clifman代數(shù)clp,q的非普通自逆元

clifman代數(shù)clp,q的非普通自逆元

0非可除clp、q的物理應(yīng)用clppink模型和q是由p.q維度的最小空間rp組成的。q生成了q維的實結(jié)合代，在數(shù)學(xué)和物理上有許多應(yīng)用。在對Clp,q理論的研究中,人們注意到可除的Clp,q只有R≌Cl0,0,C≌Cl0,1,H≌Cl0,23種。故此,人們非常關(guān)注非可除的Clp,q的研究。文中的主要結(jié)果有:1)Clp,q非可除代數(shù)的充分必要條件是Clp,q有非平凡冪等元;2)若Clp,q的中心子代數(shù)Cen(Clp,q)有非平凡冪等元,則Clp,q有雙環(huán)結(jié)構(gòu)。1a做好相關(guān)轉(zhuǎn)化Clifford代數(shù)Clp,q的一組基為:1e1,e2,?,ene1e2,e1e3,?,e1en,e2e3,?,e2en,?,en?1en,?e1e2?en1e1,e2,?,ene1e2,e1e3,?,e1en,e2e3,?,e2en,?,en-1en,?e1e2?en且滿足eiej=?????1,i=j≤p;?1,p＜i=j≤n;?ejei,i≠jeiej={1,i=j≤p;-1,p＜i=j≤n;-ejei,i≠j定義1設(shè)A為域F上代數(shù),利用A的加法運算與乘法運算,在A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}上定義加法運算與乘法運算為:[HS1*2](a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2),[HS1*2](a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)[ΗS1*2](a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2),[ΗS1*2](a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)則A2構(gòu)成環(huán),稱其為A的雙環(huán),記為2A。下面我們把Clp,q中滿足u2=1,u≠±1的元素u稱為Clp,q的非平凡自逆元。定理1設(shè)Clp,q是由p+q維Minkowski空間Rp,q生成的Clifford代數(shù),則有如下等價命題。1)Clp,q有非平凡零因子;2)Clp,q有非平凡冪等元;3)Clp,q有非平凡自逆元;4)Clp,q有子代數(shù)同構(gòu)于雙環(huán)2R。證明1)?3),Clp,q有非平凡零因子,即Clp,q是非可除的,可知p>0或q>2。當(dāng)p>0時,Clp,q有非平凡自逆元e1,命題成立。當(dāng)p=0時,必有q>2,Clp,q有3次單位向量e123為其非平凡自逆元。3)?2),設(shè)u是Clp,q的一個非平凡自逆元,令v=12(1+u)v=12(1+u)則v2=[12(1+u)]2=14(2+2u)=12(1+u)=vv2=[12(1+u)]2=14(2+2u)=12(1+u)=v即v是Clp,q的非平凡冪等元。2)?1),設(shè)v是Clp,q的非平凡冪等元,則存在非零元1-v,使得v(1-v)=0,即Clp,q有非平凡零因子。3)?4),若Clp,q有非平凡的自逆元u,u2=1,即u為Clp,q的一個雙曲虛單位,從而Clp,q有子代數(shù){a+bu|a,b∈R}≌H≌2R。4)?3),若Clp,q有子代數(shù)與雙環(huán)2R同構(gòu),即與雙曲數(shù)H={a+bj|a,b∈R}同構(gòu),從而Clp,q有雙曲虛單位j,即為Clp,q的非平凡自逆元。2cenclp,q有非小單元定理2若Clp,q的中心Cen(Clp,q)有非平凡冪等元,則Cen(Clp,q)≌2R,且Clp,q≌{(diào)2Clp?1,0,q=02Clp,q?1,q≠0Clp,q≌{(diào)2Clp-1,0,q=02Clp,q-1,q≠0即Cen(Clp,q)與Clp,q均有雙環(huán)結(jié)構(gòu)。證明由于Clp,q的中心子代數(shù)只可能同構(gòu)于R,H與C,而R與C中均無非平凡冪等元。故Cen(Clp,q)有非平凡冪等元時,必有Cen(Clp,q)={a+be12?(p+q)|a,b∈R}≌H≌2RCen(Clp,q)={a+be12?(p+q)|a,b∈R}≌Η≌2R下證Clp,q≌{(diào)2Clp?1,0,q=02Clp,q?1,q≠0Clp,q≌{(diào)2Clp-1,0,q=02Clp,q-1,q≠0當(dāng)q≠0時,有1)任取a∈Clp,q-1,b∈Cen(Clp,q)有ab=ba;2)Clp,q=Clp,q-1Cen(Clp,q);3)dimClp,q=2p+q=2p+q-1·2=dimClp,q-1dimCen(Clp,q)故有Clp,q≌Clp,q?1?Cen(Clp,q)≌Clp,q?1?2R≌2Clp,q?1Clp,q≌Clp,q-1?Cen(Clp,q)≌Clp,q-1?2R≌2Clp,q-1同樣可證,當(dāng)q=0時,有Clp,q≌2Clp?1,0Clp,q≌2Clp-1,0推論1若e12…(p+q)為自逆元,且e1