2024屆江蘇省南通市海門市海門中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆江蘇省南通市海門市海門中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的極大值點為（）A. B.C. D.不存在2．在平面直角坐標系中，直線+的傾斜角是（）A. B.C. D.3．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能4．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.7．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.8．設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.489．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.10．若平面的一個法向量為，點，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.411．已知等比數(shù)列中，，，則首項（）A. B.C. D.012．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.14．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.15．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求.16．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某話劇表演小組由名學生組成，若從這名學生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.18．（12分）設函數(shù)（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當時，恒成立，求的最大值．（其中為的導函數(shù)．）19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）已知為等差數(shù)列，前n項和為，數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和22．（10分）中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分線交于D，，求a

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求導，令導數(shù)等于0，然后判斷導數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因為時，，時，，所以時有極大值；當時，，時，，所以時有極小值.故選：B2、B【解析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角【詳解】由直線方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角故選：B3、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相交，故選：A.4、B【解析】由題意可知且，構造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調性可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關于的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，則，所以，，解得.故選：B.5、C【解析】根據(jù)可求得結果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.6、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.7、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.8、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎題型.9、A【解析】求得外接球的半徑，進而計算出外接球體積.【詳解】設，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A10、B【解析】求出，點A到平面的距離：，由此能求出結果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點到平面的距離：故選：B.11、B【解析】設等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求得，進而可求得答案.【詳解】設等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B12、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：14、【解析】利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：15、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，利用等比中項由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為d，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知：，所以.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；(2)分組轉化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項之積構成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.(6)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解16、【解析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點，利用導數(shù)研究的單調性與極值，數(shù)形結合即得.【詳解】∵的定義域為，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側的單調性相反，在的兩側的單調性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調遞增，在上單調遞減，當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計數(shù)原理結合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因為且，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個空中選個空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.18、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域為，，分和兩種情況解不等式和即可得單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對于恒成立，分離可得，令，只需，利用導數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當時，對于恒成立，此時函數(shù)在上單調遞增；當時，由可得；由可得；此時在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，當時，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因為，所以，所以所以對于恒成立，令，則，，令，則對于恒成立，所以在單調遞增，因為，，所以在上存在唯一零點，即，可得：，當時，，則，當時，，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導函數(shù)，由（或）解出相應的的范圍，對應的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負，由符號確定在子區(qū)間上的單調性.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20、（1）的通項公式為，的通項公式為；（2）.【解析】（1）用基本量表示題干中的量，聯(lián)立求解即可；（2）由，，用乘公比錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.①，由得.②，聯(lián)立①②解得，所以.故的通項公式為，的通項公式為.（2）設數(shù)列的前n項和為，由，得.，，上述兩式相減，得，所以，即.21、（1）（2）【解析