2024屆遼寧大連市普蘭店區(qū)第二中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆遼寧大連市普蘭店區(qū)第二中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.2．圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.43．經(jīng)過點的直線的傾斜角為，則A. B.C. D.4．與的等差中項是（）A. B.C. D.5．設雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.7．橢圓的焦點坐標為（）A.， B.，C.， D.，8．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.9．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.10．下列命題中，正確的是（）A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若ac>bc，則a<bC.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D.若，則a<b11．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.12．已知，為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，若，則P點的橫坐標為（）A. B.C.4 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________14．若，且，則的最小值是____________.15．設直線，直線，若，則_______.16．已知空間向量，，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值18．（12分）已知橢圓焦距為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線上任意一點，設直線的斜率分別為，若，求的方程19．（12分）已知拋物線C：上有一動點，，過點P作拋物線C的切線交y軸于點Q（1）判斷線段PQ的垂直平分線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由；（2）過點P作垂線交拋物線C于另一點M，若切線的斜率為k，設的面積為S，求的最小值20．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離21．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關于的不等式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關鍵是判斷當平面時，三棱錐體積最大.2、D【解析】公切線條數(shù)與圓與圓的位置關系是相關的，所以第一步需要判斷圓與圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3；圓的圓心坐標為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.3、A【解析】由題意，得，解得；故選A考點：直線的傾斜角與斜率4、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選：A5、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.6、D【解析】將方程化為圓的標準方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設，即，當此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D7、A【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c，則橢圓的焦點坐標可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.8、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A9、C【解析】由題設寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標，再應用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C10、D【解析】運用不等式性質，結合特殊值法，對選項注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項A中，若，時，則成立，否則，若，則，顯然錯誤，故選項A錯誤；選項B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯誤，故選項B錯誤；選項C中，若，則，顯然錯誤，故選項C錯誤；選項D中，若，顯然，由不等式性質知不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等式不變號，即.故選：D11、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.12、B【解析】設，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.14、【解析】應用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當且僅當，且，即時等號成立，∴最小值為.故答案為：15、##0.5【解析】根據(jù)兩直線平行可得，，即可求出【詳解】依題可得，，解得故答案為：16、7【解析】根據(jù)題意，結合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知，因為，所以，即，解得故答案為：7三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的最值求解即可【詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以當時，即時，18、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當直線與軸重合時，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當直線與軸不重合時，上任意一點均使，設出直線方程與橢圓進行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當直線與軸重合時，是橢圓的左右頂點，不妨設，設，則是上的任意一點，即方程對任意實數(shù)都成立，此時的方程為.故只需證：當直線與軸不重合時，上任意一點均使即可，設直線的方程為，，設則由y得證.故的方程為.19、（1）線段的垂直平分線過定點（2）【解析】（1）設切線的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得點坐標，進而求得點坐標，從而求得線段的垂直平分線的方程，進而求得定點坐標.（2）結合弦長公式求得的面積，利用基本不等式求得的最小值.【小問1詳解】依題意可知切線的斜率存在，且斜率大于.設直線PQ的方程為，.由消去并化簡得，由得，，則，解得，所以，在中，令得，所以，PQ中點為，所以線段PQ的中垂線方程為，即，所以線段的垂直平分線過定點.【小問2詳解】由（1）可知，直線PM的方程為，即.由消去并化簡得：，所以，而，所以得，，，.所以的面積，所以.當且僅當時等號成立.所以的最小值為.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內的線,這是許多學生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達時一定要引起注意21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個