2024屆湖北省黃岡市黃岡中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆湖北省黃岡市黃岡中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A B.C. D.2．在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.483．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.4．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，5．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)時，的值為（）A B.C. D.7．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為9．如圖，在直三棱柱中，且，點E為中點．若平面過點E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個10．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣111．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.012．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校開展“讀書月”朗誦比賽，9位評委為選手A給出的分?jǐn)?shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是___________.選手A87899924x1514．若實數(shù)、滿足，則的取值范圍為___________.15．如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數(shù)為______16．已知向量,,并且、共線且方向相同,則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，兩點，的中點坐標(biāo)為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點，為坐標(biāo)原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值21．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．?dāng)?shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由22．（10分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點為.設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D2、C【解析】頻率跟實驗次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實驗次數(shù)無關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實驗次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實驗中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗的固有屬性，與實驗次數(shù)無關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C3、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B4、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B5、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：A.6、C【解析】求出樣本中心點的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當(dāng)時，.故選：C.7、C【解析】求出拋物線的焦點，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題.8、D【解析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D9、B【解析】構(gòu)造出長方體，取中點連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長方體，取中點，連接則所有過點與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過點繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長方體的外面）時，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過點繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個，故選：B.10、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結(jié)合知過時取最小值故選：C11、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.12、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為95分，則，所以，當(dāng)時，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.14、【解析】直接利用換元法以及基本不等式，求出結(jié)果【詳解】解：設(shè)，由于，所以，由于，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，故，，所以，整理得：故的取值范圍為的取值范圍故答案為：15、1【解析】根據(jù)空間平面向量的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由圖像可知，，則因為棱長為1，，所以，所以，故集合中的元素個數(shù)為1故答案為：116、4【解析】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設(shè).由坐標(biāo)運算求得的值,進而求得.即可求得的值.【詳解】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設(shè)由向量的坐標(biāo)運算可得解方程可得所以.故答案為:【點睛】本題考查了空間向量共線基本定理的應(yīng)用,根據(jù)向量的共線定理求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，設(shè)平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.18、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)很容易確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值點.【小問1詳解】，，，由于切線方程是，當(dāng)x=1時，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯(lián)立①②得.【小問2詳解】由（1）得：，；當(dāng)時，，導(dǎo)函數(shù)圖像如下：在時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區(qū)間內(nèi)：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)AB的中點坐標(biāo)可得，再利用點差法求得直線的斜率，即可求出直線方程；（2）易得直線過左焦點，聯(lián)立直線和橢圓方程，消，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，因為的中點坐標(biāo)為，所以，則，兩式相減得，即，即，所以直線l的斜率為1，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】在直線中，當(dāng)時，，由橢圓：，得，則直線過點，聯(lián)立，消整理得，則，.20、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.21、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項與前項和之間的關(guān)系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達(dá)式，然后利用裂項相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，故，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其