新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最玄乘估計(jì)課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第八章8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念,會(huì)通過殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果.2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

一元線性回歸模型

我們稱該式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)兩個(gè)變量之間產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因僅僅是因?yàn)闇y(cè)量工具產(chǎn)生的誤差.(

)(2)在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),響應(yīng)變量在x軸上,解釋變量在y軸上.(

)(3)隨機(jī)誤差一般是不可觀測(cè)的隨機(jī)變量.(

)××√2.判斷下列變量哪些能用函數(shù)模型刻畫,哪些能用回歸模型刻畫?(1)某公司的銷售收入和廣告支出;(2)某城市寫字樓的出租率和每平米月租金;(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率;(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值;(5)學(xué)生期末考試成績(jī)和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間;(6)一輛汽車在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間;(7)正方形的面積與周長(zhǎng).解

(1)(2)(3)(4)(5)用回歸模型刻畫,(6)(7)用函數(shù)模型刻畫.知識(shí)點(diǎn)2

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心2.殘差與殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值,通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果,通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分析.在殘差圖中,當(dāng)殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.過關(guān)自診1.(多選題)下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

的敘述正確的是(

)A.反映

與x之間的函數(shù)關(guān)系B.反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系C.表示

與x之間的不確定關(guān)系D.表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線AD2.某地區(qū)近十年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合

=0.8x+0.1(單位:億元),預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元,則年支出估計(jì)是

億元.

12.1重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用【例1】

某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.解

(1)散點(diǎn)圖如圖:規(guī)律方法

1.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程的應(yīng)用(1)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè):把經(jīng)驗(yàn)回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.(2)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程判斷正、負(fù)相關(guān):決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是

.變式訓(xùn)練1[人教B版教材例題]某人工智能公司從某年起7年的利潤(rùn)情況如下表所示.第x年1234567利潤(rùn)y/億元2.93.33.64.44.85.25.9(1)計(jì)算出y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程,分別預(yù)測(cè)該人工智能公司第8年和第9年的利潤(rùn).(2)在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中令x=8,得

=0.5×8+2.3=6.3,因此預(yù)測(cè)第8年的利潤(rùn)為6.3億元.類似地,可預(yù)測(cè)第9年的利潤(rùn)為6.8億元.探究點(diǎn)二回歸分析【例2】

某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y的數(shù)據(jù)如下:次數(shù)x3033353739444650成績(jī)y3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖;(2)建立成績(jī)y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計(jì)算R2,并用R2說明擬合效果的好壞.解

(1)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y之間的散點(diǎn)圖如圖所示.(3)某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績(jī)之間的數(shù)據(jù)及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)為

x30333537y30343739-1.2411-0.36560.55140.4684x39444650y424648511.38540.17790.0949-1.0711殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明選用的模型比較合適.(4)計(jì)算得R2≈0.985

5.說明擬合效果較好.規(guī)律方法

解答本類題目應(yīng)先通過散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)來分析兩個(gè)變量是否線性相關(guān),再利用求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的公式求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并利用殘差圖或R2來分析模型的擬合效果.變式訓(xùn)練2在一段時(shí)間內(nèi),某種商品的價(jià)格x(單位:元)和需求量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下:x/元1416182022y/件1210753已知x與y線性相關(guān),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用R2說明擬合效果的好壞.探究點(diǎn)三求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程【例3】

某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:年次x123456利潤(rùn)總額y/億元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗(yàn)知,年次x與利潤(rùn)總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abx.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解

對(duì)y=abx兩邊取自然對(duì)數(shù),得ln

y=ln

a+xln

b.令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

a+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.047

7,ln

a≈2.378,規(guī)律方法

非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法

變式訓(xùn)練3某展會(huì)一天上午9點(diǎn)半到下午2點(diǎn)的即時(shí)參觀人數(shù)如下表:時(shí)間x9.51010.51111.5人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.77時(shí)間x1212.51313.514人數(shù)y/萬37.5740.2340.9541.7343.71已知時(shí)間與參觀人數(shù)具有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,試求出這段時(shí)間內(nèi)即時(shí)參觀人數(shù)關(guān)于時(shí)間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解

根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示.由圖可以看出,樣本點(diǎn)分布在某條對(duì)數(shù)型函數(shù)曲線y=a+bln

x

的周圍.令z=ln

x,則y=a+bz,故y與z具有線性相關(guān)關(guān)系.可知y與z的數(shù)據(jù)如下表:z2.252.302.352.402.44人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.77z2.482.532.562.602.64人數(shù)y/萬37.5740.2340.9541.7343.71本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)一元線性回歸模型;(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法;(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析:殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納:代入法、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.已知甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的模型時(shí),分別選擇了4種不同模型,計(jì)算它們的R2分別如下表:學(xué)生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立的模型擬合效果最好的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁A解析

因?yàn)镽2的值越大,模型擬合效果越好,所以甲的擬合效果最好.12345B123453.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位:噸)與所需某種原料y(單位:噸)的相關(guān)性,在生產(chǎn)過程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)如下表所示:x3467y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù),得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

.據(jù)此計(jì)算出在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則表中m的值為

.

5.912345123454.某課題組調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元)的情況,調(diào)查結(jié)果顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

=0.254x+0.321.由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均約增加

萬元.

0.254123455.[2023河南鄭州模擬]為了解太平洋某海域的島嶼上植物種數(shù)的生態(tài)學(xué)規(guī)律,隨機(jī)選擇了6個(gè)島嶼,搜集并記錄了每個(gè)島嶼的植物種數(shù)(單位:個(gè))和島嶼面積(單位:平方千米),整理得到如下數(shù)據(jù):樣本號(hào)i123456島嶼面積x615253444