)根據(jù)列舉法列出所有的可能基本事件，進(jìn)而得出每個(gè)學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)的概率；(2)利用對(duì)立事件的概念即可求得結(jié)果；(3)結(jié)合(1)即可得出每個(gè)學(xué)生拿的都不是自己作業(yè)的事件數(shù).【小問(wèn)1詳解】設(shè)這三個(gè)學(xué)生分別為A、B、C，A的作業(yè)為a，B的作業(yè)為b，C的作業(yè)為c，則基本事件為：，則基本事件總數(shù)為6，設(shè)每個(gè)學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)為事件E，事件E包含的事件數(shù)為l，所以；小問(wèn)2詳解】設(shè)每個(gè)學(xué)生不都拿到自己作業(yè)為事件F，因?yàn)槭录﨔的對(duì)立事件為E，所以；【小問(wèn)3詳解】設(shè)每個(gè)學(xué)生拿的都不是自己作業(yè)為事件G，事件G包含的事件數(shù)為2，.20、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為21、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的定義可得結(jié)論；（2）設(shè)，得PA的兩點(diǎn)式方程為，由在拋物線上，化簡(jiǎn)直線方程為，然后由圓心到切線的距離等于半徑得出的關(guān)系式，并利用得出點(diǎn)滿足的等式，同理設(shè)得方程，最后由直線方程的定義可得直線方程【小問(wèn)1詳解】由題意得動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)，則，于是C的方程為.【小