新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布課件新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.4.2超幾何分布基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)

超幾何分布1.定義:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為每抽取一次,產(chǎn)品件數(shù)就減少1件P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2.超幾何分布的均值:E(X)==np(p為次品率).過關(guān)自診1.超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望有何規(guī)律?提示

超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望都為np.(對于超幾何分布,p是N件產(chǎn)品的次品率;對于二項(xiàng)分布,p是在n重伯努利試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率)2.設(shè)袋中有80個紅球、20個白球,若從袋中任取10個球,則其中恰有6個紅球的概率為(

)D解析

取出的紅球個數(shù)服從參數(shù)為N=100,M=80,n=10的超幾何分布.由超幾何分布的概率公式,知從中取出的10個球中恰有6個紅球的概率為3.今有電子元件50個,其中一級品45個,二級品5個,從中任取3個,則出現(xiàn)二級品的概率為(

)C4.[北師大版教材習(xí)題]從4名男生和3名女生中任選3人參加辯論比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列;(2)求X的均值.解

(1)設(shè)所選的3人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,所以X的分布列為

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一超幾何分布概率公式的應(yīng)用【例1】

[2023湖北武漢期中]某班組織知識競賽,已知題目共有10道,隨機(jī)抽取3道讓某人回答,規(guī)定至少要答對其中2道才能通過初試,他只能答對其中6道,試求:(1)抽到他能答對題目數(shù)的分布列;(2)他能通過初試的概率.解

(1)設(shè)隨機(jī)抽出的三道題目此人能答對的道數(shù)為X,則X=0,1,2,3,X服從超幾何分布,計算的具體結(jié)果如下表所示.(2)至少要答對其中2道才能通過初試,則可以通過初試包括兩種情況,這兩種情況是互斥的,根據(jù)上一問的計算可以得到P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=規(guī)律方法

1.解答超幾何分布概率公式的應(yīng)用問題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布.2.注意公式中M,N,n的含義,并明確所求的事件.變式訓(xùn)練1在30瓶飲料中,有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料的概率為

.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)

探究點(diǎn)二求超幾何分布的分布列【例2】

一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個,編號為1,2,3;黑球有2個,編號為1,2;白球有1個,編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球.(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率;(2)記取得1號球的個數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.變式探究

在本例條件下,若記取到白球的個數(shù)為隨機(jī)變量η,求隨機(jī)變量η的分布列.規(guī)律方法

超幾何分布的求解步驟(1)辨模型:結(jié)合實(shí)際情境分析所求概率分布問題是否能轉(zhuǎn)化為超幾何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式

求解,也可以利用排列、組合及概率的知識求解,需注意借助公式求解時應(yīng)理解參數(shù)M,N,n,k的含義.(3)列分布列:把求得的概率值通過表格表示出來.探究點(diǎn)三二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系【例3】

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列,并求其均值;(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.解

(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,X的可能取值為0,1,2,X服從超幾何分布.規(guī)律方法

不放回抽樣服從超幾何分布,放回抽樣服從二項(xiàng)分布,求均值可利用公式代入計算.變式訓(xùn)練2在10件產(chǎn)品中有2件次品,連續(xù)抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽樣時,抽取次品數(shù)X的均值;(2)放回抽樣時,抽取次品數(shù)Y的均值與方差.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)超幾何分布的概念及特征;(2)超幾何分布的概率、分布列、均值;(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系.2.方法歸納:公式法、類比法.3.常見誤區(qū):容易將超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆,前者是不放回抽樣,后者是有放回抽樣.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.(多選題)下列隨機(jī)變量服從超幾何分布的有(

)A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為XB.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué),途中有6個交通崗,記此學(xué)生遇到紅燈的個數(shù)為隨機(jī)變量XD.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動,其中男生人數(shù)記為XABD解析

依據(jù)超幾何分布模型定義可知,A,B,D項(xiàng)中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C項(xiàng)顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故不服從超幾何分布.12342.某班有50名學(xué)生,其中15人選修A課程,另外35人選修B課程,從班級中任選兩名學(xué)生,他們選修不同課程的概率是

.

12343.有同一型號的電視機(jī)100臺,其中一級品97臺,二級品3臺,從中任取4臺,則二級品不多于1臺的概率為

.(用式子表示)

12344.在元旦晚會上,數(shù)學(xué)老師設(shè)計了一個摸獎游戲,在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球