2024屆山西省重點中學(xué)協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆山西省重點中學(xué)協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，2．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.3．已知直線過點，當直線與圓有兩個不同的交點時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．命題p：存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為假命題B.：任意實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是負數(shù)，為真命題5．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，6．在平行六面體中，，，，則（）A. B.5C. D.37．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.8．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.9．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.10．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺11．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=112．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項=________.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與的左、右支分別交于點、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.15．設(shè)，若直線與直線平行，則的值是________16．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個極值點，且，若，求證：.19．（12分）進入11月份，大學(xué)強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學(xué)生進行綜合素質(zhì)測試，在所有參加測試的學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學(xué)生綜合素質(zhì)成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質(zhì)成績排名前6名同學(xué)中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學(xué)中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.20．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，，成等比數(shù)列且滿足________.請在①；②；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并回答以下問題.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知拋物線，過焦點的直線l交拋物線C于M、N兩點，且線段中點的縱坐標為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點，求證：始終被x軸平分22．（10分）已知點為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且（O為坐標原點），.（1）求橢圓C的標準方程；（2）經(jīng)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.2、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.3、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點故選：A4、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因為命題p“存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，因為，所以為假命題；故選：A5、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.6、B【解析】由，則結(jié)合已知條件及模長公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.7、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選：B8、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B9、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A10、B【解析】設(shè)影長依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)影長依次成等差數(shù)列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.11、A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點：雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)12、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.5②.【解析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當時，，，解得，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為，所以，即，所以，當時，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：；.14、【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點、，因為原點為、的中點，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.15、【解析】先通過討論分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.【詳解】由已知可得，當時，兩直線分別為和，此時，兩直線不平行；當時，要使得兩直線平行，即，解得，.故答案為：16、##【解析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界來求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當時，取得最大值.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設(shè)l與平面MND所成角為，則18、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，19、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學(xué)生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質(zhì)成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數(shù)在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數(shù)在70~80之間，設(shè)為，則，解得，∴綜合素質(zhì)成績的中位數(shù)為75分.【小問2詳解】設(shè)這6名同學(xué)分別為，，，，1，2，其中設(shè)1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學(xué)生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.20、（1）答案見解析（2）【解析】（1）首先由，，成等比數(shù)列，求出，再由①或②或③求出數(shù)列的首項和公差，即可求得的通項公式；（2）求得的通項公式，結(jié)合裂項相消法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即，∵，故，選①:由，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為選②:由，可得，即，所以，解得，所以；選③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因為，得，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過P的直線為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分22、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即可.【小問1詳解】由