新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.5正態(tài)分布基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.利用實(shí)際問題的頻率分布直方圖,了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解隨機(jī)變量落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]上的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

正態(tài)曲線函數(shù),x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱

,如圖所示.

正態(tài)曲線過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的值可正可負(fù),但不能為0.(

)(2)正態(tài)密度函數(shù)的圖象與x軸之間區(qū)域的面積是變化的.(

)××2.下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是(

)B知識(shí)點(diǎn)2

正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為(x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù)),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為

.特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從

.

如圖所示,X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X≤b)為圖中區(qū)域B的面積.X~N(μ,σ2)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

過關(guān)自診1.參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么?提示

參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計(jì);σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù),可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).2.若X~N(1,),Y=6X,則E(Y)等于(

)

A.1 B. C.6 D.36C解析

由X~N(1,),知E(X)=1.又Y=6X,故E(Y)=6E(X)=6.知識(shí)點(diǎn)3

正態(tài)曲線的特點(diǎn)1.曲線位于x軸的

,與x軸不相交.

2.曲線是單峰的,它關(guān)于直線

對(duì)稱.

3.曲線在

處達(dá)到峰值

.

但不能與x軸相交4.當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸.5.曲線與x軸之間的面積為

.

上方

x=μx=μ16.當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖1.圖1圖27.當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,當(dāng)σ較小時(shí),峰值高,正態(tài)曲線“

”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;當(dāng)σ較大時(shí),峰值低,正態(tài)曲線“

”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖2.

瘦高矮胖過關(guān)自診(多選題)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)

(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.σ1=σ2

B.μ1>μ3C.μ1=μ2

D.σ2<σ3AD解析

根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,且μ越大,圖象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故B,C錯(cuò)誤;因?yàn)棣以叫?數(shù)據(jù)越集中,圖象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故A,D正確.故選AD.知識(shí)點(diǎn)4

正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則1.三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2.3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.名師點(diǎn)睛對(duì)于正態(tài)分布N(μ,σ2)而言,隨機(jī)變量X在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]之外取值幾乎不可能發(fā)生,它在產(chǎn)品檢查、質(zhì)量檢驗(yàn)中起著重要的作用.過關(guān)自診設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解

∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),∴P(3≤X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)]=[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)]≈×(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),∴P(X≥5)=[1-P(-3≤X≤5)]≈×(1-0.954

5)=0.022

75.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一正態(tài)曲線的應(yīng)用【例1】

一個(gè)正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)密度函數(shù)的解析式,求出隨機(jī)變量的均值和方差.規(guī)律方法

利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

,由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.變式訓(xùn)練1若一個(gè)正態(tài)密度函數(shù)是偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為,則該正態(tài)密度函數(shù)的解析式為

.

探究點(diǎn)二正態(tài)分布下的概率計(jì)算【例2】

(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,則P(2<ξ<3)=(

)A.0.2 B.0.24

C.0.28

D.0.32C解析

∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=3.又P(ξ≤4)=0.78,∴P(3≤ξ≤4)=P(ξ≤4)-=0.78-0.5=0.28,∴P(2≤ξ≤3)=P(3≤ξ≤4)=0.28.故選C.(2)設(shè)X~N(5,1),求P(6≤X≤7).解

依題意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,∴P(6≤X≤7)=[P(3≤X≤7)-P(4≤X≤6)]≈×(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.規(guī)律方法

在正態(tài)分布下解決求隨機(jī)變量在某區(qū)間上的概率問題,可利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性,將隨機(jī)變量在所求區(qū)間上的概率轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量在已知區(qū)間上的概率,或利用3σ原則轉(zhuǎn)化為在特殊區(qū)間上的概率.變式訓(xùn)練2(1)若隨機(jī)變量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=

.

0.3解析

由P(9≤ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以直線x=μ=10為對(duì)稱軸知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,則P(10≤ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.(2)若在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)為X,且X~N(110,202),滿分為150分,這個(gè)班的學(xué)生共有54人,估計(jì)這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上(不包括130分)的人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).解∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)≈×(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人數(shù)約為54×0.841

35≈45,130分以上的人數(shù)約為54×0.158

65≈9.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)正態(tài)曲線及其特點(diǎn).(2)正態(tài)分布的應(yīng)用,3σ原則.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.設(shè)有一正態(tài)分布,它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且,則這個(gè)正態(tài)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(

)A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10B解析

由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知,這個(gè)正態(tài)分布的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.123452.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32

C.0.68

D.0.84A123453.(多選題)[2023廣東廣州模擬]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),定義函數(shù)f(x)為X取值不超過x的概率,即f(x)=P(X≤x).若x>0,則(

)A.f(-x)=1-f(x)B.f(2x)=2f(x)C.f(x)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)D.P(|X|≤x)=2f(x)-1AD解析

因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),所以f(-x)=P(X≤-x)=P(X>x)=1-P(X≤x)=1-f(x),故A正確;f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),因?yàn)閤>0,所以f(x)=P(X≤x)>,所以2f(x)>1,所以f(2x)≠2f(x),故B不正確;因?yàn)閤>0,所以當(dāng)x增大時(shí),f(x)=P(X≤x)也增大,故C不正確;P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2P(X>x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,故D正確.故選AD.12345123454.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在區(qū)間[2,3]上取值的概率為

.

0.4解析

根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知,ξ在區(qū)間[2,3]上取值的概率P=×(1-2×0.1)