2024屆山東省臨沂市蘭陵縣東苑高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆山東省臨沂市蘭陵縣東苑高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.2．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立3．過雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長為（）A.28 B.C. D.4．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列5．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.4 B.12C.15 D.216．若拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.7．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣18．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A.與雙曲線的實(shí)軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線9．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則（）A.5 B.2C.1 D.10．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，記線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.11．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.12．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________，的最小值為__________14．直線被圓所截得的弦的長為_____15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______16．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問：線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.20．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）21．（12分）已知橢圓的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，，為垂足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)22．（10分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B2、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選：C.3、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C4、B【解析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項(xiàng)，然后可知答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B5、B【解析】由瞬時(shí)變化率的定義，代入公式求解計(jì)算.【詳解】由題意，該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B6、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，可直接得出拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為，則說明拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：則準(zhǔn)線方程為：解得：則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：D7、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結(jié)合知過時(shí)取最小值故選：C8、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因?yàn)?，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B9、C【解析】根據(jù)題意橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則，解得故選：C10、C【解析】設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進(jìn)而得，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設(shè)，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以根據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.11、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D12、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【詳解】解：，又因?yàn)樵陔p曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號項(xiàng)，從而以變號項(xiàng)為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和；求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.14、【解析】圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長為考點(diǎn)：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長的求法；15、【解析】先求出命題p,q為真命題時(shí)的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時(shí)，有，命題q：，為真時(shí)，則有，即，故為真命題時(shí)，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16、【解析】因?yàn)?，所以，即，故三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算推理作答.(2)插入所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項(xiàng)中包含數(shù)列前9項(xiàng)，數(shù)列前41項(xiàng)，所以.18、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，而，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程，由得：，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；【小問2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，其中，，則，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無論為何值，，點(diǎn)D在線段上，滿足題意.19、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得為的中點(diǎn)，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設(shè)，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長度，即可得解.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小?詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小?詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.20、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.21、（1）（2）【解析】（1）利用△∽△構(gòu)造齊次方程，求出離心率，再利用焦距即可求出橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求出和，利用幾何關(guān)系可知，即可得，將韋達(dá)定理代入化簡即可求得點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】∵橢圓的焦距為，∴，即，軸，∴，則,由，，則△∽△，∴，即，整理得，即，解得或（舍去）∴，∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，則，，∵，∴，∴,∴，∴，即.22、（1）證明見解析；（2）